以“經歷—了解—知道—體會”為路徑設計高中導數概念教學

◎方慧林 周學君* 孟嵐 帥克偉

(1.黃岡師范學院 數學與統計學院,湖北 黃岡 438000；2.大冶市第二中學，湖北 黃石 435100；3.黃州思源實驗學校，湖北 黃岡 438000)

一、引言

微積分是人類發展史中的一項偉大創造,是現代數學的一個起點近年來,美國、俄羅斯、中國等多個國家已將微積分列入了高中數學教材中,可見微積分在國際高中數學教學界受到了重視在中國,微積分的學習主要集中在大學階段,為了使高中數學與大學數學有更好的銜接,2003年版的《普通高中數學新課程標準(實驗)》中,將微積分直接命名為 “導數及其應用”,導數集數形于一體,具有很強的知識交匯功能,它銜接了高中數學中的多個章節內容《普通高中數學新課程標準(2017年版)》(以下簡稱《新課標》)在微積分中增加了數列極限、函數極限等內容,并對導數提出了更高的要求導數的概念不僅是大學數學的基礎內容,而且在高中微積分的學習中處于特殊的地位

高中導數的教學一直是數學教育界的研究熱點文獻中對導數的教學研究主要分為導數應用的教學研究，導數解題技巧，“新、舊課標中” 對導數要求對比分析，《新課標》視角下導數教學研究等幾個方面事實上,不少文獻將研究重心放在了導數應用的教學研究上,且《新課標》實施以來,教學中加大了導數概念教學的研究然而,這些研究中對一線教師的導數教學的指導存在一定的局限性,這種局限性主要表現在將其直接應用于實踐教學的可復制性、可操作性不強

《新課標》中對導數的明確要求有經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導數概念的實際背景,知道導數是關于瞬時變化率的數學表達,體會導數的內涵與思想若嚴格以這四條要求 (即 “經歷—了解—知道—體會” 的路徑)為參考,那么教師在設計教學時的思路可以更加清晰,使得整個教學過程可以更加流暢高中生學習導數概念是比較困難的,但是他們按照此條路徑循序漸進、逐步深入地學習,就不會存在畏懼心理

二、《新課標》對導數概念的要求

《新課標》對導數概念的要求是通過實例分析,讓學生經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導數概念的實際背景一般地,導數概念的學習起點是極限,但對于高中生目前的認知水平而言,他們理解極限的定義是較為困難的因此，在學生沒有了解極限知識的情況下,老師可以創設一些情境來引入導數概念導數概念產生于實際問題中,所以在學習導數的概念之前,老師要讓學生對導數的背景有所認識,學生在清楚導數的實際背景后就可以更好地理解導數的概念,掌握導數的相關知識在導數概念教學中,背景的選擇尤為重要,為了使選擇的實際問題與導數內涵相關,課本引入了瞬時變化率這一概念通過解決實際問題,以及建模的過程讓學生感知平均變化率過渡到瞬時變化率的過程

《新課標》要求學生要知道導數是關于瞬時變化率的數學表達,體會導數的內涵與思想從教科書上的實際例子出發,可以激發學生學習數學的興趣，增強學生學好數學的自信心,從而讓學生能真正地理解導數的本質是瞬時變化率,并且知道導數是關于瞬時變化率的數學表達,體會導數的內涵老師在導數概念的教學過程中,首先利用數學建模思想,讓學生通過實際例子建立模型,然后借助特殊到一般的數學思想,讓學生知道導數表達式利用數形結合的思想,使用函數中的切線這一概念,借助割線逐漸 “逼近” 形成切線的過程讓學生更加直觀地理解導數幾何意義,體會導數中的極限思想

三、導數概念的教學設計

《新課標》對導數概念教學的要求有四點,本節按照《新課標》的四條要求(即 “經歷—了解—知道—體會”的路徑)設計教學

(一)經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程

首先讓學生觀看一段高臺跳水的視頻,當運動員與跳臺一樣高時,此時位移為0學生通過觀看視頻會有視覺上的感受,這樣也能更加直觀地思考以下問題:在高臺跳水中,運動員相對于水面的高度(單位:m)與起跳后的時間(單位:s)存在函數關系

()=-49+48+11，

(1)

(2)

在1≤≤2時間內,

(3)

(1)運動員在此時間段內靜止嗎？

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態合理嗎？

探究過程:讓學生學會利用數形結合的思想進行探究

()=-49+48+11，

(4)

結合函數圖像()可知,

1.2.2 檢測方法 兩組患者手術前后次日早晨空腹抽取5 ml靜脈血，離心8 min，速度為3 000 r/min，采用電化學發光法測定血清孕酮水平；采用酶聯免疫吸附試驗法測定VEGF和INH-A水平[12-13]。

(5)

(二)了解導數概念的實際背景

《新課標》在導數概念的教學中,要求學生要了解導數概念的實際背景導數概念的形成過程具有一定的文化背景,通過對導數概念的深入學習,可以讓學生對其產生濃厚的興趣教師采用 “故事導入” 的方式講授,先由一些人文故事吸引學生的注意力和興趣,然后慢慢引導學生了解導數概念產生的一些實際背景,讓學生知道導數這一概念的產生是為了解決生活中的實際問題

老師以講故事的形式開始引入,例如:微積分有著一段相當漫長的歷史,早在兩千多年前,研究數學和力學的科學家,阿基米德在《圓的測量》著作的論述中就蘊含著微積分的思想劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無所失矣”這些例子中描述的都是很典型的極限概念到了17世紀,隨著數學和物理的快速發展,科學家們遇到的問題主要有以下幾種類型:第一類是研究運動中的某時刻的速度問題;第二類是求曲線的切線問題;第三類是求函數的最值問題;第四類是求曲線長、曲線圍成的面積，以及曲面圍成的體積的問題針對這些問題,數學家們做了大量研究,這也為后面牛頓和萊布尼茨創立微積分打下了基礎在17世紀下半葉,導數才真正被人們所了解,牛頓和萊布尼茨在這個時期是主要的代表人物牛頓在研究變速運動的物體在某個時刻的瞬時速度的實驗過程中,發現了無窮小元素;萊布尼茨從幾何的角度入手,提出曲線的切線就是連接曲線上無限接近兩點的直線

故事講完后,老師開始歸納與導數概念相關的內容眾所周知,數學是來源于生活的,導數也不例外從導數的發展史來看,我們可以知道導數概念的提出是與生活中實際問題息息相關的,我們不難發現微積分的四類問題是從物理學和數學問題中衍生出來的,都是生活中實際的問題,導數概念的提出，正是源于解決這些實際問題的需要

(三)知道導數是關于瞬時變化率的數學表達

學生在了解導數是關于瞬時變化率的數學表達的過程中,經歷了建模、抽象、歸納這幾個步驟,本節將對這幾個步驟進行詳細設計

1建立模型

教材首先創設問題情境，從變化率引入導數的概念,從“高臺跳水” 和 “拋物線的切線”兩個例子出發,讓學生感知了從平均變化率到瞬時變化率的轉化過程,經歷了由割線斜率過渡到切線斜率的過程

對于前述的高臺跳水函數,探究如何求運動員的瞬時速度教師先考察=1附近的情況,讓學生以小組合作的方式計算教材中的每個時間間隔的平均速度,得到結果如表1所示

表1 運動員在某段時間內的平均速度

(6)

為了使學生對導數的了解更加透徹,教師可以引入一個幾何例子設曲線是函數=()=的圖像,在曲線上取一點(1,1)及在點附近任取一點(,),連接,兩點如圖1,讓學生觀察,當點沿著曲線逐漸向點接近時,觀察割線將繞著點逐漸轉動(多媒體顯示動畫)

圖1 割線與切線的演變關系

當點沿著曲線無限接近于點，即趨近于0時,如果割線(虛線)有一個極限位置,那么該直線叫作曲線在點處的切線割線的斜率的極限,就是曲線在點處的切線的斜率,則有的切線的斜率是

(7)

學生通過動手實操及觀看動畫,可以更加直觀、深刻地理解導數的本質學生在說明自己的觀點后,教師可以利用數學語言總結,這也充分體現了在教學中學生的主體地位,以及教師的主導地位

2抽象概念

教師講透實例的具體內容,抽象出導數的定義,這樣學生就很容易接受現用=()來表示高臺跳水的函數,以及這里要指出的是在定義中

(8)

學生用更加直觀的數據體會 “逼近”方法定義的導數,通過分析這兩個實例,從而解決問題由式子(7)和(8)不難發現這兩個問題的答案有一樣的表示形式,現將這種形式用一般的形式表示出來

(9)

叫作函數=()從到+的平均變化率

3歸納定義

(10)

學生通過這兩個實例,能夠了解平均變化率和瞬時變化率的含義然后分析這兩個不同的問題,能夠發現每個題的解題答案的表達形式是相同的,從而把兩個問題及解決方法轉化為一般的形式,就可以得到平均變化率和瞬時變化率的表達式在學習本節課的引入部分,學生在開始就了解到了導數是一種極限的思想,那么從上述式子中就可以發現導數就是瞬時變化率的數學表達式

(四)體會導數的內涵與思想

學生在學習導數概念的這一過程中，可以感受到特殊到一般、數學建模及數形結合的思想

在得到導數概念的教學過程中,體現出了特殊到一般的數學思想從兩個例題可以看出,一類是物理學中的平均速度和瞬時速度的問題,另一類則是幾何學中割線和切線斜率的問題人們對新一類的事物的認識一般都是從這類事物的個體開始的,通過對某些個例的認識與研究,逐漸積累對這類事物的了解,從而發現規律,總結規律,這也就是特殊到一般的思想在本節教學中,針對兩類不同的領域問題，最后答案的形式是統一的,可以將這種特殊形式抽象為一般形式的過程中,讓學生感受到由特殊到一般的過程的思想方法

導數概念的數學表達式,是在解決實際問題的過程中產生的,這一過程中離不開數學建模的思想在導數的教學中,學生已經了解了導數概念的實際背景,并且知道了導數是關于瞬時變化率的數學表達得到導數的數學表達式的過程,實際就是一個數學建模的過程,“高臺跳水”就是一個實際問題,然后再根據課本上的問題,以學生為主體,老師引導學生建立一個數學模型并對其求解在本節教學設計中，老師通過引導學生建立模型并求解,從而得到了導數的數學表達式,在解決這一實際問題時,學生全程參與了建模的過程,并在其中感受到了數學建模的思想

關于求拋物線的切線的問題,是一個抽象的問題,所以在這部分的教學中需要采用數形結合的形式針對切線這一板塊的學習,學生的興趣較高,但學生在數學語言的表達及數形結合的能力上仍有不足學生僅僅通過觀察曲線的割線的變化趨勢就得出導數的幾何意義是比較困難的,但是目前越來越多的現代技術被應用在教學中,所以此時可以利用多媒體動態演示割線逼近切線的過程,既可以讓學生了解無限逼近的思維模式,又可以讓學生更加透徹地理解導數的幾何意義

四、結語

導數是微積分中最重要、最基本且含意深刻的概念之一利用導數方法可以更好地研究初等函數的性質,加深學生對函數本質的理解本文基于《新課標》中對導數概念教學的四條要求(即 “經歷—了解—知道—體會” 的路徑)展開研究首先闡述了《新課標》對導數的教學要求然后針對每一個要求提出具體的教學設計的建議,通過視頻,讓學生從視覺上經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程;借助導數的發展史,從導數的歷史背景過渡到實際例子中,從而讓學生了解導數概念的實際背景;通過課本上的兩個例題的答案,抽象出了一個一般式,從而讓學生知道導數是關于瞬時變化率的數學表達;在導數概念的教學過程中,讓學生體會到由特殊到一般、數形結合及數學建模的思想本文是嚴格按照《新課標》要求(即 “經歷—了解—知道—體會” 的路徑)設計教學,研究視角新穎,為高中教師教授導數概念提供了可操作性、可復制性的教學思路