圓錐曲線中易錯問題致誤剖析

陜西 劉正章

(作者單位：陜西省漢中市四○五學校)

解析幾何的基本思想是運用代數法解決幾何問題，由于其運算較煩瑣，易出現失誤，故解題時盡量運用幾何問題中蘊含的幾何性質簡化運算，但由于幾何圖形靈活多變，稍有不慎就會出現漏洞.因此，在復習過程中要強化易錯問題的教學與練習，下面簡要談談圓錐曲線中的易錯問題及其應對策略.

一、未能正確運用圓錐曲線的標準方程致誤

“通過方程研究曲線的性質”是解析幾何的兩大基本問題之一，屬于高考的必考點.因為我們研究圓錐曲線性質的經驗主要是基于其標準方程，所以忽視圓錐曲線標準方程的掌握和正確運用，必將導致解題失誤.

【錯解】由雙曲線方程得a=1，b=m，

【剖析】本題主要考查的是雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質，屬于基礎題.但標準方程中x2，y2的分母是a2或b2，錯解中馬虎大意，將y2的分母當成b，造成失誤.

【正解】依據雙曲線的標準方程，知a2=1，b2=m，

故應填2.

【評注】在圓錐曲線方程研究其幾何性質時，要將方程化為標準形式，先“定位”，再“定量”.如焦點在x軸上的橢圓或雙曲線，哪些量表示a2，b2，解題時必須弄清，另外還要注意a，b，c的關系，若是雙曲線，則c2=a2+b2；若是橢圓，則a2=b2+c2，否則很容易出現錯誤.

二、未能正確運用圓錐曲線的定義致誤

定義是辨析圓錐曲線的類型和推導其方程的根本，也是研究相應曲線上的點與其焦點距離有關問題的一把利器.但在運用定義時切莫忽視定義的前提條件，否則極可能出錯.

A.直線B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

【錯解】由條件知，點P到點(1，2)的距離與它到直線l：3x+4y-11=0的距離相等，根據拋物線定義知，點P的軌跡是拋物線，故選B.

【剖析】利用圓錐曲線的定義解題時，忽視了點(1，2)在直線l：3x+4y-11=0上的隱含信息，而只有當定點不在定直線上，兩距離相等時軌跡才為拋物線.

【正解】由于點(1，2)在直線l：3x+4y-11=0上，且點P到點(1，2)的距離與它到直線l的距離相等，所以點P的軌跡是過點(1，2)且垂直于直線l的直線.故應選A.

【評注】利用圓錐曲線定義求軌跡是非常簡潔的方法，但使用時需注意兩個方面：一方面是定義的前提條件，如橢圓2a>2c，而雙曲線不僅要滿足2a<2c，還需關注是否有“2a>0”及“差的絕對值”；另一方面是數形結合時需考慮全面，否則易漏解致誤.

三、未正確處理直線與圓錐曲線的位置關系致誤

直線與圓錐曲線的位置有相離、相切、相交三種位置關系，在處理含參數的直線與圓錐曲線位置關系問題時，若忽視對參數，即直線與曲線位置關系的討論，極易造成錯解.

【例3】若過點(0，-2)的直線l交拋物線y2=8x于A，B兩點，且AB中點的橫坐標為2，則直線l與坐標原點的距離為________.

又因為y1=kx1-2，y2=kx2-2，x1+x2=4，

所以y1+y2=k(x1+x2)-4=4k-4，

于是k(4k-4)=8，解得k=-1或k=2，

所以l：y=-x-2，或y=2x-2.

【錯解2】設l：y=kx-2，代入y2=8x，

得k2x2-4(k+2)x+4=0 ①，

又因為AB中點橫坐標為2，所以x1+x2=4，

【剖析】錯解1“點差法”默認了直線與曲線相交，反之則不然.事實上已知點不是弦的中點，按“點差法”也可求出弦所在直線的斜率，故運用“點差法”求中點弦須檢驗.錯解2“根系法”默認方程①有兩解，但該方程當k=0時，為一次方程；當k<-1，即Δ<0時，方程無實數根，這兩種情況均不能使用韋達定理；當k=-1，即Δ=0時，雖能使用韋達定理，但此時直線與拋物線相切，與題意不符.故當k>-1，且k≠0，即Δ>0不可忽略.

【評注】解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，常對交點運用“設而不求”的策略以減少運算量，但此法的前提是直線與曲線有公共點，因此求解過程中必須保證Δ≥0(相交于兩點時Δ>0).另外注意兩點：第一，判別式Δ=b2-4ac的使用前提是聯立、消元后的方程ax2+bx+c=0滿足a≠0，而當a=0時，對于拋物線屬于直線與對稱軸平行或重合的情形，對于雙曲線屬于直線與漸近線平行的情形；第二，直線與雙曲線交于兩點，可能都在左支、可能都在右支、亦可能是一左一右，若數形結合解題需分辨清楚.

四、忽視直線斜率不存在的情形致誤

在求直線方程或研究直線與曲線位置關系問題時，往往要設直線方程，通常是直線過一已知點，設點斜式；沒有明確的點、截距信息時，設斜截式.此時一定不要忘了斜率不存在的情形討論，否則會出現邏輯不嚴謹或丟解錯誤.

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：直線l過定點.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)及直線l的方程為y=kx+m(m≠1)，將直線與橢圓的方程聯立，

得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，

而-1=kP2A+kP2B

即(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0，將①代入，

【剖析】第(2)問默認直線l的斜率存在，直接設其方程為y=kx+m(m≠1)，而忽視l⊥x軸時的情形，盡管經討論與題設不符，但作為解答題必須要展示嚴謹的解決問題過程.

【評注】證明直線過定點的關鍵是設出直線方程，通過一定關系轉化，找出兩個參數之間的關系式，從而判斷過定點的情況.在設直線方程之前，若題設中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，接下來的通法是聯立方程組，求判別式、韋達定理，結合題設關系進行化簡.若已知直線不與y軸垂直，可設在x軸上的截距式x=ty+n來避免對斜率是否存在的討論.特別提醒，此類問題歸根結底屬于待定系數法求方程的易錯點，設方程時必須考慮所設方程的適用條件，不確定時切勿忽視對不適用情況的討論.

(1)求橢圓C的方程；

五、忽視圓錐曲線的取值范圍致誤

【例5】如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

(1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；

【評注】圓錐曲線中求范圍問題，一般有兩大類：

第一類是利用條件將目標問題轉化為對應一元函數問題，再根據函數形式，選用方法求值域，如二次型利用對稱軸與定義區間位置關系，分式型可以利用基本不等式，復雜或復合型可以利用導數，先研究單調性，再根據單調性確定值域.此時一定要注意自變量的取值范圍，若自變量是已知曲線上點的坐標，則注意曲線的范圍；若是關于動直線或曲線相交的參變問題，則注意判別式大于或等于0；若是已知參數，則注意相關約束條件.

第二類是建立目標問題的不等式，通過解不等式求解.該不等式來源于已知不等式關系(參數的范圍、給定的不等式)、隱含的不等式(圓錐曲線的幾何性質)、判別式等.

(1)若三角形ABF2可以是邊長為4的正三角形，求此時Γ的標準方程；

(2)若存在直線l，使得AF2⊥BF2，求Γ離心率的取值范圍.

圓錐曲線內容較多，應用靈活多變，引起失誤之處除上述常見五種情況外，還有如審題不嚴、概念混淆、計算出錯、忽視隱含信息、忽視軌跡與方程的等價性、忽視參數的分類討論、消參時忽視參數的制約條件等.限于篇幅，這里不再一一舉例.

綜上剖析，雖然有的失誤影響較小，但大多失誤卻是“千里之堤，毀于蟻穴”，因此針對錯誤希望做到，有則改之無則加勉.只有在復習備考中有目的地強化圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質、直線方程及直線與圓錐曲線的位置關系等知識的理解，掌握解決相關問題的思想、方法，形成良好的思維品質和解題習慣，才能盡量避免誤入“雷區”！