“函數的單調性”教學設計

劉興華

函數的單調性是函數的基本性質之一，是繼函數的概念學習之后最重要的一個內容。學習函數的單調性，學生要經歷三種數學語言的轉化，了解一個全新的定義模式，對函數性質的學習起到示范作用，也為今后不等式、導數的學習奠定基礎。

教學目標：1.借助函數的圖象，讓學生會用符號語言表達函數的單調性，理解它的作用和實際意義，能判斷一些簡單函數在給定區間上的單調性;2.讓學生會用函數單調性的定義，按一定的步驟通過代數推理證明函數的單調性，培養推理論證能力;3.在抽象函數單調性概念的過程中感悟數學概念的抽象過程及符號表示的作用，通過觀察—猜想—推理—證明這一研究過程，體會對函數性質研究的一般方法。

教學過程：

環節一：創設實際情境問題，提升數學模型素養

呈現“艾賓浩斯遺忘曲線”，引導學生明確記憶量是時間間隔的函數，該函數的圖象傳達的函數值的變化趨勢對生活實際的指導作用是需要及時地復習。

環節二：歸納函數圖象特征，提升直觀想象素養

1.觀察所給一系列函數，如y=2x，y=-3x，y=1/x，y=x2的圖象，發現了函數圖象的哪些特點？明確函數是描述事物變化規律的數學模型，所謂函數性質就是“變化中的規律性，變化中的不變性”。本單元著重研究從左到右升降變化的特點、最高點或最低點、對稱性等。

2.進一步觀察二次函數y=x2的圖象，用數學語言描述圖象自左至右的變化趨勢。從直觀的上升、下降，提升到初步的符號語言描述：“當x∈（-∞，0]時，y隨x的增大而減小;當x∈[0，+∞）時，y隨x的增大而增大”，或者“當x∈（-∞，0]時，x增大，對應的y減小;當x∈[0，+∞）時，x增大，對應的y增大”。

3.“函數y=x2在（-∞，0]上是單調遞減的;在[0，+∞）上是單調遞增的”定義中，“x增大，對應的y增大（減小）”怎么用符號語言表示？借助字母符號表示數，上述變化過程的表示為：自變量從x1增大到x2，函數值從f（x1）減小（增大）到f（x2）。

環節三：形成函數單調性概念，提升數學抽象素養

1.進一步用不等式表示增大（或減小），得到表述：x1<x2，有f（x1）>f（x2）（或f（x1）<f（x2））。再關注自變量取值的要求，得到函數單調性的概念。用嚴格的代數語言刻畫函數的單調性，即借助代數符號語言給出了一個與“無限”相關的變化規律的數學描述，體會代數的力量。

2.函數f（x）=|x|和f（x）=-x2有怎樣的單調性？由圖象直觀判斷函數的單調性，并作出準確表述，進一步理解函數的單調性是函數的局部性質。

3.從函數的圖象直觀分析可以得到函數的單調性，對于一個給出了解析式的新函數y=f（x），當作函數圖象有一定困難時，該如何分析其單調性？通過代數的運算，應用函數單調性的概念作出判斷。

環節四：應用函數單調性概念，提升數學運算和邏輯推理素養

1.根據定義，研究函數f（x）=kx+b（k≠0）的單調性。應用定義通過嚴格的邏輯推理對結論進行了證明，體現了形式化定義的作用。

2.物理學中的玻意耳定律p=k/V（k為正常數）告訴我們“對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大”，試對此用函數的單調性證明。函數模型可以用來刻畫現實世界中的現象，而數學研究的不是每一個現象，而是從中抽象概括出來的一般問題，將一些不同的現象抽象成一類函數，通過研究這一類函數的性質獲得事物的變化規律。

3.歸納用單調性定義研究或證明一個函數的單調性的基本步驟：取元—作差—變形—斷號—定論，體會數學推理的程序化和嚴謹性。

4.根據定義證明函數y=x+1/x在區間（1，+∞）上單調遞增。通過嚴格的代數推理證明函數單調性，體會函數性質與函數圖象的關系。

環節五：小結與布置作業，提升數學抽象素養

回顧函數單調性的概念及把握函數單調性概念的關鍵點;回顧用函數單調性的定義判斷、證明函數單調性的一般步驟;回顧本節課對函數單調性的研究過程，梳理函數性質研究的過程、思路與方法，即簡單觀察—形成規則—具體驗證。

吳鵬老師點評

“函數的單調性”教學設計以單調性概念的生成和應用為明線，以數學核心素養的發展和提升為暗線進行設計。通過問題串的設計突出“單調性”這一數學概念生成的過程性和層次性，設計采取從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性、從圖形語言到自然語言再到符號語言的順序，層層遞進幫助學生實現認識上的跨越并形成最終概念，符合學生的認知規律，突破了教學難點，突出了學生的主體地位，凸顯了數學的學科特色。為學生從“形”的直觀性和“數”的精確性認識數學對象提供了示范，為后續概念的學習奠定了重要的思維基礎。設計在各個環節均有意識地發展學生的數學核心素養，但并非平均用力，而是有所側重，重點突出了“數學抽象”和“邏輯推理”兩個核心素養的提升。