思維巧突破，零點妙證明
——2020年全國卷Ⅲ(理)第21題

劉宇峰 (江蘇省張家港中等專業(yè)學校，江蘇 張家港 215600)

利用導數(shù)破解函數(shù)零點的相關(guān)問題一直是歷年高考中比較常見的一類題型，其創(chuàng)意新穎，背景各異，場景各不相同，思維方法變化多端．此類問題，合理地將函數(shù)、函數(shù)的零點、不等式以及導數(shù)及其應(yīng)用等相關(guān)問題加以合理交匯，巧妙破解，方法多樣，思維多變，為各層次的學生均提供相應(yīng)的切入機會，具有很強的高考區(qū)分度與選拔性，是高考命題者青睞與熱衷的一個命題方向.

一、真題呈現(xiàn)

(1)求b；

(2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

此題以含參的三次函數(shù)為問題背景進行合理創(chuàng)設(shè)，以導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的零點等來合理設(shè)置，是高考中考查函數(shù)與導數(shù)應(yīng)用的交匯與融合時比較常見的函數(shù)類型.通過創(chuàng)新形式，利用導數(shù)的幾何意義來合理構(gòu)建，進而確定相應(yīng)的參數(shù)值，并在此基礎(chǔ)上，通過函數(shù)對應(yīng)的一個零點的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的零點的取值情況來巧妙設(shè)置證明問題，難度較大，讓人眼前一亮，同時很好地考查了數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學思想方法和數(shù)學能力等，具有很好的區(qū)分性與選拔性.

二、真題破解

解析：(1)f′(x)=3x2+b，

(2)思維視角一：分類討論思維

方法1：(分類討論法)

而導函數(shù)f′(x)與函數(shù)f(x)的情況為：

x-∞,-12 -12-12,12 1212,+∞ f '(x)+0-0+f(x)↗c+14↘c-14↗

綜上，若函數(shù)f(x)有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，先求導，結(jié)合導函數(shù)的正負取值情況、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在極值點處的取值情況，對參數(shù)c分類討論，再利用函數(shù)的不同零點個數(shù)情況加以分類討論，從而證明相關(guān)的命題成立.

思維視角二：參數(shù)分離思維

方法2：(反解參數(shù)法)

設(shè)x0為函數(shù)f(x)的一個零點，根據(jù)題意，

所以函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，分離參數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，求導，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值來確定參數(shù)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)零點所滿足的關(guān)系式，利用不等式組的建立與求解來確定零點的取值范圍，從而證明相關(guān)的命題成立.

思維視角三：因式分解思維

方法3：(作差分解法)

若函數(shù)f(x)只有一個零點，則問題得證；

綜上，若函數(shù)f(x)有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

方法4：(待定系數(shù)法)

否則，可設(shè)函數(shù)f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，

在柔性垂直防滲技術(shù)實施完成后，對調(diào)節(jié)池內(nèi)滲瀝液和監(jiān)測孔內(nèi)地下水進行取樣檢測，檢測結(jié)果表明柔性垂直阻隔系統(tǒng)對污染物的阻隔作用明顯。檢測結(jié)果見圖5。

同理可得|x1|≤1，|x2|≤1，問題得證.

綜上，若函數(shù)f(x)有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

方法5：(判別式法)

同理可得|x1|≤1，|x2|≤1，問題得證.

綜上，若函數(shù)f(x)有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

方法6：(二次函數(shù)法)

若函數(shù)f(x)只有一個零點，則問題得證.

結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知g(x)=0的兩根均在[-1，1]內(nèi)，即g(x)=0的兩根絕對值不大于1，問題得證.

綜上，若函數(shù)f(x)有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，分函數(shù)f(x)只有一個零點或其他情況，利用函數(shù)零點的性質(zhì)因式分解，借助相關(guān)零點關(guān)系式加以作差分解、待定系數(shù)、函數(shù)與方程以及構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化法等思維，證明零點的絕對值不大于1即可證明相關(guān)的命題成立.

思維視角四：三角函數(shù)思維

方法7：(三角換元法)

若函數(shù)f(x)只有一個零點，則問題得證；

問題得證.

綜上，若函數(shù)f(x)有一個絕對值不大于1的零點，則函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

點評：根據(jù)題目條件，設(shè)出函數(shù)f(x)的絕對值不大于1的零點的三角關(guān)系式，分離參數(shù)，借助三倍角公式以及三角恒等變換公式的轉(zhuǎn)化，確定函數(shù)的三角關(guān)系表達式，分函數(shù)f(x)只有一個零點或其他情況，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來證明相關(guān)的命題成立.

思維視角五：反證思維

方法8：(反證法)

令f′(x)>0，

若函數(shù)f(x)所有零點中存在一個絕對值大于1的零點x0，

又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)<0，

由零點存在性定理知函數(shù)f(x)在(-4c，-1)上存在唯一一個零點x0，

即函數(shù)f(x)在(-∞，-1)上存在唯一一個零點，在(-1，+∞)上不存在零點，

此時函數(shù)f(x)不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；

又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)>0，

由零點存在性定理知函數(shù)f(x)在(1，-4c)上存在唯一一個零點x0′，

即函數(shù)f(x)在(1，+∞)上存在唯一一個零點，在(-∞，1)上不存在零點，

此時函數(shù)f(x)不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾.

綜上，函數(shù)f(x)所有零點的絕對值都不大于1.

三、變式拓展

【變式】(2022屆云南省大理州大理市高三(上)月考數(shù)學試卷)設(shè)函數(shù)f(x)=aex(x-1)-2x2+b.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=2，f(x)有一個不大于0的零點，證明：f(x)所有的零點都不大于1.

分析：(1)求出導函數(shù)，然后分a≤0，04，結(jié)合導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；

(2)由題意，f(0)=b-2≥0，分別利用零點的定義證明b=2，b>2時函數(shù)的單調(diào)性，對f(ln 2)與0的大小關(guān)系進行討論即可.

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.在利用導數(shù)證明涉及函數(shù)零點的不等式問題時，一般會構(gòu)造一個函數(shù)，通過分類討論思想、函數(shù)與方程思想等的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的取值情況，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，以及對應(yīng)的數(shù)學思想方法，屬于難題.

四、解后反思

在解決此類利用導數(shù)來破解函數(shù)零點的相關(guān)問題時：可直接利用函數(shù)特征加以分類討論；可直接構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)合理轉(zhuǎn)化；可直接通過導數(shù)來確定對應(yīng)函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合；可間接通過設(shè)置結(jié)論的反面加以反證推理，以達到解決問題的目的．在破解問題時無論采用何種方法切入，都離不開相應(yīng)參數(shù)的分類討論與函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握基本題型和基本破解方法與策略，以不變應(yīng)萬變.