數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂的案例研究
——以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”為例

?吉林師范大學(xué)

宋櫻花

1 數(shù)學(xué)文化融入高中課堂現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教育，即HPM觀點(diǎn)，背后蘊(yùn)含的理論支撐依據(jù)是“歷史發(fā)生原理”的數(shù)學(xué)教學(xué).通過課堂中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在歷史長(zhǎng)河中的發(fā)生、發(fā)展、拓展的一系列過程，讓學(xué)生利用較短的課堂時(shí)間，經(jīng)歷整個(gè)人類較為漫長(zhǎng)的探索過程.

汪曉勤教授在《基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實(shí)證研究》一文中曾論述，數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅有助于學(xué)習(xí)者知識(shí)體系的建構(gòu)，也體現(xiàn)了教師教學(xué)方法的獨(dú)特，學(xué)習(xí)者在獲得探究數(shù)學(xué)史樂趣的同時(shí)也能夠幫助學(xué)習(xí)者發(fā)展數(shù)學(xué)隱性能力，展現(xiàn)中華民族的文化之美，在數(shù)學(xué)史中也可以傳承和發(fā)揚(yáng)中華民族的美德[1].然而，HPM理論在一線實(shí)際教學(xué)環(huán)節(jié)仍存在著無法將理念落地生根的困境.針對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)文化融入高中課堂的難題，諸多一線教育工作者也在不斷的探索與實(shí)踐當(dāng)中[2].

2 數(shù)學(xué)文化融入高中課堂原則

2.1 真實(shí)性原則

在漫長(zhǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科的探索過程中，數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含著許多寶貴的財(cái)富.無論是數(shù)系的不斷擴(kuò)充，還是歐氏幾何的建立，都是為了解決人類長(zhǎng)時(shí)間以來難以破解的實(shí)際問題.數(shù)學(xué)文化想要融入高中課堂教學(xué)中，教師在引入數(shù)學(xué)文化時(shí)，應(yīng)當(dāng)符合真實(shí)性原則.既要保證內(nèi)容上的真實(shí)，也要保證思想上的真善美.只有將真實(shí)的問題情境、數(shù)學(xué)情境、歷史情境引入到教學(xué)活動(dòng)中，才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)史的魅力，以更飽滿的熱情進(jìn)入到學(xué)習(xí)活動(dòng)當(dāng)中.

2.2 再創(chuàng)造原則

在一線教學(xué)活動(dòng)中，大多數(shù)教師往往過于關(guān)注知識(shí)的傳授結(jié)果，對(duì)結(jié)果的評(píng)價(jià)往往也只是通過考試或測(cè)驗(yàn)來進(jìn)行，這種評(píng)價(jià)方式忽略了學(xué)習(xí)過程.因此，更為重要的是要讓學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的過程.學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的時(shí)間是十分短暫的，而知識(shí)的產(chǎn)生發(fā)展是經(jīng)歷了很長(zhǎng)時(shí)間的.只有通過數(shù)學(xué)史的融入，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程產(chǎn)生濃厚的興趣，學(xué)習(xí)起來才會(huì)事半功倍，這跟以往教師照本宣科的講解方式相比是具有優(yōu)勢(shì)的.只有通過教師在教學(xué)活動(dòng)中的二次創(chuàng)造，才能引導(dǎo)學(xué)生們不斷發(fā)現(xiàn)，不斷感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展歷程，從而獲得更好的教學(xué)效果.

2.3 適當(dāng)性原則

在一線教學(xué)中，對(duì)數(shù)學(xué)文化的引用應(yīng)當(dāng)遵循適當(dāng)性原則.“適當(dāng)”從兩個(gè)角度而言：其一是知識(shí)水平上的適當(dāng)，即尋找符合學(xué)生知識(shí)水平和教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)史料，二者要有一定的關(guān)聯(lián)性才能保證難度的適當(dāng)；其二是使用程度的適當(dāng)，即在四十五分鐘的標(biāo)準(zhǔn)課時(shí)中，應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)使用，精選兩到三個(gè)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)人物、數(shù)學(xué)故事進(jìn)行呈現(xiàn)，而不是在整個(gè)數(shù)學(xué)課堂中一直講授數(shù)學(xué)文化的背景，導(dǎo)致喧賓奪主，從數(shù)學(xué)課變?yōu)闅v史課.在實(shí)際的導(dǎo)入或講授的過程中，適當(dāng)性原則要由教師進(jìn)行調(diào)控，這樣才可以做到適當(dāng).

3 數(shù)學(xué)文化融入高中課堂案例

3.1 教材內(nèi)容分析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，現(xiàn)實(shí)生活很多內(nèi)容常用到它.前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的許多基礎(chǔ)知識(shí)，這為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).而等比數(shù)列求和的學(xué)習(xí)又為數(shù)列在各方面的應(yīng)用做好鋪墊.

首先，在情境與問題中，通過數(shù)學(xué)故事進(jìn)行導(dǎo)入，把學(xué)生帶入到等比數(shù)列求和的情境中，由直觀感知到數(shù)學(xué)抽象，提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文育人價(jià)值；其次，在知識(shí)與技能中要使學(xué)生達(dá)到掌握數(shù)列基本內(nèi)容的要求；再次，在自主探究的過程中，用觀察、比較、分析、歸納、概括等方法對(duì)若干實(shí)例進(jìn)行提煉和概括并建立數(shù)學(xué)模型，并嘗試運(yùn)用錯(cuò)位相減法或構(gòu)造方程的思想解決等比數(shù)列求和問題，使學(xué)生感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法；最后，在交流與反思中，通過交流分享活動(dòng)，養(yǎng)成用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述的習(xí)慣，培養(yǎng)具體問題具體分析的理性精神，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等素養(yǎng).

3.2 學(xué)情分析

從認(rèn)知角度而言：學(xué)生已經(jīng)掌握等差數(shù)列定義、性質(zhì)、求和公式和等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容做好了知識(shí)上的準(zhǔn)備.

3.3 數(shù)學(xué)文化融入的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)

(1)創(chuàng)設(shè)情境.

通過古書中描述的有關(guān)數(shù)列求和的問題、萊茵德紙草書記載的數(shù)列求和問題、舍罕王的棋盤放置麥粒故事三個(gè)數(shù)學(xué)史情境，引入本節(jié)課所學(xué)習(xí)的數(shù)列求和問題.在講解的過程中也讓學(xué)生理解到數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的曲折與艱辛[3].例如，本節(jié)教學(xué)，使學(xué)生了解到了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的探索過程以及其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，也使課堂有了更加良好的學(xué)習(xí)氛圍，促使學(xué)生獲得了更多的知識(shí).

師生活動(dòng)過程：

問題1古巴比倫泥板M7 857上載有等比數(shù)列99，891，8 019，72 171，649 539 的求和.

問題2萊因德紙草書是現(xiàn)存的重要的數(shù)學(xué)典籍之一，萊因德紙草書上曾經(jīng)記錄這樣一個(gè)關(guān)于數(shù)列的問題：“假設(shè)有7個(gè)草屋，每一個(gè)草屋中有7只貓，每只貓可以抓7只老鼠，每只老鼠吃7個(gè)稻谷，每個(gè)稻谷含7個(gè)稻粒容積單位，問草屋、貓、老鼠、稻谷、容積總數(shù)分別為多少？”

問題3古印度的一位智者發(fā)明了早期的國(guó)際象棋.國(guó)王要給發(fā)明者獎(jiǎng)勵(lì)，發(fā)明者說: 請(qǐng)?jiān)谄灞P中放置麥粒，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到將整個(gè)棋盤裝滿.請(qǐng)同學(xué)們思考一共需要多少顆麥粒？

設(shè)計(jì)意圖：以數(shù)學(xué)史中的素材為引例，背景是真實(shí)的歷史材料或歷史故事，充滿趣味性，容易把學(xué)生帶入到等比數(shù)列求和的情境中，由直觀感知到數(shù)學(xué)抽象，從側(cè)面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性思考.同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文育人價(jià)值.

(2)數(shù)學(xué)抽象，建立模型.

問題4根據(jù)上面問題3求麥粒的數(shù)目，實(shí)際上是計(jì)算1+21+22+……+263=？的問題，也就是求首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列前64項(xiàng)的和.

問題5這三個(gè)問題是否是一類問題？能不能建立一個(gè)更大的數(shù)學(xué)模型描述這類問題？

問題6首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么？

問題7如何求以a1為首項(xiàng)，以q為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和？

設(shè)計(jì)意圖：在模型建立環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)了五個(gè)環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)問題，在不斷的追問下啟發(fā)學(xué)生的思維，是基于對(duì)數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)分析與解決策略上的理性思考.五個(gè)追問，使學(xué)生的探索始終處于自我成長(zhǎng)的最近發(fā)展區(qū)；五個(gè)思考，使學(xué)生對(duì)問題步步深入，對(duì)問題的挖掘越來越深刻，在師生、生生碰撞中得出解決問題的方法.

(3)啟發(fā)教學(xué)，公式證明.

通過以下三種不同的證明思路，啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)，開拓學(xué)生思路.

根據(jù)定義，得

Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1

①

①式兩端同乘q，得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn

②

當(dāng)q為1時(shí)，Sn=na1.

因?yàn)镾n=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，所以，Sn=a1+q(a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2).

化簡(jiǎn)，得Sn=a1+q(Sn-an).

證明方法三：Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an.

根據(jù)等比數(shù)列定義，得

因此，

所以，

(4)案例設(shè)計(jì)回顧.

學(xué)習(xí)目標(biāo)依據(jù)學(xué)生實(shí)際情況定位.課程目標(biāo)側(cè)重于知識(shí)技能、過程、方法；素養(yǎng)目標(biāo)側(cè)重于學(xué)生的情感態(tài)度、價(jià)值觀、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.通過深入挖掘新課標(biāo)、新教材，在充分把握學(xué)情的基礎(chǔ)上，力求給學(xué)生起到預(yù)習(xí)引領(lǐng)的作用，為學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

探索學(xué)習(xí)中創(chuàng)設(shè)情境，化史料素材為數(shù)學(xué)問題，尋找共性特征，歸納總結(jié)，建立模型.在交流分享活動(dòng)中，組織學(xué)生加入到小組的活動(dòng)中，以小組的形式進(jìn)行展示，展示過程中要注重學(xué)生的情感體驗(yàn)，教師在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行點(diǎn)撥和肯定.通過小組交流，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.在展示活動(dòng)中要注意緊扣各個(gè)環(huán)節(jié)，逐步呈現(xiàn)思維過程.

4 數(shù)學(xué)文化融入高中課堂的反思

4.1 將數(shù)學(xué)應(yīng)用融入數(shù)學(xué)的日常教學(xué)

可以將數(shù)學(xué)在歷史、藝術(shù)、文化、科學(xué)等諸多方面的應(yīng)用融合到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，提升學(xué)生在學(xué)習(xí)中的體驗(yàn)感并且激發(fā)他們的興趣.由于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的欠缺，可以通過教師閱歷的講述來吸引學(xué)生.教學(xué)內(nèi)容的選取從與現(xiàn)實(shí)生活相接近的方面進(jìn)行切入，譬如，學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，可以從教師的生活出發(fā)，提出對(duì)應(yīng)的問題引發(fā)學(xué)生思考，再通過細(xì)致的講述完成知識(shí)點(diǎn)的講解，從而解決上課之初提出的問題.

4.2 將數(shù)學(xué)思想融入數(shù)學(xué)的日常教學(xué)

將數(shù)學(xué)思想介紹給學(xué)生可以有兩種方式：(1)以各種文字或者圖片材料作為具體闡述的載體，高中生可以直接通過閱讀來理解吸收并運(yùn)用其中的思想；(2)將數(shù)學(xué)思想融入授課過程中，將具體的實(shí)際問題簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立合適的數(shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

4.3 將數(shù)學(xué)之美融入數(shù)學(xué)的日常教學(xué)

數(shù)學(xué)美屬于一種特殊之美，可以將數(shù)學(xué)之美與高中數(shù)學(xué)課堂相結(jié)合，在潛移默化之中讓學(xué)生體會(huì)獨(dú)特的數(shù)學(xué)之美.它的美具體到現(xiàn)實(shí)生活中，通常以許多建筑為代表，可以將它們抽象為對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)圖形，探索對(duì)應(yīng)圖形的基本特征從而探知數(shù)學(xué)之美.生活中的萬事萬物都體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，圖形的對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，日常的窗花，都是數(shù)學(xué)之美的體現(xiàn).所以將數(shù)學(xué)之美融合進(jìn)課堂教學(xué)之中，非常有利于高中學(xué)生拓寬視野，陶冶他們的情操.

4.4 將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)的日常教學(xué)

從古至今，無數(shù)的數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)史做出了卓越的貢獻(xiàn)，但由于教科書的篇幅有限不能將與知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)史全部講述，教師可以在備課之時(shí)選取部分?jǐn)?shù)學(xué)史以故事的形式講述出來.譬如勾股定理的證明，除去教材的證明方式，還可以采用一些相對(duì)容易理解的方法證明，并提出此種證明方法的數(shù)學(xué)家的故事，用獨(dú)特的視角吸引學(xué)生的注意力.

5 結(jié)束語

綜上所述，高中階段的數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該將精力投入到把數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂之中.這個(gè)過程必將需要大量的時(shí)間和精力，需要恒心、細(xì)心還有耐心.這一過程不是一蹴而就的，正如《勸學(xué)》中所說：“不積跬步，無以至千里”，長(zhǎng)久的積累終究會(huì)實(shí)現(xiàn)這一長(zhǎng)久目標(biāo).