數形結合思想在初中數學課堂教學中的滲透

福建省晉江市季延初級中學 陳合輝

數形結合思想是目前初中數學教學運用得最為廣泛的數學思維，能夠有效幫助學生構建數學思維模式，提高其數學成績，同時也可以活躍課堂氛圍，提高課堂效率。因此，我們有必要深入研究數形結合思想在初中數學課堂教學當中的運用，以期做得更好。

一、數形結合的內涵與特點

（一）數形結合的基本內涵

筆者認為，數形結合實際上就是借助直觀的圖形來解決抽象的代數問題。數與形之間應該是一一對應的，兩者相輔相成，是數學事物的兩個不同方面。利用數形結合思維去解決數學問題，能夠使復雜的數學知識簡單化，讓抽象的數學語言具象化，將數學的抽象思維和形象思維有機結合起來，通過兩者的不停轉換來解決數學問題。目前，數形結合的思想在初中數學教學中運用較為廣泛，是初中數學的一種重要數學思維。德國著名數學家希爾伯特有一句名言：“方法是數學的行動，思維是數學的靈魂。”因此，我們要重視數形結合思維在初中數學教學當中的應用。

（二）數形結合的特點

大部分數學語言是具有抽象性的，但數形結合則具有直觀性、形象性的特點。一些抽象的數學語言可以通過具象的圖形表達出來，讓人能夠直觀地理解抽象的數學語言所要表達的意思。

圖1

通過直觀的圖像，我們很容易得出a的取值范圍。這就是數形結合的直觀性和形象性。

二、初中數學課堂教學中的困境

（一）抽象概念增多，學生找不到有效學習方法

初中數學所學的內容更多，像函數、方程式、概率統計等知識模塊，都需要學生有較強的邏輯思維能力和抽象思維能力。但初中生受認知水平和年齡特點的制約，思維能力不足，導致他們難以充分理解抽象的數學語言，在解題時往往找不到切入點，思維陷入困境，解題困難，慢慢地喪失對數學的學習興趣。因此，這就需要教師對學生進行有效引導，幫助學生建立解題思維，迅速找到解題的切入點，幫助學生攻克解題困難。

（二）教師教學方式落后，學生喪失學習興趣

當前初中數學課堂教學方式較為單一，通常是教師講解數學概念，然后講解例題，再給學生布置練習，檢驗學習成果。這樣固定單一的教學方式，容易使學生產生學習倦怠感，同時也不利于培養學生的學習主動性，增強數學思維能力。學生感受不到數學的趣味性，自然而然就會喪失學習的內驅力。因此，探索新穎有效的教學方式，在課堂上融入數形結合思想對激發學生學習興趣有著重要的作用。

三、數形結合思想在初中數學課堂教學中的重要作用

（一）將復雜的知識簡單化，降低數學理解難度

在初中數學教學中，教師運用數形結合的教學方式有利于使復雜的數學問題簡單化、抽象的數學問題具體化，讓學生可以借助圖形去理解抽象的數學語言。這種教學方式，有利于幫助學生快速找到解題思路，攻克難點。學生一旦掌握了解題思路，摸到了學習數學的竅門，就能夠靠自己解決許多數學難題，從而產生成就感，愛上數學。例如，數形結合的思想可應用在“一次函數”的學習當中。教師在教授“一次函數”時，先通過畫函數圖像來幫助學生理解函數的概念。接著，教師再布置練習，讓學生運用數形結合的方法去解決一次函數的問題。例如，一次函數y=x-9的圖像經過哪個象限？如果學生充分理解并牢記教師講過的一次函數圖像性質，就可以直接根據圖像性質，由k＞0和b＜0，得出圖像過一、三、四象限；若不記得圖像的性質，也可以利用數形結合的方法，畫出圖像，找到答案。

由此可見，數形結合思想能夠幫助學生理解抽象的數學語言，通過圖形輔助解題，降低數學的理解難度，從而提高解題的效率。

（二）增強數學的趣味性，激發學生的學習興趣

初中的學生常常覺得，初中數學相比較小學數學來說更加枯燥無味，因為有太多的抽象數學語言，以及難以理解的數學概念公式。小學數學的題目通常是與圖形結合在一起的，較為直觀。因此，在初中數學教學中運用數形結合的思想，有助于增強數學的趣味性。例如，可以引導學生去觀察生活，找出生活中蘊含數形結合思想的例子。比如，體育課時班上學生的站位，還有運動會時比賽選手跑步的行動軌跡、太陽在一天之內的運動路線等。

（三）提高教師的教學水平，提高數學教學質量

課堂是教師的舞臺，課堂效率是評價教師教學水平高低的重要指標。教師要想在初中數學課堂教學當中進行數形結合思想的有效滲透，首先要做的是加強自身的理論知識儲備，例如多學習一些新型教學方式，思考如何利用這些新的教學方式來引導學生更好地學習運用數形結合思想去解決題目；其次，教師要潛心備課，深入研究教材，挖掘教材當中蘊含的數形結合思想，同時也要了解學生不同階段、不同層次的學習特點，進行分層教學；最后，教師還要精心設計課堂教學活動，提高自身對課堂的把控能力，在活動中讓學生感受數學的魅力，增強學生的學習體驗感。在這一系列過程中，教師的教學能力會得到鍛煉，教學水平也會不斷提高，課堂效率自然也會提高。

四、數形結合思想在初中數學課堂教學中滲透的有效策略

（一）培養學生利用數形結合的思想分析問題的意識

思想是行動的先驅，首先要引導學生樹立運用數形結合思想分析問題的意識。在教學活動中，教師要通過兩方面來培養學生應用數形結合思想的意識。一方面，教師要充分利用教材，挖掘教材當中蘊含數形結合思想的例子，將數形結合思想滲透在課堂教學活動中的各個環節，讓學生意識到數形結合思想對于自身解題的重要性。例如下面這道經典題目：如圖2，在邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個矩形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的乘法公式是 （用字母表示）。

圖2

這道題就是很典型的利用幾何圖形來解決“數與式”的題目。通過兩個直觀的圖形，不難發現兩個圖形的陰影面積相等，由此可得出公式a2-b2=（a+b）（a-b）。因此，在講解教材的題目時，教師就要引導學生做到“以形代數”。教師通過強化學生的應用數學思維，來幫助學生培養利用數形結合解題的意識。初中的學生已經具備一定的圖形知識，只是他們常常會將學科知識與我們的日常生活割裂開，無法形成一個統一的思維整體。因此，要強化學生的應用數學思維，讓學生發現，其實生活中處處都是數學，處處都可以運用到數形結合的思想。例如，在學生出操時，我們可以告知學生以某一同學為原點，可以形成一個坐標系，還可以通過布置小任務，如“以小明同學為原點，處于坐標系（5，8）的同學是誰？”，讓學生找出答案。這樣既在游戲中滲透了數形結合思想，又增強了數學的趣味性，激發了學生的學習興趣。

（二）發揮學生的主體作用，發展學生的數學思維

初中數學有一個模塊是學習立體幾何知識，在這個模塊里，教師就更容易引導學生利用數形結合的思想去解決問題。同時，教師要發揮學生的主體作用，將課堂還給學生。教師要向學生呈現數學有趣好玩的一面，才可以激發學生對數學的探究欲和好奇心。例如，在學習棱柱這一知識點時，教師要摒棄傳統的教學方式，不能單單按照課本上的概念講解理論知識，這不利于學生對知識點的理解和記憶。教師可以帶領學生利用卡紙，一起制作一個棱柱。在每一步的制作過程中，教師就可以滲透知識點的講解，這樣就可以提高學生對棱柱的認識，加深記憶。例如，棱柱的一個特點是所有的側棱長度相同。所以學生在制作棱柱的時候，就要思考如何才能成功做出一個棱柱，那肯定要先理解透徹棱柱的特點。再者，在學生制作的過程中，教師也要發揮引導作用，引導學生去觀察和思考平面圖形和立體圖形之間的關系，找到兩者之間的聯系，發揮學生的主觀能動性，最后通過練習，再強化數形結合思想在立體幾何當中的運用。

（三）利用小組合作方式，有效地運用數形結合思想

小組合作是初中數學課堂教學中一個有效的教學方式。學生獨立解決數學問題時，很容易產生思維局限性，卡在某一個解題步驟無法繼續，從而會浪費大量的時間去解決這一道題目。解決這一問題的有效方式就是運用小組合作的方法。俗話說：“三個臭皮匠，勝過一個諸葛亮。”因此，初中數學教師可以在課堂教學當中讓學生進行小組合作學習，合作探究解決一個人無法解決的數學問題。在帶領學生學習不等式解的知識時，教師可以通過小組合作的方式，讓學生有效運用數形結合的思想。例如，通過小組合作，寫出7個不等式3x-5＞3的解，這類題目都可以通過小組合作得到答案。同時，還可以讓小組內討論，在解不等式的過程中有什么感受和見解。思維能力較強的學生就會發現，其實不等式是可以有無數的解的，而在某些限定條件下，不等式也可以只有一個解。這樣有利于培養學生的自主思考能力，提高他們的數學思維。

（四）加強練習，定期總結數形結合思想的解題方法

數學是一門培養思維能力的學科，必須通過不斷練習來強化學生的數學思維。因此，學生要想將數形結合思想掌握并熟練運用，一定要加強練習，才能常學常新，不斷提高自己的數學思維能力，突破思維的局限性。另外，教師要引導學生學會總結和復習。數學題可以有千萬種變化，但其蘊含的數學思維和解題思路通常是不變的。因此，教師應當引導學生提高自身的歸類總結能力，對“換湯不換藥”的數學題目進行分類總結，對運用過的數形結合方法進行復習，確保自己能夠一眼就看透題目的本質。這樣學生才可以將數形結合的思想銘記于心，熟用于題目。教師也要定期帶領學生總結和復習一個階段所學的知識點，做到溫故而知新。利用課后作業、堂上測驗等方法對學生進行學習成果的檢驗，確保學生熟練掌握數形結合的思想，發揮教師的主導作用。

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化、幾何問題代數化。初中數學教師應當提高自身對教材的整體把握，挖掘教材當中蘊含的數形結合思想，在教學過程中有意滲透并鼓勵學生運用數形結合思想去解決問題，不僅能夠拓展學生的數學思維，培養其養成良好的解題思維習慣，還能夠促使教師不斷提高自身的教學水平和教研能力，做到破而后立，常教常新，樹立與時俱進的思想意識，同時也為初中數學教學的發展提供了一些思路。