極值原理的一個應用

梁詩雨 韓 菲 羅小榮

新疆師范大學數學科學學院 新疆烏魯木齊 830017

若方程解的極值在區(qū)域的邊界達到，我們稱方程對應的算子滿足極值原理。橢圓方程中，以Laplace方程為例，利用極值原理，可以得到Laplace方程的狄利克雷邊值問題的最大模估計。拋物型方程中，熱傳導方程滿足極值原理，用物理知識簡單形象地去理解此原理，即在熱傳導過程中，若物體內無熱源，想要溫度趨于平衡，則高溫處的熱量需輸向低溫處，這種情況下，物體最高溫度必在初始時物體的邊界處達到。這是極值原理在現(xiàn)實生活中真實現(xiàn)象的映射[1-2]。蘭乃端、常保平應用Hopf極值原理研究了一類具有邊界條件的半線性橢圓方程解的梯度q的估計[3]。麻西南、邱國寰等人在研究Hesse方程的Neumann邊值問題時，選取較合適的函數，利用極值原理方法給出了所研究問題的解的梯度估計[4]。徐金菊綜合利用Lieberman[5]等人的技巧，運用極大值原理證明了平均曲率方程Neumann問題解的邊界梯度估化，從而得到一個存在性定理[6-7]。本文應用伯恩斯坦方法，應用極值原理，得出一類線性方程的梯度估計。

1 準備知識

2 主要結果

定理2 設aij(x)Diju+bi(x)Diu=f(x，u，?u)

(1)

證明：取測值函數P=|Du|2+β|u|2+eαx1，其中α、β待定。

令L=aijDij+biDi先計算L(|Du|2)：

可得：

對aij(x)Diju+bi(x)Diu=f(x，u，?u)每一項關于xl求導，得：

將上式每一項乘Dlu再對l求和整理：

現(xiàn)對上式等號左邊每一項估計：

可知：

(2)

由:

(3)

即：

又：

已知：

又：

由一致橢圓條件得：

及：

綜上可得：

又：

對上式等號右邊兩項估計后可得：

L(u2)≥2|f|c1|u|+2λ|Du|2≥2λ|Du|2-2|f|c1|u|≥2λ|Du|2-2|f|c1H

綜上我們有：

取β足夠大，則有：

對c4常數項，由于:

L(eαx1)=α11α2eαx1+b1αeαx1

及：

其中x1與diam(Ω)相關，取α足夠大，則:

a11α2eαx1+b1αeαx1-C4≥0

則有：

由于L(P)≥0，滿足弱極值原理，即：

則得到：

由此(1)式結論成立。