帶P-Laplacian算子的分數階微分方程邊值問題正解的唯一性

楊可麗，吳克晴

(江西理工大學理學院，江西 贛州 341000)

0 引言

分數階微分方程理論因其廣泛的應用而日趨完善，并取得了許多有意義的成果[1-7].P-Laplacian算子出現在非牛頓流體中的非線性現象，可以建立復雜的過程模型，中外學者越來越重視對于含有P-Laplacian算子的分數階邊值問題可解性的研究[8-13].利用非線性泛函分析技術來研究分數階微分方程邊值問題已有大量文獻.但是，運用算子方程的不動點定理來研究帶P-Laplacian算子的分數階微分方程邊值問題正解的相關文獻較少見.

TUDORACHE等[4]研究了帶參數的Riemann-Liouville型奇異分數階微分方程：

(1)

具有非局部邊界條件：

利用相關線性算子第一特征值的性質，結合不動點指數定理獲得了該邊值問題正解的存在性與多重性.當式(1)中的λ=h(t)=1，非線性項f具有變號且關于t=0和t=1均為奇異時，AGARWAL等[5]運用不動點定理以及特殊有界集上的高度函數得到該半正問題三個正解的存在性.當式(1)中的λ=h(t)=1時，LUCA[6]應用Krein-Rutman理論結合不動點指數定理獲得了該邊值問題正解的存在性與多重性.但是都沒有考慮帶P-Laplacian算子條件下正解的唯一性.

AFSHARI等[7]研究了以下分數階邊值問題唯一正解的存在性：

(2)

運用錐上的混合單調算子與γ-凹算子，得到邊值問題(2)的唯一正解與逼近唯一正解的迭代序列，但該問題的非線性項未含有分數階導數與線性算子.

受文獻[4,7]的影響與啟發，本文研究如下帶P-Laplacian算子的分數階微分方程邊值問題：

(3)

1 預備知識

定義1[14]若α>0，函數u∶(0,+∞)→R的Riemann-Liouville型分數階積分為

定義2[14]若α>0，函數u∶(0,+∞)→R的Riemann-Liouville型分數階導數為

引理3 設y∈C[0,1]，若Δ≠0，則分數階邊值問題：

(4)

(5)

(6)

結合邊界條件u(0)=u′(0)=…=u(n-2)(0)=0，則有c2=c3=…=cn=0，從而式(6)變成

(7)

(8)

最后將式(8)代入式(7)中，則可得出結論成立.

引理4[5]假定Δ>0，則格林函數G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])具有如下性質：

定義3[17]設E為實Banach空間，對于錐P?E，定義E中的偏序關系，即y-x∈P?x≤y.若存在常數

引理5[7]令P為實Banach空間E上的正規錐，γ∈(0,1)，A,B∶P×P→P為混合單調算子，并且A∶P×P→P為γ-凹算子，B∶P×P→P為次齊次算子，且滿足以下條件：

(i)存在h0∈Ph，使得A(h0,h0)∈Ph，B(h0,h0)∈Ph；

(ii)存在一個正常數δ，使得對?u,v∈P，有A(u,v)≥δB(u,v).

則有以下結論：

①A∶Ph×Ph→Ph，B∶Ph×Ph→Ph；

②存在z0，w0∈Ph,r∈(0,1)，使得rz0≤z0≤w0，z0≤A(z0,w0)+B(z0,w0)≤A(w0,z0)+B(w0,z0)≤w0；

③算子方程A(u,u)+B(u,u)=u在Ph有唯一解u*；

④對任意初值u0,v0∈Ph，可以構造迭代序列un=A(un-1,vn-1)+B(un-1，vn-1)，vn=A(vn-1,un-1)+B(vn-1,un-1),n=1,2,…；當n→∞時，則有un→u*,vn→v*.

注 當引理5中的算子B為一個零算子時，引理5也成立.

2 主要結論

做出如下假設：

(H2)對λ∈(0,1),t∈[0,1],u,v∈[0,+∞),有g(t,λu,λ-1v)≥λp-1g(t,u,v)；存在常數γ∈(0,1)，使得對λ∈(0,1)，t∈[0,1]，u,v∈[0,+∞)，有f(t,λu,λ-1v)≥(λγ)p-1f(t,u,v).

(H3)存在正常數δ，使得對t∈[0,1]，u,v∈[0,+∞)，有f(t,u,v)≥δp-1g(t,u,0).

(H5)?γ∈(0,1)，使得對?λ∈(0,1)，t∈[0,1],u,v∈[0,+∞],有f(t,λu,λ-1v)≥(λγ)p-1f(t,u,v).

定理1 若Δ>0，且使得條件(H1)～(H3)都成立，則邊值問題(3)有唯一正解u*∈Ph，其中，h(t)=tα-1，t∈[0,1]，對u0∈Ph，構造迭代序列：

當n→∞時，則有un(t)→u*(t).

證明 由引理3可知,邊值問題(3)可以轉化為如下等價的積分方程：

定義兩個算子A,B∶P×P→E，

僅僅只有u滿足算子方程u=A(u,u)+B(u,u)時，u是邊值問題(3)的解.

結合假設條件(H1)與引理4易得出A,B∶P×P→P.

對于(u1,v1),(u2，v2)∈P×P,u1≥u2,v1≤v2,結合引理4和條件(H1)，有

對于γ∈(0,1)，λ∈(0,1),(u,v)∈P×P,結合條件(H2)，有

即A(λu,λ-1v)(t)?λγA(u,v)(t)，所以A∶P×P→P為γ-凹算子.

即B(λu,λ-1v)(t)?λB(u,v)(t)，所以，B∶P×P→P為次齊次算子.

結合引理4與條件(H1)，有

從而有0

所以，有A(h,h)∈Ph.

結合引理4與條件(H1)，有

由條件(H1)，有g(τ,1,0)≥g(τ,0,k*)>0，即0

所以，有B(h,h)∈Ph.

對于(u,v)∈P×P，結合條件(H3)，則有

所以，有A(u,v)(t)≥δB(u,v)(t).因此引理5中的條件都成立，從而u=A(u,u)+B(u,u)在Ph中有唯一不動點u*，對任意初始值u0∈Ph可構造迭代序列un=A(un-1,un-1)+B(un-1,un-1),n=1,2,…，當n→∞時，則有un→u*.從而邊值問題(3)有唯一正解u*∈Ph，對于序列：

當n→∞時，則有un(t)→u*(t).

推論1 若Δ>0，且滿足條件(H4)(H5)，則邊值問題：

在Ph中有唯一正解u*，h(t)=tα-1,t∈[0,1].對于u0∈Ph，構造迭代序列：

當n→∞時，則有un(t)→u*(t).

3 數值算例

例1 分析以下分數階邊值問題：

(9)

對于t∈[0,1]，λ∈(0,1)，u,v∈[0,+∞)，有

令δ=1，有

所以定理1的所有條件都成立，根據定理1可得出邊值問題(9)在Ph中有唯一正解u*，h=t7/2，t∈[0,1].對任意給定的初始值u0∈Ph，可構造如下序列：

當n→∞時，有un(t)→u*(t).

4 結語

帶P-Laplacian算子的分數階微分方程是一般微分方程的推廣，在各種非線性現象、彈性問題、扭轉蠕變問題、熱輻射問題等建模中有廣泛的應用.本文利用錐上混合單調算子的性質，根據相關算子方程的不動點定理獲得了邊值問題(3)唯一正解的存在結果以及逼近唯一正解的迭代序列.需要指出的是，文獻[3-6]都只考慮了正解的存在性與多重性，未考慮帶P-Laplacian算子的條件下正解的唯一性，本文對此進行了擴展.此外還可以進一步研究其在帶有參數的條件下正解的不存在性.