基于社會力模型的地鐵站微觀人群傳染與防控

陳 力，杜彩肖，姚 萌，王高洋，梁博洋，王敬瑜，劉思琪，李雨哲，崔海航，周 敏

(1. 西安建筑科技大學建筑設備科學與工程學院，陜西 西安 710055； 2. 西安建筑科技大學力學技術研究院，陜西 西安 710055； 3. 中國中元國際工程有限公司，北京 100089； 4. 西安中地工程規劃設計有限公司，陜西 西安 710055)

二十一世紀以來，世界各地發生了多起重大傳染病疫情，造成了慘重的人員傷亡與巨額的財力損失。同時，人們對于傳染動力學的研究也在不斷發展，以經典的倉室模型為基礎不斷結合新的方法改進模型，使模擬結果越來越接近真實的疾病傳播過程。類比人群動力學的分類方法，已有的傳染動力學模型分為宏觀和微觀兩類。宏觀模型關注大區域大規模健康狀況不同的各類人群數量的變化，忽略個體間感染的細節。微觀問題則關注小區域小規模人群中感染的傳播情況，重視局部個體間相互作用的影響。宏觀模型主要包括經典倉室模型以及部分以復雜網絡為基礎的傳染動力學模型，微觀模型主要是考慮個體運動的改進倉室模型，文獻調研結果顯示微觀模型有益于分析具體的感染過程，但仍存在一些值得探討的方面：(1)元胞自動機用于描述個體運動的規則固定，難以反映更加真實的運動特性和個體間的相互作用。(2)復雜網絡多基于社會聯系建立，對于陌生個體間的接觸描述相對困難。(3)復雜網絡中個體運動速度大小的設置多為定值，且忽略了個體間接觸時間對感染概率的影響，與真實情況存在差異。

針對上述問題，研究基于能夠描述行人個體運動的社會力模型，通過引入感染狀態、接觸時長和感染概率等因素，對微觀人群的感染傳播過程進行研究，以典型的公共建筑之一地鐵站為例研究人群運動對感染的影響。本研究介紹考慮了個體感染的社會力模型，基于社會力模型對地鐵站的感染傳播進行模擬，確定主要影響因素。驗證增加隔擋設施與改變行人運動特性對降低感染風險的有效性，并對地鐵站行人出站過程的防控措施給出建議。

1 物理模型

1.1 考慮個體感染的社會力模型 社會力模型是一種離散單元方法，被廣泛用于描述行人運動。社會力模型能夠更加真實地反映微觀個體間的相互作用，對判斷行人間的接觸過程存在優勢。社會力模型[1]基于牛頓第二運動定律，以每一個行人為研究對象，分析其受力，研究人群的運動情況。行人i受力與加速度的關系如式(1)所示：

(1)

(2)

(3)

對于較為復雜的幾何空間，社會力模型在確定期望速度方向時較為困難，因此本研究通過格子Boltzmann方法計算流場速度矢量的方式確定行人期望速度的方向[2]。采用D2Q9模型，邊界條件設置為反彈邊界，為防止渦的出現，采用較小的雷諾數確定初始狀態參數，在這里取雷諾數為1。

研究假設感染傳播的方式為飛沫傳播，參考SEIR給出的人群分類假設個體的健康狀況。關于行人的感染判定方法如下：在人群運動的過程中，當易感者與感染者之間的距離≤感染半徑 ，并且保持在該范圍內達到一定時間后，即認為與感染者發生了接觸。隨后系統將生成一個隨機數Nrandom，0

(4)

以新型冠狀病毒肺炎(COVID -19)傳播為例，潛伏期約7 d，如基本傳染數R0=3時，假設該感染者每次乘坐地鐵平均可接觸10人，每天乘坐4次地鐵，且假設只有地鐵內會發生傳染，因此7 d內共計接觸280人，其中3人被感染，故每次接觸的感染概率pInf=3/280=0.010 7。其中每次乘坐地鐵的平均接觸人數可以由不考慮個體感染的社會力模型在具體的地鐵站模擬計算確定，因此對于一個給定的地鐵站幾何條件和給定的R0，就可以確定感染概率pInf。另外由于潛伏期tei遠遠大于行人出站所用時間，因此模擬中未考慮潛伏者轉化為感染者的情況。但是如果將此模型推廣到大范圍與大空間的尺度，考慮行人若干天的運動，上式仍然適用。

本模型結合經典社會力模型和距離相關的個體傳染模型，能夠根據具體的接觸時間判定接觸，能夠模擬行人間、行人建筑間的相互作用，使得微觀人群運動感染模擬更接近真實的感染傳播過程。

1.2 參數設置 參照已有典型地鐵站的CAD圖紙設置模擬場景(見圖1)，-1F為站臺層，1F為站廳層，圖中標注了主要的相關尺寸。模擬的初始條件設置如下：首先給一定的時間使規則分布于車廂的行人進行小范圍的隨機運動，之后行人下車步行通過兩側樓梯到達站廳層，到達站廳層后的行人隨機選擇出口，通過左右兩側閘機從四個出口中的任意一個離開地鐵站。初始感染者僅一人，每個算例重復計算300次，經驗證重復次數已足夠獲得穩定的結果，每次計算當中初始感染者在車廂中的位置隨機。以下幾點需要說明：(1)因為行人出站過程時間較短，假設出站過程中被感染的潛伏者不具有傳染性。(2)只考慮行人出站過程，未考慮進出站同時存在的情況。(3)只考慮單側列車出站過程，未考慮兩側列車同時到站的情況。(4)假設列車上無人停留，行人在列車到站后全部下車。(5)未考慮出站閘機開關時間的影響。(6)行人期望速度取值滿足均勻分布[2]，個體尺寸依據相關標準取值[4]，見表1。

表1 行人各項參數取值

2 模擬結果

本研究假設病毒傳播的方式為飛沫傳播，人與人之間的接觸是發生感染的必要條件。首先，對模型的準確性進行驗證。根據1.1節的介紹，通過給定場景、人數計算運動過程，可確定平均接觸人數，結合假設的R0可估算感染概率。然后使用估算的感染概率計算運動及感染過程，統計計算被感染人數，若與假設的R0值接近，則證明模型準確性滿足要求。如圖2所示，假設R0值為50，得到感染概率為0.101，利用此感染概率模擬運動及感染過程，統計被感染人數(即反映為R0值)。可以看到在算例重復次數達到300之后，模擬結果與假設的R0一致且保持不變。因此模型的準確性能滿足要求，且算例重復計算300次可得到穩定的結果。驗證模擬中是7 d，共28次出站情況下的感染人數，后續的模擬計算中只進行1次出站過程的模擬，重復300次求平均值。

模擬不同出站總人數的情況下，接觸次數以及感染人數的變化。模擬參數[5]設置如下：感染半徑1.5 m，感染概率0.101。其中R0=50，大于文獻中的取值，目的是為呈現更明顯的感染人數的變化。將此算例作為對照組，便于之后模擬結果的對照分析。隨著出站總人數的增加，行人間的接觸次數和感染人數均增大。對比兩條曲線可見在相同的參數設置條件下，接觸次數結果的波動范圍更大，見圖3(a)。可能是行人具有跟隨效應[6]的緣故，由于跟隨效應的存在，被感染者多為初始感染者周圍的行人，因此初始感染者的位置會對感染人數產生重要的影響。為了驗證，統計距離初始感染者不同位置處被感染的人數，獲得距離感染率，即不同距離處被感染的概率，初始位置與感染者越接近，被感染的概率越大，見圖3(b)。

為有針對性地提出防控措施，首先需要確定主要的影響因素，分別模擬不同感染半徑以及基本傳染數下的感染情況。結果顯示，無論何種情況下，感染人數均隨著出站總人數的增加而增大，較大的人群密度會促進感染傳播。對比感染半徑與基本傳染數的變化對感染人數的影響，發現感染半徑的影響程度更大，見圖3(c、d)。感染半徑、出站總人數對感染傳播存在顯著影響，防控措施的制定考慮從以上兩個方面入手，如控制進站人數，降低人群的聚集程度以及增大行人間距等。

2.1 地鐵站內行人聚集分析 觀察地鐵站中幾個主要位置的人群聚集情況。由于站臺層空間有限，行人目的地相對一致，因此聚集現象較為嚴重，從不同車門下車的行人在樓梯口處聚集，見圖4(a)。之后，在通過樓梯的過程中，行人之間在較長的一段時間里一直保持著相對小的距離，見圖4(b)。而站廳層空間開闊，行人目的地不同，行人隨機向四個出口方向分流，聚集現象不明顯，見圖4(c)。雖然存在對向人流的交叉混合，但是由于接觸時間較短因此感染的可能性相對較小。所以感染主要發生在站臺層，行人同向行進且間距較小接觸時間較長，樓梯處是行人發生聚集的主要位置。如圖4(d)所示為感染密度圖，rho值的大小表示單位面積被感染者的個數，圖上結果為300次重復計算疊加的效果，可見樓梯處感染人數較多。接下來模擬樓梯處設置隔擋設施的場景，比較結果以獲得合理的隔擋方式。

2.2 設置樓梯隔擋 地鐵站中經常會設置活動欄桿、伸縮欄桿和鐵馬等隔擋設施，用來引導行人流，尤其在客流量高峰期，隔擋設施起到了提高效率、緩解擁堵的重要作用。利用隔擋的方式分散人流，可以減少出站行人的接觸次數，降低感染人數，如設置樓梯隔擋。樓梯原有寬度為6.0 m，通過設置隔擋的方式將其劃分為狹窄通道，模擬通道寬度分別為1.2、1.5、2.0 m的地鐵人員感染情況，結果顯示：人數較少通道寬度為1.5 m時減少感染人數的效果較為明顯；隨著總出站人數的增多，通道寬度為2.0 m時更有利于感染人數的降低；隨著總人數的進一步增大，降低感染人數效果的整體趨勢變差，見圖5(a)。對照組與措施組感染密度圖對比可見，樓梯加隔擋后大大降低了樓梯口處的感染人數，見圖5(b)。在人數≤200人的情況下，措施組感染人數與對照組相比降低了23%。

2.3 增大行人間距及期望速度 社會力模型中的參數Bi表示個體對于其他行人的社會排斥力特征長度，值越大則代表行人之間的排斥力越大，如式(3)所示，相應行人間的間距越大。因此，若要增大行人間距只需增大Bi值，結果顯示增大行人間距能夠顯著降低感染人數；在出站總人數為300人的情況下，增大行人間距后感染人數降低25%，見圖6(a)。由子圖可見，隨著行人間距的增大，樓梯處行人密度減小，說明聚集程度降低。

增大行人間距的方法有效減少了感染人數，但在人流高峰期，較大的行人間距很難保證。因為地鐵站空間有限，人流量的增多使得行人間的距離減小。期望速度值的大小反映行人想要到達出口意愿的強烈程度，期望速度越大則行人實際的移動速度越大。因此，采用期望速度的大小反映行人移動速度的變化。模擬期望速度變化對感染人數的影響，結果顯示，隨著期望速度的增加感染人數降低，尤其在出站總人數較多時降低的趨勢更明顯。在出站總人數300人的情況下，增大期望速度降低了50%的感染人數，見圖6(b)。

3 討論

宏觀模型主要包括經典倉室模型以及部分以復雜網絡為基礎的傳染動力學模型，如COVID -19疫情期間，研究人員基于SEIR模型對疫情的發展情況進行預測[7-11]。Li等[12]結合SEIR模型和城市交通網絡模型，提出一個適用于中國城市流行病傳播的模擬系統，通過與官方數據的擬合驗證了模型的可靠性。結合復雜網絡的傳染分析以靜態網絡為主，即假設網絡中節點間的聯系在時間上保持不變。研究人員[13-14]以倉室模型為基礎，分別引入了間接感染率和非均勻傳播，結果表明降低間接感染率以及非均勻傳播能夠降低感染風險，兩個研究對復雜網絡模型中的等概率感染相鄰節點的假設進行了改進，使模擬更加接近實際情況。微觀模型主要是考慮個體運動的改進倉室模型，如與元胞自動機[15]、復雜網絡[16]結合的傳染研究，另外還包括利用社會力模型描述感染傳播的研究。經典倉室模型忽略了個體間接觸概率的差異，遵循均勻混合假設，研究[17-18]對此進行改進，引入個體運動和感染半徑的因素，分別驗證長程運動概率以及運動形式限制對感染傳播的影響，結果表明長程運動會加速感染傳播，而運動形式限制能夠降低感染風險。周海平等[19]結合元胞自動機和SIS模型研究感染傳播，結果表明人群的流動會很大程度上加速感染的傳播，感染風險隨人群密度的增大而增大。于紅等[20]基于復雜網絡理論研究不同易感性、感染性、個體運動以及感染周期的影響，得到并驗證了傳播閾值的表達式。Namilae等[3]基于社會力模型，模擬飛機登機和離機過程中乘客之間的接觸對感染傳播的影響，評估不同的登機、離機方式等對接觸次數的影響。

針對微觀模型存在的問題，本研究基于能夠描述行人個體運動的社會力模型，通過引入感染狀態、接觸時長和感染概率等因素，以典型的公共場所地鐵站為例，研究微觀人群中個體運動對感染傳播的影響，分析多種防控措施的有效性，結果表明：(1)樓梯隔擋能夠在一定程度上降低感染人數，但合適的通道寬度需要根據實際情況設置，太寬的通道無法達到減輕聚集程度的目的，而通道過窄則會影響通行能力，有可能造成擁堵，增大接觸時間促進感染傳播。樓梯隔擋的存在起到了分散人流的作用，降低了行人間的接觸次數。(2)隨著總人數的增加，樓梯隔擋措施有效性下降，因為隨著人數的增多，通道的通行能力下降，行人間接觸時間增長。同時站廳層對向行人流接觸次數增多，感染人數增多。(3)增大行人間距，能夠減少感染半徑范圍內的易感者人數，增大期望速度降低了行人間的接觸時間，兩者均可顯著降低感染人數。因此，可通過地鐵站廣播、繪制標識線、工作人員監督等方式引導行人自覺保持間距，盡快出站。(4)出站總人數的增加會導致防控措施有效性降低，因此，除了做好特殊時期的測溫篩查工作，還應注意進站人數的控制，才能保證防控措施的合理有效性。

致謝：感謝李安桂教授對文章提出的建設性意見。