重建三角，全局皆活

王婷婷

摘 要：在新的時代背景下初中數學教學的難度系數提升較為顯著，面對新的要求以及新的社會環境，初中數學教師需要關注課程結構的有效改革以及優化升級，確保學生能夠有所收獲及成長。在初中數學課程中，三角形的內容非常重要。三角形是連接幾何圖形和代數的橋梁，是初等數學與高等數學交流的通道，三角問題隱含著數值、空間向量、坐標、復數等一系列內容。大量的數學知識與三角學有關，很多具體問題都需要用到三角相關的數學專業知識。其中三角是初中數學課堂教學中的重點和難點，教師需要以此為出發點，關注對重難點的深入分析以及研究。調整育人思路，改革教學模式，深化學生對所學知識的理解及認知，只有這樣才能夠打造品質課堂，促進學科教學改革及創新。

關鍵詞：重建三角;全局皆活;初中數學課程;結構性改革

中圖分類號：G633.63文獻標識碼：A文章編號：1673-8918（2022）23-0089-04

一、 引言

為了發展學生的綜合素養、促進學生的社會實踐、確保初中數學教學能夠取得新的突破及成效，教學經驗豐富的教師開始立足于學科教學的教學條件，以改革課程結構為基礎，在全面調整以及優化的過程中鼓勵學生自由分散，深化學生對數學知識的理解及認知。在傳統的課程內容中，三角函數被引入為直角三角形兩條邊的比值。該定義依賴于相關相似三角形的專業知識，只定義了銳角的三角函數。其實三角函數的定義只是給三角函數一個幾何模型，幾何模型應該有多種選擇。其中重建三角最為關鍵，教師需要著眼于這一學科教學重難點，在指導和鼓舞學生的過程中夯實學生的學習基礎，確保學生能夠實現自主探索和大膽想象。只有這樣才能夠充分凸顯初中數學教學的重要價值及優勢，全面提升學生的數學核心素養，順利完成前期的育人目標。

二、 重建三角與初中數學課程結構性改革

我們可以換一個思路給三角學重新定位，將三角、幾何、代數有機地結合在一起，進行邏輯結構的改造，重新構造課程體系。在中學數學課程中三角占得比重比較大，教師需要立足于這一基礎性的板塊，關注不同學科之間的緊密聯系及互動，了解各個學科板塊之間的內在邏輯聯系。幾何與代數最為關鍵，三角是連接兩者的重要橋梁，有助于深化學生對所學知識的理解，促進初等數學向高等數學的順利過渡。不管是向量、函數、坐標還是復數都與學生的三角知識學習存在一定的聯系，教師需要關注對數學實際問題的深入分析以及研究，與學生共同探索，保證學生能夠靈活運用三角知識解決其他知識板塊的難題。與幾何相比，三角的學習難度相對偏低，學生更容易上手，同時興趣十足。

許多教育學家十分關注對課程教學體系的分析以及研究并提出了不同的改革方案，加大對三角知識板塊的投入及支持力度，適當刪減幾何內容。這種教學模式能夠更好地促進學生的數學學習和社會實踐，對推進初中數學教學改革有重要的影響。在新課程改革不斷深入的今天，初等數學教學中三角的地位仍然非常高，難以動搖。有一部分學生的學習能動性欠缺，學習基礎還有待夯實。在學習三角知識時有的學生感覺比較困難，存在許多理解上的困惑，教師則可以根據數學課程改革活動的開展現狀，融入更多的趣味性元素，了解課程教學的具體內容，注重不同板塊的教學銜接。讓學生能夠實現自主想象和大膽探索，以此來更好地加強對課堂教學時間的合理把控。從正弦定理可以推出相似三角形的基本定理：“若兩個三角形的三個角對應相等，則對應邊成比例。”由余弦定理立刻可以推出“若兩個三角形的對應邊成比例，則對應角相等”，以及相似三角形的“邊角邊”判定法則。

三、 初中數學中重建三角的具體含義

中華人民共和國成立以來，實施了十余項數學初中課程標準。對三角形的內容，關鍵要求學生掌握銳角和特殊角的三角函數值以及三角函數處理直角三角形問題的應用。《義務教育數學課程標準（2011年版）》對三角內容的學習要求基本沒有變化。要求學生探索和理解銳角的三角函數，掌握特殊角的三角函數值，并能運用計算方法求銳角的三角函數值，可以用銳角三角函數解直角三角形。數學在初中教育階段中扮演關鍵的角色，這門課程有極強的實踐性和應用性，教師需要注重環環相扣，有效調整教學思路。以重建三角為基礎，明確這一重要育人目標的具體含義，優化教育教學策略及思路，確保對癥下藥。

首先，在解決幾何問題時三角非常關鍵，教師則需要意識到這一教育板塊的工具作用，利用這一有力的工具來訓練學生的戰術變化能力，關注學生的學習興趣，了解幾何與代數學習的重要要求及核心，靈活利用多種現代化的教育教學策略主動重建三角。從邏輯體系上來看相似三角形相對比較簡單，能夠實現對三角函數的準確定義。教師所需要立足于三角與幾何學習之間的相關性，明確代數課程與其他課程板塊之間的邏輯聯系，確保三角重建，充分凸顯這一教育板塊的指導作用，為學生的幾何學習和代數學習指明道路及方向。邏輯結構的改造最為關鍵，傳統的課堂教學比較機械，教師直接將三角函數與直角三角形相等同，通過簡單的比值引進來實現模糊性定義。其中相似三角形的提示最為關鍵，但是這一點只能夠對銳角的三角函數進行定義，學生會出現諸多的模糊認知，無法對三角函數進行準確深刻的定義。三角函數的幾何模型分析比較復雜，教師只需要提供給學生多個不同的幾何模型，讓學生自由選擇，學生所選擇的幾何模型并不會直接影響最終三角函數的具體數值，但是在推理以及論證三角函數的性質時會產生一定的波動。教師只需要注重對幾何模型的進一步分析，為后期的推理以及論證指明道路，真正實現化難為易和化繁為簡。許多教師開始著眼于當前的教育教學實踐經驗，在反復實踐以及深入思索的過程中提出比較簡單的三角函數定義方法，了解幾何模型的推理論證技巧，結合初中數學教學的現實條件構建科學完善的邏輯體系。進而更好地指導學生、鼓勵學生、發揮學生的主觀能動性，促進學生的個性化成長，提升學生的數學學習成績以及綜合素養。

四、 重建三角，全局皆活——初中數學課程結構性改革的簡單設想

（一）基本出發點

為了實現初中數學與高中數學的有效銜接，初中數學教師需要做好前期的準備工作，意識到自身的責任，關注對三角這一核心板塊的深入分析以及研究，教學經驗豐富的教師會著眼于學生小學階段的學習情況，根據學生的學習現狀以三角形面積計算公式為出發點，明確基本命題。其中三角形面積等于底與高的乘積之半，因此對等高三角形來說，面積比就等于底之比。在自主分析時，教師需要著眼于這一重要概念，讓學生積極利用針對性的數學表達式進行簡單練習，了解三角形的具體面積以及不同線段的長度。這一點有助于更好地減輕學生的理解壓力，很多學生能夠輕松上手，根據自身的學習經驗深入分析各種數學公式，了解數學公式之中所涉及的概念，在全面拓展以及延伸的過程中提升個人的邏輯思維能力。

“重建三角形”就是使用面積法創建三角形。周長為1，角為A的棱柱的面積記為sinA。然后可以定義平行四邊形和三角形的面積，進而可以得到正弦函數的主要特征。這種定義方法考慮了面積，面積為就中小學介紹的重點細節而言，在學生的認知能力系統中，區域是一個非常直觀的定義，容易理解。這個定義將不再需要以相似三角形和比例的專業知識作為鋪墊，擺脫直角三角形的限制，斜角和銳角都一樣，這樣你就可以用這個定義進行科學研究。當今初中數學三角內容中可以科學探究的問題。教師則需要鼓勵學生自主探索，避免學生過度依賴于三角形的面積公式，通過簡單的放大以及縮小來引導學生自主推導，確保不同知識板塊的獨立性，讓學生自主分析其他的基本性質。這一點對夯實學生的學習基礎有重要的作用，學生也能夠產生耳目一新的感覺，自主自覺地接受教師的指導以及熏陶。對幾何以及解析幾何來說共角以及共邊定理的使用頻率比較高，教師則需要著眼于共高定理的應用要求，讓學生能夠自主分析，利用這些常見的數學定理來解答問題。教師只需要將三角引入作為主要目標，促進中學數學課程整體結構的有效改善，夯實學生的基礎，提升學生的數學核心素養。

（二）正弦函數的新定義

古代說的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜邊，“勾”“股”是直角三角形的兩條直角邊。

正弦是股與弦的比例，余弦是余下的那條直角邊與弦的比例。

正弦=股長/弦長

正弦函數與三角形的面積公式存在一定的聯系，教師需要以定義為出發點，關注對不同問題的有效探索及研究，讓學生對三角形的高進行簡單測量，分析三角形的高與三角形面積之間的相關性，進而順利解決不同的難題。當學生了解了等腰三角形的頂角以及腰等相關概念后，教師就可以著眼于角度與邊長之間的邏輯聯系讓學生自主計算，通過簡單的幾何畫板來減輕學生的理解壓力和心理負擔，確保學生能夠輕松上陣。教師可以結合不同的三角定義，讓學生自行分析、大膽判斷，引導學生結合正弦的基本性質進行拓展及延伸，這種正弦引進方式一方面能夠避免學生出現過度依賴的思想，讓學生結合個人已有的知識，在拓展以及延伸知識的過程中調整個人的學習思路。教師需要根據直角鈍角以及銳角的正弦定理全面拓展及延伸學生的思維空間，避免按照傳統的定義方式讓學生進行簡單的解釋，確保表達的嚴謹性以及合理性，激發學生的學習興趣。只有這樣才能夠全面發展學生的綜合素養以及學習能力。

在完成基本教學任務后教師還需要以直角三角形中銳角的正弦為切入點，讓學生自主分析直角與銳角之間的區別及聯系，將課堂歸還給學生，盡量避免簡單直白的照搬照抄，了解學生的個體差異性，分析學生的個性化發展訴求，引導學生自由發散。在實際教學中，不同命題的概念學習有所區別，教師則需要以用字母代替數以及等式變形為依據，關注對教學練習活動的有效落實以及合理穿插，與學生共同探索三角知識的發生以及發展過程，提升學生的代數方法應用能力，通過簡單的舉例來編寫不同的例題，讓學生自由探索，很多學生的學習成績有了顯著的提升，能夠變得更加自信和主動。

（三）正弦定理及其應用

正弦定理也是初中數學重建三角中的重要組成部分，直接關乎數學課程結構性改革的具體成效，數學教師需要注重環環相扣，深化學生對正弦定理的理解以及認知，真正實現舉一反三以及活學活用。正弦定理是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”，即asinA=bsinB=csinC=2R=D（R為外接圓半徑，D為直徑）。

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，則有：

asinA=bsinB=csinC=2R=D

一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度。

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

首先，教師需要以正弦定理的簡單介紹為切入點，讓學生自主分析不同的等式變形情況，抓住初中數學學習中的核心要求，讓學生在基礎學習的過程中深入掌握不同的正弦定理，真正實現高屋建瓴，調動學生的主觀能動性。其次，教師需要與學生共同利用正弦定理解答幾何問題，傳統的課堂教學模式比較機械，學生只能夠對正弦定理進行簡單分析，然后了解相似三角形。這種機械生硬的教學模式不利于學生對正弦定理的理解以及認知，學生只能夠對簡單的幾何圖形進行基本推理。教師則需要以三角形中等角對等邊為基礎，讓學生自主分析三角形中三個角的對應關系，了解邊長之間的比例情況，讓學生結合三角形全等的角邊角判別法來進行解答。這一點有助于學生高效解答各種幾何問題，提升學生的綜合素養。正弦定理與不同命題之間存在一定的聯系，能夠更好地解決各種幾何問題，教師需要與學生共同剖析正弦定理與面積公式之間的相關性，讓學生主動利用面積法解決各種疑難問題，深化學生對公式以及定理的理解，更好地提升學生的數學學習成績以及學習效率，深化學生對幾何知識的理解。

（四）正弦和角公式

首先，教師需要從正弦和角公式出發，關注對不同角度以及邊長的分析，讓學生自主繪制輔助線，了解垂線與直線之間的相關性，然后著眼于面積公式來進行解答。這一點有助于發展學生的邏輯思維能力以及適應能力，確保學生實現舉一反三和學以致用。其次，教師需要以特殊角的正弦與簡單方程為基礎，讓學生自主分析正弦和角公式，通過特殊值的進一步剖析來得出最終的答案。教師需要扮演好組織者的角色，通過不同定理以及公式的有效引進來夯實學生的學習基礎。其中勾股定理的出現頻率比較高，對學生直角三角形的解答有重要的影響，教師需要通過勾股定理的有效推導以及分析來強化學生的知識印象，避免學生出現消極應對的情緒，確保學生能夠高效獨立地解答不同直角三角形的相關問題。正切和余弦的引入最為關鍵，這一點有助于避免不必要的計算環節，讓學生實現輕松上陣，在完成這一基礎任務后教師還需要注重后期的總結及反思，了解學生在自主學習過程中所遇到的困難及障礙，活躍課堂氣氛，激發學生的學習能動性，為初中數學課程結構性改革指明道路及方向。學習基礎較好的學生能夠在自主探索的過程中發揮個人的能動性，結合已有的學習經驗自由發散和想象，真正意識到數學這門課程學習的必要性和重要性，主動自覺地接受教師的指導以及熏陶。高效課堂得以打造，教育教學資源的使用效率提升較為顯著，學生能夠逐步產生更多的學習動機。

五、 結語

在初中數學教學改革的過程中，教師需要著眼于課程結構性改革工作的現實條件，以三角為基礎，活躍整個課堂氣氛，靈活利用現代化的教育教學策略來鼓勵學生，促進學科教學改革及創新，發揮學生的學習能動性，提升學生的數學素養。“重建三角”初等數學新體系對初中數學課堂教學改革創新具有借鑒意義。新的“重構三角形”系統具有可視化的三角函數定義方法和簡單但認真細致的邏輯推理過程。在這個新體系下，三角形、幾何圖形、解析幾何相互滲透，有利于塑造學生的幾何直覺。期待加快推進“重建三角”教學計劃的不斷完善和實驗教學的進展，完善“重建三角”實驗教學中教師的學習和培訓，并開發設計相應的培訓供學生應用。通過簡單的對比分析以及整合利用夯實學生的學習基礎，確保學生在數學學習的過程中真正實現輕松上陣和舉一反三。

參考文獻：

[1]張景中.三角下放全局皆活：初中數學課程結構性改革的一個方案[J].數學通報，2007，46（1）：1-5.

[2]俞健，唐松錦.初中數學知識結構調整的教學實踐與認識[J].新課程學習（社會綜合），2015（3）：9.