優化古典概率教學，提升學生探究能力

中國政法大學科學技術教學部 劉淑環

美國著名教育家、哲學家、心理學家約翰·杜威說過：“科學教育不僅僅是要讓學生學習大量的知識，更重要的是學習科學研究的過程或方法”，在教育家施瓦布所倡導的探究教學中，他認為學習“不在于占有的信息，而在于擁有的探究能力”。

概率又稱“或然率”“可能性”，是概率論課程中的基本概念。古典概率是計算事件概率的一種形式，對古典概率內涵的理解和掌握，關系到學生概率思維的養成及學習概率論其他內容的效果。本文結合教學實踐，通過具體實例，對優化古典概率教學內容、激發學生學習興趣、培養學生概率思維、提升學生探究能力的途徑等方面進行探討，以期為一線教師開展古典概率教學提供參考。

一、古典概率的定義及其內涵

古典概率通常又叫“事前概率”，是指隨機事件中各種可能發生的結果及其出現的次數都可以由演繹或外推法得知，無需經過任何統計實驗即可計算各種可能發生結果的概率。其定義如下。

若隨機試驗滿足下列條件：

（1）有限性：樣本空間Ω只有有限多個樣本點；

（2）等可能性：每個樣本點出現的可能性相同；則事件A發生的概率為：這個概率稱為“古典概率”。

古典概率構造了一種對有限點集的子集“測量”的比例方法。按照這種方法，隨機事件的概率可歸結為計算事件包含樣本點數與樣本空間包含樣本點數的比值。這種靜態的比例計算方法，簡單、方便、直觀，無須做大量重復的隨機試驗，概率的許多運算規則也是在這種模型下得到的。

但一個試驗是否為古典概型，在于其是否同時具備“有限性”和“等可能性”。隨機試驗結果的有限性容易判斷，但等可能性比較抽象，往往被學生忽視，進而學生時常把“等可能性”游離出古典概率。

二、優化古典概率教學，提升學生探究能力

（一）引導學生探究古典概率的數學內涵

根據隨機試驗的目的，對樣本空間的樣本點是否“等可能”進行判斷。通過具體實例，循序漸近、由淺入深，破解古典概率“等可能”屬性。

例如，連續擲一枚硬幣三次，觀察每次試驗的所有可能結果。用枚舉法可得到樣本空間為：

Ω1＝｛（正正正），（反正正），（正反正），（正正反），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）｝

但若將問題改為同時擲三枚硬幣一次，觀察出現正面或反面次數的所有可能結果。此時，和上述情況不同，用枚舉法得到的樣本空間為：

Ω2＝｛（三正），（二正一反），（二反一正），（三反）｝

（二）貼近生活，培養學生概率思維

在教學中要充分挖掘能激發學生學習興趣的素材，激發學生親自品味探究新事物的樂趣，培養學生用概率的思維去面對各種隨機性問題的挑戰。

例如【生日問題】美國數學家伯格米尼曾做過一個實驗：在一個盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場上，他隨機地在某號看臺上，請22個球迷分別寫下自己的生日，結果竟發現其中有兩人同一天生日。這是巧合還是暗藏有某種必然的規律？

這個問題引起了學生的興趣，經過思考，學生利用古典概率，給出事件A：“22個球迷中至少有兩人同一天生日”，它的概率為：

表達式很清楚，但求出這個具體結果會比較困難。正好留有懸念，讓學生猜測這個值的大小，并啟發學生探討：若有r個球迷，結果會如何？按照類比方法，會容易得到事件A：“r個球迷中至少有兩人同一天生日”，它的概率為：

從常規的教學看，（1）式正確。但在將實際問題轉化為古典概率時，這個解答存在一定的瑕疵，且往往被學生忽視。首先，球迷的人數r應小于365，（1）式才有意義，否則基于抽屜原理，一定會有兩個人生日相同；其次，這個問題能否用古典概率計算，如何保證“等可能”，如何提出滿足“等可能”的假設？借助這個具體實例，教師引導學生不要忽視古典概率“等可能”內涵。需要明確，假設“每個球迷的生日在365天的任何一天是等可能的”，才可以用古典概率得到（1）式結果。

就該問題，教師引導學生繼續探究：若班級有60名學生，打賭“班級中至少有兩人生日相同”對打賭的人是否有利？班級有多少人時，這個問題對打賭的人有利？在學生猜測、討論，并急切想知道概率結果的情況下，教師把不同的r值與對應的P（A）結果，如表1所示呈現給學生。

看到表1的結果，學生都會感到很驚奇。“22個人中至少有兩人同一天生日”的概率居然已達0．476，若班級有23人，打賭說“至少有兩人同一天生日”對打賭的人就已經有利。當班級人數達到60人時，幾乎可以百分之百地肯定“其中至少有兩人同一天生日”。

表1 至少有兩人同一天生日的概率

學生對這樣的結果感到驚奇，其實更多的是對概率感到神奇。一個60人的班級里，居然可以基本肯定至少會有兩個學生生日相同。特別地，當和實際情況對照檢驗時，發現所在60人的班級中，真的是至少有兩名學生生日相同，學生對概率的學習熱情高漲起來，再回味這個實例，也理解了概率的作用：概率結果本身雖無法告訴你下一次一定會發生什么事情，也無法替你做決策，但用概率可以預測未來。

（三）挖掘古典概率思政素材，培育學生思辨能力

法國數學家拉普拉斯有句名言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題。”這些概率問題又有很多可以用古典概型來描述。通過精心設計的實際問題，引導學生理解并應用古典概率知識求解，其中蘊含的思政元素，既可培養學生的思辨能力，又可以起到對學生思想引領和價值觀塑造的作用。

例如【賭博的陷阱】街頭有一個擺攤的人，通過有獎摸球設賭。路過的人只要交2元錢就可以參加賭局。擺攤人面前有個袋子，裝有8個紅球、8個白球。參加者從中隨機摸出8個球，當紅、白兩色球數出現不同比例時，可得到對應獎懲：8∶0獎100元；7∶1獎10元；6∶2獎5元；5∶3獎2元；4∶4罰2元。乍一看，這五種情況中有四種可獲得獎勵，只有一種會受到懲罰。試問這個游戲真的對參加人有利嗎，擺攤人的收益情況又如何？

從計算結果看，游戲規則對參加者很不利。參加者基本不可能得到100元和10元。雖然得到2元（本來就是自己的）的概率達到0．49，但出現懲罰2元的概率也達到了0．38。而對擺攤的人，更關心這樣的游戲能給他帶來多少收益。假設有100人參與，從統計的角度看，平均會有12次6∶2，49次5∶3，38次4∶4，1次7∶1，0次8∶0。于是，擺攤人付給參與人獎金的期望值為92元。而擺攤人從這100個人中實際可得到200元，二者差距一目了然。由此看出，雖然該游戲表面看起來很優惠，但實際上具有很大的欺騙性。這正體現了“隨機非隨意，概率破玄機。無序隱有序，統計解謎離”。

（四）注重古典概率“由果索因”探索

在古典概率教學中，教師不僅要學生注重“由因索果”的推理，更要學生注重“由果索因”的探索，要強化問題意識，即什么條件可以保證“等可能”，那么如何避免將“等可能”游離出古典概率？教師應引導學生通過提出合理的假設，親歷“等可能”的生成過程，在“等可能”的前提下進行深度探究，從而提升學生的數學核心素養。

例如【女士品茶問題】一位常飲奶茶的女士稱，她能從一杯沖好的奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶沖制而成。做了10次測試，結果是她都正確地辨別出來了。問該女士的說法是否可信？

概率可以告訴學生某件事情發生的概率有多大，但如果想檢驗它預測的對不對，不可能通過一兩次試驗就能看出來，而是需要大量試驗進行檢驗。基于試驗結果對預測進行判斷的思維方式，可延伸出數理統計學中假設檢驗思想：首先提出一個原假設H，假如試驗結果與H發生矛盾就否絕原假設H，否則就接受原假設H。

為檢驗該女士說法是否可信，根據背景，提出原假設H：該女士說法不可信。

只有在此假設下，該女士純粹是靠運氣猜對的，即每次試驗的兩個可能結果“奶＋茶”或“茶＋奶”是等可能的，才可以用古典概率求解（注：學生一般都沒有提出這個假設的意識。同時，若提出假設：該女士說法可信，則兩個可能結果“奶＋茶”或“茶＋奶”就不是“等可能”，也就不能用古典概率），具體如下。

10次實驗一共有210個等可能結果，而事件A：“能正確分辨出放奶和放茶先后順序”，它只包含了其中一個樣本點，故該女士猜對的概率為：

根據“小概率實際推斷原理”，概率很小的事件在一次試驗中幾乎不會發生，但現在該事件竟然發生了，這只能說明原假設H不當，應予否絕，故認為該女士的說法可信。

三、結語

在實際問題中，古典概率“等可能”的屬性可基于對稱性、均勻性等判斷；在理論層面上，可以通過假設檢驗的思想和方法進行驗證。在古典概率的教學中，教師要時刻關注生活中“司空見慣”現象及其背后蘊含的科學道理和邏輯關系并予以提煉，通過精心組織、設計契合古典概率且有新意的實例，讓“呆板”的古典概率在豐富的實踐中變得栩栩如生、趣味盎然。這樣可以在提高學生對古典概率知識的理解及應用的同時，啟迪學生的概率思維，強化學生自主提煉“等可能”假設的意識與能力，提升學生的探究能力，最終達到“寓德于教、寓教于樂、樂有所思、思有所得、得有所悟”的教學效果。這也是筆者在常年的概率論與數理統計課程教學中一以貫之、不懈追求的目標。