三類幾何概型概率的求法

馮東新

一、與長度有關的幾何概型

對于與線段長、邊長、距離有關的概率問題，其試驗的結果所構成的區域均可用長度表示，只需分別求出事件所構成的區域長度與實驗的全部結果所構成的區域長度，再根據幾何概型的概率公式進行求解.

例1.某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的.求一位乘客到達車站后等車時間超過10分鐘的概率.

分析：從前一班車出發的時間算起，每位乘客到達該車站的時刻t可以是0-15分鐘中的任意一個時間點，并且每一位乘客到達該車站是等可能的，因此該問題屬于幾何概型.構成事件的結果可用長度表示，所以可運用幾何概型的概率公式來求解.

解：設上一輛車于T時刻到達，下一輛車于T時刻到達，則線段TT的長度為15.設T是線段TT上的點，且TT=5，TT=10，如圖1所示.

二、與面積有關的幾何概型

與面積有關的幾何概型，主要是與三角形、矩形、圓等平面圖形的面積有關的概率問題.解答該類問題的關鍵是判斷事件所構成的區域是否與面積有關，然后根據幾何概型的概率公式進行計算.

例2.在長度為a的線段內任取兩點，將其分為三段，求它們可以構成一個三角形的概率.

解：記“長度為a的線段隨機分成三段，將其分成

三段”為事件E，

由于在長度為a的線段內所取的兩點是任意的，且兩點互不影響，所以點（x，y）落在△AOB內的任意一個位置都是等可能的，故該問題屬于幾何概型，且事件所構成的區域可用面積表示，求得△CDM，△AOB的面積即可解題.

三、與體積有關的幾何概型

對于與體積有關的幾何概型問題，常見的有與三棱錐、棱柱、圓錐、圓錐、長方體、正方體、球的空間幾何體的體積有關的問題.在解題時，需先判斷出實驗的結果構成的區域是否與幾何體的體積有關，然后運用幾何概型概率公式解題.

例3.有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，求點P到點O的距離大于1的概率.

分析：P是圓柱內任意一點，所以事件所構成的區域需用體積來表示，分別求得點P到點O的距離等于1的半球的體積、圓柱的體積，便可運用幾何概型的概率公式解題.

解：記“點P到點O的距離大于1”為事件A，

由幾何概型的概率公式得：

可見，求解與長度、面積或體積有關的幾何概型問題，首先要確定試驗的結果所構成的區域是否可用長度、面積、體積表示，然后求得事件所構成的區域的長度、面積、體積，以及所有結果構成的區域長度、面積、體積，最后根據幾何概型的概率公式求解.