壟斷企業產能投資、產品創新和過程創新的動態最優控制

戴晨陽

(上海交通大學 安泰經濟與管理學院，上海 200030)

本文提出了一種壟斷企業產能投資、產品創新和過程創新的動態最優控制模型。我們的研究源自Lambertini和Mantovani對產品創新和過程創新的研究，以及J?Rgensen對于企業產能投資的研究，將三種投資決策結合研究，以便更加貼合企業的實際決策情況。

此前，學者已經將企業的創新模式區分為產品創新和過程創新并進行了詳細的研究。Pan和Li認為產品創新意味著企業通過對現有產品進行研發、更新，提升自有產品的質量、擴展產品功能，能夠提高消費者對于公司產品的保留價格，也意味著公司面臨的需求曲線外移；認為過程創新一般為公司對自身產品工藝流程進行技術改造，以此來降低產品的邊際生產成本。

通常情況下企業傾向于同時執行產品創新和過程創新。為了便于企業制定更為合理、準確的創新策略，學者一直致力于探索企業在發展歷程中如何對兩種創新方式進行抉擇。Mantovani認為產品創新和過程創新共同運行時會產生互補效應，企業并不應該分散其創新業務并試圖找出哪一項更為有利。但當把視角轉向產品的技術生命周期研究時，Maski 發現產品創新和過程創新之間存在替代效應。

在產品生命周期的研究中，普遍的觀點是產品創新必然先于過程創新，有許多個研究結論能夠支撐這一理論。Lambertini和Rossini認為企業首先需要通過研發努力設定相互的差異化程度，然后在市場上進行質量競爭或價格競爭。Abernathy和Utterback、Abernathy和Utterback同樣認為公司最初更加傾向于將大部分研發資源用于產品創新，因為市場初期潛力巨大，往往需要找到合適的產品來迅速拓寬市場；后期隨著大量產品涌入市場，整體盈利能力會出現快速下滑，公司會將資源轉入過程創新力求控制產品的生產成本。Klepper認為企業會在初始階段更多地專注于產品端的研發，因為初始階段產品的創新能夠使得企業快速獲得更多新的消費者擴大下游的需求，以此來增加企業的收入，然后企業會在產品發展的后期返回過程創新的階段。而Adner和Levinthal則認為傳統的生命周期研究方法有失偏頗，認為傳統的研究方法過多地專注在企業內部的能力上，他們提出了一種基于技術創新和消費者異質化需求之間相互影響的研究方法。不同的是，他們認為生命周期的第一階段并不會總伴隨著大規模的產品創新，這將取決于產品最初在市場上的表現。第二階段同樣也將是過程創新占據主導地位，但這并不意味著此時產品創新會發生斷崖式下滑。相反，他還認為生命周期中可能還存在有第三階段，此時產品創新和過程創新是相互平衡的，以此來實現價格的相對穩定，并同時提升產品的性能。Adner和Levinthal和傳統觀點之間的差異主要來自，他們認為對于企業而言他們的新產品對市場而言并不一定是完全的創新。就比如iPhone之于世界和小米之于世界，兩者的起點是完全不同的，所以不同的企業在初始階段也會有不同的研發策略。

與以上不同的是，Lambertini和Orsini、Zhong和Zhang在需求不變、產品質量提升會提高產品價格的假定下發現，產品創新和過程創新是兩種完全獨立的決策且只與固定的需求相關。

1 基本模型

本文在連續有限時間t∈[0,T)上建立一個壟斷廠商的最優控制問題，在任意一個時間點，壟斷廠商可以選擇用于產能、產品創新和過程創新的投資水平。首先依據J?Rgensen的假設認為壟斷廠商始終保持滿負荷生產且沒有庫存，即壟斷廠商t時刻的產量與其產能和需求相等，且產能會隨著企業的投資而增加。以下為企業產能投資的動態微分方程：

(1)

其中，x(t)為企業在t時刻擁有的產能，u(t)為企業在t時刻對于產能的投入。企業在t時刻產能投資的總成本為e·u2(t)，e為大于0的恒定參數，衡量了企業產能投資的效率。

假設企業在時點t的產品質量會隨著企業在產品創新的投入而增加，時點t的邊際成本會隨著企業在過程創新的投入而降低，根據Lambertini和Mantovani的研究可以得到以下動態微分方程：

(2)

(3)

其中，q(t)為企業在t時刻的產品質量，k(t)為t時刻對產品創新的投資，c(t)為企業在t時刻的邊際生產成本，α(t)為t時刻對過程創新的投資。假設質量q(t)會隨著時間而衰減，邊際生產成本c(t)也會隨著時間而增長，分別用γ∈[0,1]和η∈[0,1]表示產品質量和邊際成本所具有的恒定不變的衰減率。企業在t時刻投資于產品創新和過程創新的總成本分別為h·k2(t)和f·α2(t)，h和f分別是產品創新和過程創新的投資效率，皆為大于0 的恒定參數。所以廠商在t時刻生產x(t)個產品的總成本為

C(t)=c(t)·x(t)+e·u2(t)+h·k2(t)+f·α2(t)

(4)

假設公司產品創新的效率低于過程創新，且產品質量的衰減率高于邊際成本，即h>f，γ>η。如iPhone、數碼相機等新產品問世后，質量提升往往意味著技術的更迭，而過程創新則可以通過優化生產模式等多種方法實現，所以假設產品創新的效率低于過程創新是合理的。此外，消費者對于產品質量的更迭有著更高的要求，而生產成本的衰減則多來自設備的老化，是一個相對較慢的過程，所以假設產品質量的衰減率高于邊際成本也是合理的。

根據Pan和Li的模型，假設消費者在t時刻的需求x(t)由產品價格p(t)和產品質量q(t)共同決定，反需求函數為如下形式：

p(t)=a+b·q(t)-x(t)

(5)

所以廠商的瞬時利潤為

π(t)=[a+b·q(t)-x(t)-c(t) ]·x(t)-e·u2(t)-h·k2(t)-f·α2(t)

(6)

假設企業追求t∈[0,T)時間內的現值最大化，則壟斷企業基于產能、產品創新和過程創新的模型為

(7)

(8)

在此模型中，ρ為恒定不變的貼現率，壟斷廠商的控制變量分別是公司產能的投資u(t)、產品創新的投資k(t)和過程創新的投資α(t)，狀態變量分別是企業產能x(t)、產品的質量q(t)和產品的邊際成本c(t)。

2 模型求解

H=[a+b·q(t)-x(t)-c(t) ]·x(t)-e·u2(t)-h·k2(t)-f·α2(t)+λ1(t)·u(t)+λ2(t)·q(t)·[-γ+k(t) ]+λ3(t)·c(t)·[η-α(t)]

(8)

企業實現貼現利潤最大時，函數(8)的一階條件為

(9)

(10)

(11)

共態方程可以表示為

(12)

(13)

(14)

方程(12)、(13)和(14)的橫截性條件分別為

λ1(T)≥0，x(T)≥xmin,(x(T)-xmin)·λ1(T)=0

(15)

λ2(T)≥0，q(T)≥qmin,(q(T)-qmin)·λ2(T)=0

(16)

λ3(T)≥0，c(T)≥cmin,(c(T)-cmin)·λ3(T)=0

(17)

將方程(9)、(10)和(11)分別對時間t求導得

(18)

(19)

(20)

將方程(18)、(19)和(20)分別代入方程(12)、(13)和(14)后得

(21)

(22)

(23)

同時我們還有

(24)

(25)

(26)

(27)

所以通過方程(21)可以得到

(28)

(29)

結論1由方程(28)和方程(29)可以看出，壟斷廠商對于產能的投資增長率與產品創新和過程創新的投入成反比。

根據方程(1)和方程(21)有

(30)

(31)

結論2由方程(30)和方程(31)可以看出，產品創新的投資增長率與過程創新的投資量呈正相關關系。同樣，過程創新的投資增長率與產品創新的投資量也呈現正相關關系。

(32)

(33)

(34)

將方程(33)和(34)代入方程(32)得到

(35)

由方程(35)可得

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

結論3壟斷廠商產品創新投資與過程創新投資之間呈正相關關系。

產品創新與過程創新的互補關系與Mantovani、Athey和Schmutzler的研究相符。因為產品創新能夠外移需求曲線，當需求更大時，降低單位成本的回報最高，因此公司將傾向于同時投資產品和過程創新。

結論4壟斷廠商產能投資與產品創新投資成正比、與過程創新投資成反比。

產品創新能夠外移需求曲線，而在本文的假設下企業需要先進行產能投資擴充產能后才能滿足增加的需求，故而產能投資和產品創新投資成正比關系，壟斷廠商傾向于同步進行這兩種投資。另一方面，過程創新會隨著產能的增長而獲得更大的邊際收益，因此依據產品周期理論企業會在產業早期傾向于將大部分資源用于產能投資和產品創新，在產業后期產品創新邊際收益較小的情況下大力投資產品創新，這也與Abernathy和Utterback的產品周期理論相吻合。

結論5壟斷廠商在能夠實行產能投資、產品創新和過程創新的情況下，um、xm、km、qm、αm、cm是唯一的鞍點均衡。

um(t)=0

(42)

(43)

km(t)=γ

(44)

(45)

αm(t)=η

(46)

(47)

3 穩定性分析

該動態模型的穩定性可以通過分析微分方程(1)、(2)、(3)、(21)、(22)、(23)相對應的6×6的雅可比矩陣得出，對應的雅可比矩陣為

(48)

顯然矩陣(48)的行列式并不能根據已有信息去判斷其符號，同時該舉證對應的特征值的表達式亦過于復雜，故此處采用數值計算的方法。為了通過數值計算的方法證明模型的穩定性，本文通過參考Lambertini和Mantovani、Pan和Li的文章得到合適的參數如表1、表2 所示。

表1 數值計算中參數的值

代入方程首先可以得到xm=5.00，km=0.01，qm=1.8·10-4，αm=0.02，cm=2.48·10-4。進而用{ξ1，ξ2，ξ3，ξ4，ξ5，ξ6}表示矩陣(43)的6個特征值，通過表1以及控制變量和狀態變量的穩定解，可以解得

{ξ1，ξ2，ξ3，ξ4，ξ5，ξ6}?{0.63，-0.53，0.09，0.10，0.01，-0.002}

表2 數值計算中參數的值

同樣，代入方程首先可以得到xm=4.99，km=0.01，qm=5.13×10-4，αm=0.2，cm=2.49·10-2。進而用{ξ1，ξ2，ξ3，ξ4，ξ5，ξ6}表示矩陣(48)的6個特征值，通過表1以及控制變量和狀態變量的穩定解，可以解得

{ξ1，ξ2，ξ3，ξ4，ξ5，ξ6}?{0.63，-0.53，0.20，-0.10，0.09，0.01}

通過重復同樣的運算可以發現有兩個特征值為負，所以{um，xm，km，qm，αm，cm}是穩定的。

4 結論

本文運用動態最優控制理論的模型找到了壟斷廠商關于產能、產品創新和過程創新的最優投資水平。相較于J?Rgensen在寡頭壟斷下討論廠商對于產能的投資，本文從一個新的視角探討了壟斷廠商在整個產品的發展過程中對于產能、產品創新和過程創新的抉擇；同時和需求不確定模型、簡單的內生增長模型不同，本文認為需求的增長來自企業對于產品創新的投資，同時考慮了過程創新降低邊際生產成本的情況。與Lambertini和Orsini的模型相比，本文認為廠商首先需具備生產能力才能夠完成相應產品的生產，也更貼合產品市場早期產能較小的特征，使得對產品生命周期的研究更為完善，同時消費者的需求會隨著產品質量的提升而增長。本文通過分析得出，壟斷廠商對于產能投資的增長率與產品創新和過程創新成反比，表明當企業開始進行創新時，企業對于產能的投資增速將會減緩；壟斷廠商產能投資與產品創新投資成正比、與過程創新投資成反比，表現為企業在產業早期的投資主要集中于產能和產品創新的投資，這也與Lambertini和Rossini的論證一致。此外，本文還發現，產品創新與過程創新之間呈互補關系，契合Mantovani的結論，與Lambertini和Orsini得出的兩種創新之間獨立不同。當然，文章依然有一定的不足之處，與J?Rgensen的研究相比，本文并未考慮寡頭壟斷下產能投資的決策問題；與Zhong 和Zhang的研究相比，文中并沒有考慮知識積累對于整個創新過程的影響；與Mantovani的研究相比，文中并沒有考慮產品創新和過程創新之間本身所具有的互補關系。