“直線的傾斜角與斜率”教學設計

彭生才

直線的傾斜角與斜率是高中平面解析幾何的起始概念，傾斜角與點的坐標以斜率為橋梁建立了聯系，為以后推導直線方程和用代數方法解決與直線有關的幾何問題奠定了基礎。直線的傾斜角與斜率分別從幾何位置關系和代數結構的角度描述了直線的傾斜程度，體現了數形結合思想，滲透了解析幾何的基本思想和基本研究方法。此外，斜率不僅僅是平面解析幾何的重要概念，也為以后理解函數的平均變化率與導數的幾何意義提供了支持。

教學目標：1.創設情境讓學生理解直線的傾斜角和斜率的概念，初步掌握經過兩點的直線的斜率公式，理解傾斜角與斜率的對應關系，引導學生運用斜率的定義與公式解決一些簡單的問題;2.通過斜率概念的建立和公式的推導，讓學生體驗解析幾何的一般研究方法，體會數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想，培養嚴謹的科學態度;3.通過概念的建立、公式的推導，發展學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養。

教學過程：

環節一：設置情境，感知直線方向，提升直觀想象素養

將兩組直線放在同一個平面直角坐標系中，一組直線為平行線（不與坐標軸平行，直線向右傾斜），另一組直線為交于同一點的相交直線。教師提問：平行的這組直線有什么共同特征？相交的這組直線有什么不同？通過這兩個問題，使學生認識到直線的傾斜程度是直線的一個非常重要的幾何特征，受平面幾何定理“同位角相等，兩直線平行”的影響，學生會想到用直線與x軸相交所成的角來描述直線的傾斜程度。

環節二：引入傾斜角刻畫直線方向，提升數學抽象素養

1.直線的方向是直線的重要特征，幾何上我們經常用角度刻畫方向，那么在直角坐標系下，我們是否也可以引入角度來刻畫直線的傾斜程度呢？如果這樣的角度存在，我們不妨將其稱為直線的傾斜角，如何準確定義直線的傾斜角呢？

教師在學生回答的基礎上引導其將概念嚴謹化。如果有學生提出“一條直線與x軸相交所成的銳角叫這條直線的傾斜角”，教師可追問這個定義是否合適，是否有不嚴謹的地方。通過舉例的方式，體會定義進一步嚴謹化的意義。

2.怎樣定義傾斜角才能保證方向相同的直線有相同的傾斜角，方向不同的直線有不同的傾斜角呢？

學生可以通過逆時針旋轉x軸與直線l重合所轉過的角度來定義傾斜角，也可以通過x軸正向與直線l（直線l與x軸平行或重合除外）向上的方向之間所成的角來定義傾斜角。為了保證直線的方向 與傾斜角之間形成一一對應的關系，當直l線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0。因此，直線傾斜角的范圍是[0，π）。

環節三：引入斜率完成代數表示，進一步提升數學抽象素養

1.我們知道，兩點確定一條直線，那么能否用直線l上兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的坐標來刻畫直線的方向呢？直線l的傾斜角α與直線l上的兩點P1（x1，y1）和 P2（x2，y2）又有什么內在聯系呢？

教師引導學生回顧初中學習過的一次函數，進一步回顧在高一時學習的不同增長類型的函數模型，知道一次函數y=kx+b（k>0）屬于勻速增長模型。當傾斜角為銳角時，直線的傾斜程度可以用函數的增長速度來描述，增長速度越大，直線越陡峭，傾斜角越大。而且知道一次函數解析式y=kx+b（k>0）中的參數k的大小可以決定直線的不同方向。與此同時，教師引導學生類比勻速直線運動中質點的速度，把自變量x看成時間，把函數值y看成位移，對于一次函數y=kx+b（k>0），任取兩個“時間點”x1，x2，對應的“位移”分別為y1，y2，這樣，就表示一次函數的增長速度了，計算得。

2.一次函數的增長速度k與直線的傾斜角是什么關系呢？當直線的傾斜角α為銳角時，學生通過作圖不難發現，k==tanα。當α為鈍角時，這個等式還成立嗎？請學生自行證明。至此就完成了傾斜角的坐標表示。在解析幾何中，稱k為斜率。傾斜角是刻畫直線方向的幾何量，而斜率是刻畫直線方向的代數量。

3.請學生畫出k=tanα的圖象，并敘述斜率隨著傾斜角的變化而變化的過程：隨著傾斜角α的增大，斜率先從0遞增到+∞，再從-∞遞增趨近于0。

環節四：鞏固概念，提升數學運算和幾何直觀素養

1.已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），

（1）求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。

（2）若點D為△ABC的邊AB上一動點，求直線CD斜率k的變化范圍。

通過（1）鞏固斜率的坐標公式及斜率與傾斜角之間的對應關系，提升數學運算素養，通過（2）滲透數形結合的思想，提升運算和直觀想象素養。

環節五：小結作業，提升幾何直觀和數學抽象素養

教師引導學生回顧本節課的知識、方法、難點等，重點是觀念上的提升。比如，確定一條直線的位置需要哪些幾何要素;從函數圖象與性質的角度理解傾斜角與斜率的關系;通過斜率公式體會幾何對象與代數結構的對應。課后作業除了選擇教材中的練習和習題之外，建議學生寫一寫本節課自己感受最深的地方，總結活動經驗。

吳鵬老師點評

直線的傾斜角和斜率是解析幾何中的基本概念，分別從“形”和“數”的角度刻畫了直線的“方向”，其中，斜率的引入是學生首次將幾何要素代數化的具體例子，具有重要作用。本教學設計突出了數學知識之間的內在邏輯和發展脈絡，即先確定直線的幾何要素，再分別用幾何方法和代數方法刻畫幾何要素，遵循了先定性后定量、先幾何度量后代數量化的探究過程，也突出了坐標法的本質特征。本案例突出素養導向，先是在“傾斜角”的概念教學上，突出幾何直觀素養的同時關注學生思維的嚴謹性，而在“斜率”概念的教學上，與學生原有的知識建立聯系，通過與“變化率”的類比使得斜率概念的引入水到渠成，有效提升了學生的邏輯推理和數學抽象素養。

編輯 _ 于萍