“數(shù)值分析”課程教學(xué)中的“分而治之”思想

馬俊杰

貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 貴州貴陽(yáng) 550025

一、“數(shù)值分析”課程改革的意義與現(xiàn)狀

全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)“要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面”“各門課程都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)調(diào)效應(yīng)”。基于全面育人的課程改革是高等教育面臨的重要問(wèn)題，也是高等教育發(fā)展的必然[1]。“數(shù)值分析”作為數(shù)學(xué)以及理工科專業(yè)的重要課程，主要面向高年級(jí)本科生以及低年級(jí)研究生開設(shè)。課程內(nèi)容一般包含微積分、非線性方程、線性方程組、特征值和特征向量、微分方程初值問(wèn)題、微分方程邊值問(wèn)題等，需要高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、常微分方程等前序課程[2]。因此，“數(shù)值分析”的教學(xué)內(nèi)容覆蓋面較大，難度也較高。同時(shí)，由于它包含了多門數(shù)學(xué)類課程，在“數(shù)值分析”教學(xué)中融入思政教育具有更豐富的內(nèi)涵，也更有利于學(xué)生的全面發(fā)展。

“數(shù)值分析”課程教學(xué)側(cè)重?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法，是連接計(jì)算機(jī)與模型問(wèn)題的重要紐帶，可以培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合抽象思維與實(shí)際行動(dòng)的能力。自上世紀(jì)80年代全國(guó)高校普遍開設(shè)這門課程以來(lái)，“數(shù)值分析”的課程改革已經(jīng)取得了許多成績(jī)。例如，大量實(shí)驗(yàn)課程的設(shè)計(jì)以及引入豐富了教學(xué)內(nèi)容，并使得教學(xué)過(guò)程更加具象，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解[3]；通過(guò)針對(duì)專業(yè)區(qū)分選取教學(xué)體系，兼顧了具有不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度[4]；通過(guò)引入學(xué)科前沿，使得人才培養(yǎng)更加適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展需求[5]。但是仍需注意的是，“數(shù)值分析”教學(xué)內(nèi)容過(guò)于煩瑣，在大多數(shù)學(xué)校這門課程的課時(shí)量比較有限，教學(xué)過(guò)程欠缺“可視化”、課程考核不合理等問(wèn)題仍是課程教學(xué)面臨的重要問(wèn)題。因此，如何在教學(xué)任務(wù)緊張、教學(xué)內(nèi)容復(fù)雜的情況下融入思想教育實(shí)現(xiàn)全面育人是一個(gè)重要的課題。

事實(shí)上，全面育人與傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容不是相互排斥的兩個(gè)個(gè)體，而是相互促進(jìn)，相輔相成的。以“數(shù)值分析”為例，由于課程教學(xué)過(guò)程中不可避免大量煩瑣的公式推導(dǎo)，學(xué)生很容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒[6]。如果可以合理引入思想教育提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，不但有利于課堂教學(xué)的開展，而且可以提升教與學(xué)的效率。當(dāng)前“數(shù)值分析”課程改革主要關(guān)注如何在專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中融入思政元素，強(qiáng)調(diào)學(xué)與思的巧妙結(jié)合。例如，通過(guò)短片向?qū)W生介紹使用課程內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題的案例，宣傳科技工作者在第一線的感人事跡，增強(qiáng)學(xué)生的自豪感；通過(guò)結(jié)合數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化，將我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重大成就講授給學(xué)生，例如秦九韶算法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的文化自信[7]。但是，“數(shù)值分析”課程不僅具有內(nèi)容豐富的特點(diǎn)，而且包含許多算法構(gòu)造思想。本文以“分而治之”為落腳點(diǎn)，分析這種思想與辯證唯物主義的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生樹立正確的辯證唯物主義和掌握科學(xué)的方法論，并總結(jié)教學(xué)過(guò)程中“分而治之”的應(yīng)用。

二、“分而治之”思想與課程改革思路

“分而治之”思想是算法設(shè)計(jì)的一種技術(shù)，即先將復(fù)雜問(wèn)題分解成數(shù)個(gè)小問(wèn)題，針對(duì)每個(gè)小問(wèn)題設(shè)計(jì)算法，進(jìn)而組裝成原復(fù)雜問(wèn)題的解。這種思想是辯證唯物主義中“具體問(wèn)題具體分析”這一方法論在算法設(shè)計(jì)領(lǐng)域的體現(xiàn)。在“數(shù)值分析”教學(xué)中注重總結(jié)算法設(shè)計(jì)的“分而治之”思想，建立它與辯證唯物主義、建設(shè)中國(guó)特色社會(huì)主義偉大成就的聯(lián)系，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，而且可以提高學(xué)生對(duì)算法設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)。在“數(shù)值分析”教學(xué)中融合算法設(shè)計(jì)思想需要做到以下幾點(diǎn)。

第一，組建“數(shù)值分析”教學(xué)團(tuán)隊(duì)，增強(qiáng)教師全面育人意識(shí)，提高教師全面育人水平。對(duì)于專業(yè)課教師，全面育人仍是一個(gè)較為陌生的課題。主要原因在于專業(yè)課教師在成長(zhǎng)過(guò)程中將大部分精力都投入科學(xué)研究、教材教法等方面，缺乏全面育人教法的培訓(xùn)。組建教學(xué)團(tuán)隊(duì)的優(yōu)勢(shì)是可以通過(guò)集體學(xué)習(xí)的方式使得教師在最短時(shí)間成長(zhǎng)為全面育人方面的專家。

第二，正確處理課程教學(xué)與全面育人的關(guān)系。課程教學(xué)是教師的主要任務(wù)，只有完成大綱要求的教學(xué)內(nèi)容，才能真正實(shí)現(xiàn)人才培養(yǎng)的目標(biāo)。人才的成長(zhǎng)應(yīng)該是全方位的，而不是機(jī)械化的，僅僅學(xué)習(xí)教材中固定知識(shí)點(diǎn)的人才不符合當(dāng)今社會(huì)的發(fā)展。只有通過(guò)全面育人加強(qiáng)學(xué)生思維、思想的教育，才能幫助學(xué)生成長(zhǎng)為社會(huì)需要的人才。另外，設(shè)計(jì)合理的全面育人內(nèi)容有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提升課程教學(xué)效率，進(jìn)而有效地解決“數(shù)值分析”課程內(nèi)容多、課時(shí)少的問(wèn)題。

第三，創(chuàng)建全面育人平臺(tái)，結(jié)合線上線下教學(xué)夯實(shí)全面育人基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)類課程具有教學(xué)內(nèi)容抽象、知識(shí)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，對(duì)于普通高校的學(xué)生，通過(guò)自學(xué)掌握大綱知識(shí)點(diǎn)的難度很大。因此，數(shù)學(xué)類課程教學(xué)改革的重點(diǎn)集中在提高知識(shí)傳遞效率、準(zhǔn)確性以及借助現(xiàn)代可視化工具將抽象概念具象化。但是，應(yīng)該注意的是學(xué)生通過(guò)課下自學(xué)的方式達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)仍是十分困難的，而全面育人內(nèi)容更加貼近生活生產(chǎn)實(shí)踐，更加具體，從而更有利于發(fā)揮課外學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)建立系統(tǒng)性的線上全面育人材料，結(jié)合線下教學(xué)內(nèi)容，可以充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高教與學(xué)的效率。

第四，發(fā)揮先進(jìn)計(jì)算平臺(tái)優(yōu)勢(shì)，增強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容可視化。建設(shè)基于多媒體技術(shù)的智慧教室，將Matlab數(shù)值實(shí)驗(yàn)案例引入課堂教學(xué)，發(fā)揮與傳統(tǒng)教學(xué)互補(bǔ)的優(yōu)勢(shì)，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還可以提升教學(xué)效果。例如，在講解最佳多項(xiàng)式逼近問(wèn)題時(shí)，可以借助Matlab中的Chebfun工具箱，實(shí)現(xiàn)伯恩斯坦多項(xiàng)式的快速計(jì)算。通過(guò)講解伯恩斯坦多項(xiàng)式的生成代碼，結(jié)合最佳逼近數(shù)值結(jié)果，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而為全面育人提供講授空間。

第五，強(qiáng)化數(shù)值案例設(shè)計(jì)，提升學(xué)生主觀能動(dòng)性。“數(shù)值分析”作為連接數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題的紐帶，可以提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此在實(shí)驗(yàn)案例的選取過(guò)程中，應(yīng)該更多地傾向于與實(shí)際問(wèn)題相關(guān)的模型，例如德拜溫度模型、棒球運(yùn)動(dòng)軌道模型、光學(xué)散射積分問(wèn)題、化學(xué)熱反應(yīng)模型、傳染病模型等。模型的合理選擇可以使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)“數(shù)值分析”教學(xué)內(nèi)容的興趣。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)的重視，可以加深學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，為“數(shù)值分析”全面育人提供了肥沃的土壤。

三、“分而治之”思想教學(xué)總結(jié)

拉格朗日插值既是數(shù)值逼近的重要內(nèi)容，也是數(shù)值積分、數(shù)值微分、微分方程數(shù)值等的基礎(chǔ)[8]。一般地，對(duì)于插值節(jié)點(diǎn)x0…xn以及函數(shù)值y0…yn，可以找到不超過(guò)n次的多項(xiàng)式pn(x)使得pn(xi)=yi,j=0…n。在實(shí)際應(yīng)用中，插值節(jié)點(diǎn)一般選取為等距節(jié)點(diǎn)。對(duì)于函數(shù)f(x)=sin(x)，分別取n=5和n=50，可以計(jì)算如圖1中的插值多項(xiàng)式。從圖中看出當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，拉格朗日插值函數(shù)對(duì)原函數(shù)的逼近效果是變好的。

圖1 拉格朗日插值法的逼近效果，原函數(shù)為f(x)=sin(x)

但是，當(dāng)原函數(shù)變?yōu)镽unge函數(shù)時(shí)，重復(fù)同樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果大不相同(見(jiàn)圖2)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，可以使得學(xué)生更加具體地理解拉格朗日插值法的局限性。

圖2 拉格朗日插值法的逼近效果，原函數(shù)為龍格函數(shù)

任何算法的設(shè)計(jì)都是在已有方法的基礎(chǔ)上針對(duì)實(shí)際計(jì)算中遇到的問(wèn)題不斷完善而得到的。在遇到拉格朗日插值法無(wú)法逼近龍格函數(shù)這一問(wèn)題時(shí)，可以適時(shí)地引入“分而治之”思想，并結(jié)合唯物辯證法中的“具體問(wèn)題具體分析”對(duì)學(xué)生進(jìn)行講解。具體到本案例，“分而治之”即將原區(qū)間上的插值問(wèn)題分割成小區(qū)間上的插值問(wèn)題。在小區(qū)間上，可以僅僅使用低次插值，例如線性插值，然后將所有低次插值函數(shù)連接成大區(qū)間上的插值函數(shù)，即得到圖3。可以看出，將拉格朗日插值結(jié)合“分而治之”思想可以很恰當(dāng)?shù)亟鉀Q龍格函數(shù)的插值問(wèn)題。

圖3 拉格朗日插值法結(jié)合“分而治之”思想的逼近效果，原函數(shù)為龍格函數(shù)

在定積分的數(shù)值計(jì)算中，也常使用“分而治之”思想。牛頓—科特斯公式是計(jì)算數(shù)值積分的常用工具[9]。考慮使用梯形公式計(jì)算定積分:

利用Matlab可得它的近似值為0.099916708323414，它的真實(shí)值是0.099944461108277，絕對(duì)誤差僅僅為0.000028。所以梯形公式的計(jì)算結(jié)果是十分精確的。當(dāng)積分區(qū)間延長(zhǎng)為[0，1]時(shí)，使用梯形公式可得近似值為0.092073549240395，它的真實(shí)值是0.946083070367183，絕對(duì)誤差為0.85401。所以梯形公式的計(jì)算結(jié)果是不可靠的。在此可引入“分而治之”思想，先將區(qū)間[0，1]劃分為10個(gè)小區(qū)間[0，0.1]，[0.1，0.2]，[0.2，0.3]，[0.3，0.4]，[0.4，0.5]，[0.5，0.6]，[0.6，0.7]，[0.7，0.8]，[0.8，0.9]，[0.9，1]。對(duì)每個(gè)小區(qū)間使用梯形公式，然后利用積分的可加性將計(jì)算結(jié)果組合在一起即可得到。相應(yīng)計(jì)算結(jié)果為0.945832071866905，絕對(duì)誤差為0.00025。計(jì)算精度比直接使用梯形公式提高了很多，也體現(xiàn)了“分而治之”思想的優(yōu)越性。

“分而治之”思想在矩陣特征值計(jì)算、稀疏線性系統(tǒng)的快速求解、常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解等方面也有重要應(yīng)用，在遇到復(fù)雜系統(tǒng)或者多尺度問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的不同部分的不同性質(zhì)設(shè)計(jì)針對(duì)性的算法，是解決實(shí)際問(wèn)題的重要技術(shù)。

結(jié)語(yǔ)

“分而治之”思想是數(shù)值算法設(shè)計(jì)的重要技術(shù)，由這一思想引出大量經(jīng)典數(shù)值方法，例如分段低次多項(xiàng)式插值、三次樣條函數(shù)插值、復(fù)化牛頓—科特斯公式等[10-12]。在“數(shù)值分析”的教學(xué)實(shí)踐中，注重總結(jié)算法設(shè)計(jì)思想并將其融入課堂教學(xué)，不僅可以提高教學(xué)效率，而且有助于實(shí)現(xiàn)全面育人的目標(biāo)。