在質(zhì)疑中提升思維的質(zhì)量—一道關(guān)于圓的方程高考題的講評

?湖南省寧鄉(xiāng)市第一高級中學(xué)

唐新陽

1 問題的產(chǎn)生

在一次高三第一輪復(fù)習(xí)調(diào)研考試中，命題者采用了1997年的全國高考第25題．原題如下：

設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長為2；(2)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．

本次調(diào)研中此題的得分率很低，因此，筆者針對這個題進(jìn)行了講評．

2 講評的過程

由于學(xué)生已經(jīng)做過，筆者先引導(dǎo)大家學(xué)習(xí)了該題的一個標(biāo)準(zhǔn)答案(參考答案中的一個答案)．

解：設(shè)圓心C(a,b)，半徑為r，則可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2．

由條件(1)可知

r2-a2=1

①

由條件(2)可知，劣弧所對的圓心角為90°，得

r2=2b2

②

由①②式知，2b2-a2=1

所以，圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2，或(x+1)2+(y+1)2=2．

2.1 質(zhì)疑產(chǎn)生

學(xué)生A：老師，我覺得這里利用重要不等式a2+b2≥2ab求d的最小值時，有很大的巧合性．如果將題目進(jìn)行改動，則完全不是這種情況．

這時，教室里一陣嘩然，因為他提出的想法是在直接質(zhì)疑參考答案的科學(xué)性．同學(xué)們紛紛開始討論．

師：好，請談?wù)勀愕母膭樱?/p>

學(xué)生A：我們不妨把直線方程改為x-3y=0，得

而這里-2a2+6b2不是定值，因此，這樣是求不出d的最小值的．

看到這個結(jié)論，同學(xué)們開始思考這個問題更一般的解決方法．

2.2 問題的討論與解決

學(xué)生B：老師，我找到了原題的一種更一般的解法．

學(xué)生B的解答如下：

將a2=2b2-1代入整理，得

③

所以，圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2，或(x+1)2+(y+1)2=2．

學(xué)生B：這種解法對直線方程為x-3y=0也同樣適用．這里我為什么這樣做呢，因為平方不能解決根本問題，而去絕對值的方法除平方外還可以直接用定義，這里消元以后就轉(zhuǎn)化為常見的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)恒有解的問題，從而淡化了這個題利用不等式解題的技巧性思路，是一種通法．

師：很好，你在質(zhì)疑的過程中，將一個最值問題轉(zhuǎn)化為二次方程有解的問題，利用判別式來求最值，這是我們處理含有二次式的最值問題常用的方法.只是要注意二次方程是在給定的變量范圍內(nèi)有解，這是一個常規(guī)方法，但要注意使用的條件．

因為2b2-a2=1，故可令

④

由ma2+nb2≥6ab，得mn=9.

對于原題我們也可以用這個更一般的解法．

師：你的想法十分大膽，也十分有見地，能夠?qū)⒉坏仁降男问阶鞒鲎冃瓮茝V，利用待定系數(shù)法，湊配出定值，通過定值成立建立方程求解，這也是我們有時利用不等式求最值時常要用到的變形技巧．

此時同學(xué)們對學(xué)生A的解答交口稱贊，投來佩服的目光．

學(xué)生C：假如我們得到的關(guān)于λ的方程沒有實數(shù)解或者有兩個都不為0的實數(shù)解怎么辦呢？

同學(xué)們開始討論，有人動筆計算其它不同的變式．最后學(xué)生A補充：事實上，不論怎么改，只要這個方程有解，它總是一個正數(shù)解和一個0．只不過暫時還沒能證明，但我相信能證明出來．因為這個過程中的數(shù)量關(guān)系是等價轉(zhuǎn)化的．

學(xué)生的積極性再一次被調(diào)動，學(xué)生D：A，B同學(xué)的方法很好，但我將圓的問題再一次回到幾何中去處理，有一個很好的解釋．這里注意到2b2-a2=1，而a，b分別是圓心C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，易知圓心C的軌跡方程為2y2-x2=1，可以將問題轉(zhuǎn)化為求雙曲線2y2-x2=1上到直線x-2y=0距離最小的點的坐標(biāo)．不妨設(shè)有直線x-2y=k，則當(dāng)該直線與雙曲線相切時，這個切點即為點C．解答如下：

令Δ=8k2-8=0，得k=±1.

師：你的這種利用解析思想處理代數(shù)最值的方法很巧妙．有時我們得到二元變量的方程或不等式時，可以考慮是否能轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的曲線或區(qū)域，再去考慮要求的二元變量運算式所表示的幾何圖形與曲線或區(qū)域的位置關(guān)系，從而得到最值．

3 教后反思

本節(jié)課筆者只開了個頭，但受到了同學(xué)們的質(zhì)疑.在質(zhì)疑過程中，同學(xué)們自主而又巧妙地解決這個問題.在這個過程中，學(xué)生思維得到了充分的“鍛煉”，揭示了問題的本質(zhì)，提升了解題能力．而筆者在反思教學(xué)過程時不禁想到，我們在對一節(jié)課進(jìn)行預(yù)設(shè)時經(jīng)驗當(dāng)然有很大的作用，但僅憑經(jīng)驗而不考慮學(xué)生思維實際以及學(xué)生能力的教學(xué)預(yù)設(shè)都是不成功的．這也同時提醒筆者，教學(xué)預(yù)設(shè)要多想幾個“為什么”．