淺談轉化與化歸思想在高中數學教學中的應用研究

王玉璽

（甘肅省古浪縣第一中學，甘肅古浪 733100）

數學核心素養背景下，教師在組織和開展課堂教學的過程中不應局限于數學知識、解題技能的傳授，還應培養和發展學生的數學思想，將其滲透到課堂教學的每一個環節，真正提升學生的數學綜合素養。轉化與化歸思想是一種非常重要的數學思想，將其融入課堂教學中不僅有助于提高學生的學習效果，還可以促使學生在數學學習中發展自身的數學思維能力以及提出問題、分析問題和解決問題的能力，真正落實數學核心素養下的教學目標。

一、轉化與化歸思想在高中數學教學中的應用現狀和原因分析

（一）應用意識比較弱

從轉化與化歸思想的內涵來說，主要是運用分析、觀察、類比、聯想等方式對未知的問題、難以解決的問題進行轉化，將其歸結到自己已知的知識范圍之內，最終對其進行解決。但在現實中，多數學生在解決數學問題的時候常常沒有思路或者陷入解決的困惑中，無意識將問題進行轉化與化歸，難以將其轉化為自己熟悉、已經掌握的數學知識和方法；還有一部分學生在解決問題時一味套用數學公式、數學定理等，并未對題目中的已知條件和未知條件存在的關系進行分析，或者缺乏對未知知識進行轉化的意識。在這種情況下，嚴重制約了學生的解題效率，也在很大程度上降低了解題的正確率。

（二）轉化與化歸類型把握不準

從轉化與化歸思想的類型上來說，主要包括：將抽象問題轉化為具體問題、將復雜問題轉化為簡單問題、將一般問題轉化為具體問題、將實際問題轉化為數學問題等。但在調查中發現，學生在遇到新概念、抽象的函數問題時根本無法將其轉化為具體的函數知識，并在此基礎上進行類比分析；在題目條件比較多的時候難以將其轉化為幾個小問題；針對討論情況比較多的問題，無法借助特殊值、特殊點等對其進行估值處理；在遇到數學應用問題的時候無法對其進行建模，難以將其進行轉化，使其成為數學知識。

（三）轉化與化歸的方法掌握不夠熟練

從轉化與化歸的方法上來說，主要有換元法、數形轉化法、等價轉化法、補集轉化法等。針對一些正面求值困難的問題，應從反面進行思考和解答；如果數學題目中出現了不大于、不小于、至少、不存在、至多等關鍵詞，無法從反面進行解答，就可采用補集轉化的方式進行；針對三角函數、一般函數性質、零點個數等數學問題，可借助數形轉化方式進行解答。但在調查中發現，當前高中學生在數學學習中由于對轉化與化歸的數學方法掌握不夠熟練，致使其在解題的過程中常常面臨著不知道采取哪種方法或者亂用轉化方法的現象，嚴重制約了轉化與化歸方法在高中數學教學中的應用效率。

二、轉化與化歸思想在高中數學課堂教學中的具體應用

（一）常用的轉化與化歸思想

1.正反相互轉化

在高中數學的轉化與化歸思想中，正反轉化尤為常見。將其應用到數學學習中可降低問題的難度，簡化復雜的問題，尤其是在解決一些概率問題的過程中常常涵蓋多種可能性，學生如果一一計算將大幅增加計算量，浪費寶貴的學習時間。同時，學生在計算的過程中還會頻頻出現遺漏的問題，致使解題效率和正確率明顯下降。面對這一現狀，高中數學教師就可融入正反相互轉化的數學思想，引導學生換個角度進行考慮，從其反面找到切入點，就能使得復雜的數學問題簡單化，以便于學生更好地解答。

2.特殊到一般的轉化

從特殊到一般的轉化也是高中數學教學中最為常見的轉化與化歸思想。當學生在解決比較困難的問題時，教師應指導學生對這個問題進行觀察和分析，明確該問題是特殊問題還是簡單問題。當發現這個問題中特殊的數量、特殊的數學關系結構時應將其進行推廣，使其成為一般情境，最終在“從特殊到一般”的轉化中完成數學問題的解決。在高中數學學習中有的問題比較簡單，具有一般性，而有的數學問題難度比較大，具有特殊性。基于此，教師必須對特殊的問題進行轉化，使其成為一般的問題，才能更好地解決。具體來說，在指導學生運用這一轉化思想時，應先將轉化對象明確出來，即：特殊元素、一般元素；接著明確轉化對象、特殊元素、一般元素，并依據轉化對象和特殊元素、一般元素的關系將其進行轉化，使其成為新的解決問題；最后得出結論。

3.相等和不等的靈活轉化

傳統的教學觀念認為，相等和不等之間毫無關聯，兩者之間根本不存在相互轉化的可能。但是在數學問題中這一觀點被突破了，很多看似不相等的問題可借助轉化與化歸的思想將其轉化為相等的問題。在這種情況下，問題也隨之發生轉變，解答起來更加簡單。具體來說，有些數學題目表面看起來似乎只存在相等的數量關系，但學生憑借這些相等的數量關系很難高效地解決問題。此時，教師可引導學生從題目中挖掘不相等的關系，并隨即建立不等式組，借助均值不等式中的不等式關系，結合題目中的已知條件找到解題的突破口。

4.從熟悉到陌生的轉化

隨著知識儲備量的不斷增加，學生在學習的過程中接觸到的數學知識越來越復雜，綜合程度也越來越高。在這種情況下，學生常常會遇到很多復雜的、綜合性強的問題。在面對這些問題時，許多學生無從下手，產生畏難情緒，逐漸失去學習的自信心。此時，教師要指導學生借助轉化與化歸思想認真審題，將自己不熟悉、甚至沒有見過的問題轉化成為熟悉的、十分典型的數學問題，并在此基礎上找到解決問題的切入點。

5.數形轉化思想

1.關鍵變量。表4僅以環境規制為自變量，該變量對農村化學品企業產值有顯著正影響，“污染天堂假說”不成立。表5加入其他自變量以后，所有模型中環境規制變量對農村化學品企業產值有顯著負影響，較低的環境規制對農村化學品企業來說意味著較低的成本，農村化學品企業傾向于在環境規制較低的地區選址與發展；同時，農村化學品企業發展除了受到環境規制變量的顯著負影響以外，還受到農村招商引資優惠政策、工業資本存量以及技術等因素的顯著影響，環境規制并不是決定農村化學品企業發展的唯一因素。以上證明中國農村化學品企業發展存在“污染天堂效應”。

高中階段的數學題目往往非常復雜，導致學生在解決的過程中常常面臨難以理解、難以解答的現象。此時，高中數學教師如果能夠指導學生利用數形結合思想將復雜、抽象的數學知識轉化成為直觀形象的知識，就會大幅降低學生的理解難度。可以說在運用數形結合思想的過程中，可借助數量關系討論并對圖形的性質進行研究；也可以借助直觀的結合圖形將函數、方程之間的變量關系呈現出來；也可以借助結合圖形將解決問題的途徑表示出來。

6.動靜轉化

動靜轉化也是高中數學轉化與化歸思想中的重要內容。顧名思義，動靜轉化就是將動態、發展的問題轉化為靜態的、不變的問題，或者將靜態的、不變的數學問題轉變為動態性的問題，并在動轉靜、靜轉動的過程中靈活解答問題。通常在高中數學教學中，轉化與化歸思想集中體現在函數題目中。函數的本質、構成邏輯等充分揭示了事物的運行規律，且函數與幾何模塊、向量知識密切相關。針對某些看似龐雜無序的函數題目，只要借助動靜轉化的數學思考，就可使得學生精準把握問題的關鍵，最終輕松解答該題目。

（二）高中數學轉化與化歸思想培養原則

轉化與化歸作為重要的數學思想，不是一個單純的數學公式，也并非一道具體的數學題目，而是蘊含于知識體系中，貫穿于整個教學過程中。因此，為了強化學生的轉化與化歸思想，應遵循以下四個原則：

原則一：將隱性化為顯性。轉化與化歸思想常依托于具體的數學知識中，與數學知識相互依存，但在教學中并未明確告知學生運用轉化與化歸思想解決數學問題。因此，教師在具體的教學中應堅持“隱性化為顯性”的原則，充分挖掘數學問題中蘊含的轉化與化歸思想，并將其具體化。

原則二：系統教學。數學知識與化歸思想處于一個有機統一體中，唯有將兩者結合起來，才能在數學知識教學中滲透數學轉化與化歸思想，并指導學生利用數學思想解決數學問題。

原則三：學生參與性。高中數學教師在強化學生轉化與化歸思想時，應明確數學課堂教學活動并非教師的“獨角戲”，而是以學生作為課堂主體，通過教師的引導和啟發促使學生在主動探究中明確什么是轉化、怎樣轉化，最終在主動探究中強化自身的轉化與化歸思想。

原則四：螺旋上升性。在培養學生轉化與化歸思想時，教師無法像數學公式、數學概念一般，一步到位進行教學。它需要一個教學過程，在學生不同的階段實施不同程度的教學和培養，最終促使學生在“從一般到特殊、從簡單到復雜、從直觀到抽象”的螺旋上升中培養和發展學生的轉化與化歸思想。

（三）高中數學課堂教學中轉化與化歸思想培養策略

1.分析教材，挖掘教材中蘊含的化歸思想

轉化與化歸思想作為一種重要的數學思想，是人類探索數學真理過程中的積累，但數學教材并不是這一過程的真實記錄，數學思想才是教材體系的靈魂，支配著整個數學教材，最終使其形成一個完整的聯合體。基于此，高中數學教師在培養學生轉化與化歸思想時應認真分析教材內容，從中挖掘轉化與化歸思想，并結合不同階段的數學知識內容有針對性地滲透與其相契合的轉化與化歸思想。

2.創設課堂提問，強化轉化與化歸意識

高中數學教師在優化化歸和轉化思想時還應靈活運用課堂提問，促使學生在數學問題引領下以及在探究數學問題的過程中完成數學知識的主動建構，并逐漸形成數學轉化與化歸思想。具體來說，高中數學教師在開展課堂教學時可結合教學內容、學生的實際情況科學設計出具有層次性和探究價值的問題串，并將復雜的數學問題進行分解，使其成為若干個小問題；從問題的內容上來說，教師在設計數學問題時應將數學知識、數學思想、數學方法都融入其中，使得學生在綜合性的問題思考、分析和解決中實現數學知識、方法和思想的轉化，最終強化學生的數學轉化與化歸思想。

3.一題多解訓練，強化轉化與化歸思想

心理學家在研究中發現，學生的個體不同，其思維方式也存在顯著的差異性。具有求異思維的學生，由于其思維、視野比較寬闊，在解決數學問題時常常喜歡將不同的知識和需要解決的問題聯系到一起；具備求同思維的學生，由于其視野比較狹窄，在解題的時候常常局限于問題的某一方面上，解題思路常常局限于小范圍之內。基于此，高中數學教師在訓練學生數學思維、強化其化歸與轉化思想時，應借助啟發式的教學模式以及“一題多解”的訓練模式引導學生從不同的角度進行思考、分析和解答，最終在變式類比的過程中真正將所學的知識融會貫通，最終融為一體。同時，在這個過程中學生自身的轉化與化歸思想意識和能力也隨之增強。

4.建立新舊知識體系，搭建知識網絡體系

學習是一個過程，是將新舊知識聯系和統一起來，在已有的知識結構中納入新知識。可以說學生在學習新知識之前，要將頭腦中已有的舊知識激活，才能在原有認知結構上進行擴大和延伸，最終實現新知識的學習。高中數學是建立在小學、初中數學基礎之上的，也是對小學和初中數學知識的擴充和拓展。基于此，高中數學教師在強化數學轉化與化歸思想時應立足于數學學科的特點將新舊知識整合到一起，幫助學生在學習中形成一個完整的、系統化的知識體系。只有在此基礎上，學生才能在完整的數學知識結構體系中進行知識遷移，實現數學知識的各種轉化，最終強化自身的數學轉化與化歸思想和能力。

5.提升學生對轉化與化歸思想認識

在調查中發現，多數高中生對轉化與化歸思想認識不夠全面、深刻，甚至誤認為轉化與化歸思想就是一種數學題目類型、數學專題。在這種情況下，學生自然無法將其應用到日常學習中。基于此，高中數學教師在培養學生數學轉化與化歸思想時應明確其是一種數學思想，蘊含于數學基礎知識、基本技能的教學中，促使學生在日常學習中對其形成深刻的認識和領悟。而要實現這一目標，高中數學教師在日常教學時可借助一定的教學語言進行提示，還要在教學中透徹分析和理解問題，使得學生在學習中明確其關鍵，進而在熟悉相似的問題中實現數學知識的成功化歸。此外，還應結合數學轉化與化歸思想的內涵將其貫穿在數學概念、數學定理、數學公式、數學解題中，使得學生在學習中強化自身的轉化與化歸思想。

三、結語

綜上所述，新課程背景下培養和發展學生的轉化與化歸思想已經成為一線教師關注的重點，是實現數學知識深度學習、促進數學思維發展、提升數學知識應用的關鍵。基于高中學生數學轉化與化歸思想和能力薄弱的現狀，教師應結合高中數學中常見的轉化與化歸思想，并借助一定的課堂教學手段不斷提升轉化與化歸思想培養效果，最大限度地滿足新課程背景下的教學要求。