在接續研究中發展理性思維
——以“復數的乘、除運算”為例

?湖南省株洲市五雅中學

陽志長

1 引言

數學學習更多帶有研究色彩，是通過獲得一個個數學研究對象的學習過程，使個體研究心理、思路、方法、方式、思想等獲得持續變化與發展，形成具有個性特征的數學思維的過程.數學思維是一種理性思維，突出表現在思維的連貫性、嚴謹性、批判性、創新性等品質方面.新課程提出“優化課程結構，突出主線，精選內容”[1]的課程理念，本質是抓住獲得各個數學研究對象的過程，采取單元教學方式，發展學生的理性思維.

“復數的乘、除運算”是新課標教材第七章“復數”第二節“復數的四則運算”[2]第二課時的教學內容.“因為高考中的復數題非常簡單，所以許多老師對復數的教學也不太上心”[3]，以致于簡單了事，在第二節第二課時匆忙落下第七章教學“帷幕”.“復數是一類重要的運算”[1]，學生已經理解引入復數的必要性，如此“謝幕”，他們感受不到復數應用的廣泛性；“復數源于純粹的數學推理，是理性思維的產物”[3]，復數的乘、除運算不僅是研究一類運算對象“思維鏈”的關鍵“節點”，而且是認識復數概念、復數的三角表示，以及發展理性思維的重要載體.

2 對接思考，培養思維的連貫性

與復數的加、減運算(簡稱“一級運算”)類似，教材直接規定復數的乘、除運算(簡稱“二級運算”)的乘法法則.為什么可以這樣規定？基于復數的代數表示，在探索復數一級運算時，類比兩個多項式相加、減，學生已經感受到復數加法法則“規則”的合理性，以及研究一個運算對象的“基本套路”.為讓學生了解復數“二級運算”產生的背景和學習的必要性，本課時需要突出第一個教學重點，“復制”這個“基本套路”，抽象、推導出復數乘法法則.

(1)PPT呈現問題1：設z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R).我們知道，z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1-z2=(a-c)+(b-d)i,兩個復數的和、差是一個確定的復數.那么，接下來應該研究什么？可以怎樣研究呢？

(2)學生思考、回答問題.教師引出并板書本節課的研究主題，引導學生回顧第一課時研究的“基本套路”，獲得研究復數乘法運算方法：類比兩個多項式相乘.

(3)學生演練、推導，教師規劃板書位置，讓一位學生代表板書、推導.

(4)教師“點擊”，同化研究方法，導引學生閱讀教材第77頁的相關內容，讓他們感受研究方向的正確性、“規則”的合理性，得到復數的乘法法則(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，以及兩個復數的積是一個確定的復數.

(5)PPT呈現問題2：得到復數的乘法法則后，按照研究復數加、減運算的“基本套路”， 接下來應該研究什么？怎樣研究呢？

(6)學生思考、回答問題，教師規劃板書位置，讓三位學生代表展示推導過程.

(7)教師 “點擊”， 再次同化研究方法，得到：復數乘法運算律、對加法的分配律.然后，簡單小結一下研究復數乘法運算的“基本套路”，讓學生進一步得到各步的意義建構.

以上的對接、思維活動，圍繞研究一個運算對象的“基本套路”，通過提供“先行組織者”、激活“情境與問題”的途徑，傳承復數加法運算的研究方式，并在類比思考、接續研究中，培養學生思維的連貫性，以及數學抽象、數學建模等核心素養，并形成對運算研究對象探索的方向感，以及積極的認知情感、態度與價值觀.

3 跟進思考，培育思維的嚴謹性

得到復數乘法法則及其運算律后，教材通過例3、例4，示范復數乘法運算的“思維與表達”，在此基礎上提煉“乘法公式”.同屬二級運算，為不割裂研究“鏈條”，本課時需要突破第一個教學難點，變通“套路”，推導、概括出復數除法的法則.

(1)PPT呈現問題3：類比多項式的乘法運算，我們得到了復數的乘法法則及其運算律.多項式乘法一個顯著標志是可以用“乘法公式”簡化運算.那么，復數乘法是否有相應的公式呢？

(3)PPT呈現問題4：二級運算還有除法.那么，兩個復數能否相除?如何研究復數的除法呢？

(5)教師 “點撥”， 順應研究方法：遵循“基本套路”，根據運算對象的結構特征，展開聯想,變更類比對象，分析、研究問題.簡單小結，突出理解與應用特色：復數乘、除運算分別類比多項式乘法、根式除法運算.

以上思考與探索過程，按照一個運算對象的研究過程，通過體現共性、突出個性，延續復數加減運算的研究方式，順應知識，并在跟進思考、接續研究中，突破教學難點，培養學生思維的嚴謹性，以及邏輯推理、數學運算等核心素養，建立相關研究的“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”.

4 換位思考，增強思維的批判性

得到法則后，緊接著就是法則的應用，需要突破第二個教學難點：法則的正確理解與靈活應用.

(2)學生獨立思考，自主練習.6分鐘后，展示多位學生代表的計算過程，學生與教師一道矯正、點評，鼓勵其他學生提供不同的計算思路或方法.

(4)PPT呈現例2.在復數范圍內解下列方程：①x2+2=0；②ax2+bx+c=0，其中a,b,c∈R，且a≠0，b2-4ac<0.

(5)學生獨立思考、提供解題方案后，讓學生對照教材第79頁例6的“分析”與“解”發表意見或提出問題.然后，教師點評、提煉：例2第②題為一般情形，教材給出的“解”體現了求解實系數一元二次方程的“根本大法”——配方法，轉化為特殊情形；虛數與復數的引入緣于解方程時遇到的負數開平方問題，作為復數及其運算應用的一個重要方面，有了“求根公式”，可以直接利用它求實系數一元二次方程在復數范圍內的根，或將實系數二次三項式在復數范圍內分解因式.

以上探討過程，按照研究一個運算對象的進程，采用提供多樣性素材、激發應用情境的方法，使研究復數加減運算的方式得以改造，并在換位思考、接續研究中，突破教學難點，增強學生思維的批判性，完善一個運算對象的研究過程，解決數系擴充后復數運算的封閉性、應用性等問題，使一個運算對象的研究“套路”找到比較穩定的“固著點”.

5 接續研究，發展思維的創新性

數學研究，不止于解決問題，還要回歸研究歷程，獲得 “再出發”的能量.課堂最后環節，還需要上升到數學思想高度，突出第二個教學重點：完善研究一類運算對象乃至一類數學對象的“基本套路”、行動方案.

(1)學生小結.可以使學生明晰：復數的乘、除運算，類似于整式的乘法、根式的除法運算，乘法滿足交換律、結合律及對加法的分配律，可以用乘法公式簡化運算，結果是一個確定的復數；與實數運算、三角恒等變換一樣，復數運算常要抓住運算對象特點，考慮運算依據，設計運算程序，達到運算目標.

(2)變更情境.讓學生瀏覽教材第75至79頁的內容，結合黑板板書，回顧課堂學習、研究歷程，談學習體會，或提交問題.

(3)教師凝練.在肯定學生的突出表現、所作小結的基礎上，凝練出研究復數乘除運算的思想方法——類比遷移法，以及研究一個運算對象的“基本套路”：“背景—概念—基本性質—運算及其幾何意義、運算律—聯系與應用”[3].引導學生發現尚沒有研究的問題：復數乘、除運算的幾何意義，以及復數乘方、開方運算及其幾何意義.凸顯研究一類運算對象的思維軌跡，鼓勵學生接續研究教材第81頁“代數基本定理”及選學內容“復數的三角表示”，為后續課時的研究性學習作好準備.

上述梳理與凝練過程，采取參與小結、多向對話的策略，將“小結權”還給學生，引導學生自主梳理一節課的知識，重視閱讀教材和學習小結，開展與教材、自己對話.更好地發揮教師的引領作用、開拓視野，指導學生開展與同學、老師對話，系統認識運算對象研究的過程和數學學習本身，重視研究數學對象的思想方法、繪制思維藍圖，將數據分析、數學建模等核心素養的培養落實到課堂； 再現復數研究的“情境與問題”“思維與表達”“交流與反思”，讓學生明白為什么虛數以及復數概念的引入會經歷一個曲折的過程，領悟其中蘊涵的數學家的想象力、創造力，使研究復數“二級運算”的流程得以“再造”，發展思維的創新性.

6 結束語

復數的乘、除運算是復數運算“思維鏈”的關鍵“節點”，主張按照研究一個運算對象的“基本套路”，優化設計，通過對接思考、跟進思考、換位思考、接續研究的方式方法，使研究復數一級運算的“基本套路”得以“傳承、延續、改造、發展”.在接續研究中重構研究一類運算對象的“基本套路”，培養思維的連貫性、嚴謹性，增強思維的批判性，發展思維的創新性.新課程改革正在如火如荼地進行，廣大教師要認真鉆研課程標準和教材，立足各個課時、各個單元、各條主線，以及各個、各類研究對象，優化設計，課時落實，單元突破，主線推進，合力鍛造學生數學思維的必備品格和關鍵能力，讓他們在接續學習、研究中發展理性思維，賡續數學家不屈不撓、精益求精的精神血脈, 落實“學生發展為本，立德樹人，提升素養”[1]的根本任務.