培養“數學抽象”核心素養的課堂教學案例及策略

?湖北省宜昌市夷陵中學

張園園 楊先進

數學抽象是高中數學六大核心素養之一，是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.它是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，它使數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統.從學生角度來看，高中數學內容的抽象性是學習時的一大難點.本文通過三個課堂實錄，以及相應的設計意圖，探索培養“數學抽象”核心素養的一些基本策略.

1 課堂實錄及設計意圖

案例1 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

師：我們一起來欣賞一個外國的小故事.外國小說家馬克·吐溫在一次演講中談到國會議員，有些激動，他說：“國會議員中有人是混蛋！”一些議員知道后，紛紛要求他公開道歉.于是，馬克·吐溫在報紙上道歉說：“上次我說‘國會議員中有人是混蛋’，這是不對的，我深表歉意.現在更正為‘國會議員中有人不是混蛋’.”同學們，如果你是國會議員，你滿意嗎？

生：不滿意！

師：那該如何道歉呢？

生：所有國會議員都不是混蛋.

師：好的，如果我們把故事中的人用x來表示，國會議員所組成的集合用A表示，“是混蛋”用“>0”來表示，如何用數學語言描述馬克吐溫說的第一句話？

生：?x∈A,x>0.①

師：非常好！如果要道歉，就是要否定這句話，那應該如何用符號語言來否定呢？

生：?x∈A,x≤0.②

師：①是存在量詞命題，②是全稱量詞命題.由此可見，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.同時，寫命題的否定時要注意兩點，即改量詞，否結論.

設計意圖：本片段中，我們用一個幽默的故事作為載體引入，開篇能迅速調動學生的積極性，引發同學們的思考.故事中馬克·吐溫說的第一句話“國會議員中有人是混蛋！”老師讓學生用集合的語言表述出來，是引導學生用數學的語言表達世界的典型.同時，將生活中的事物賦予數學符號，將生活語言轉化為數學語言，引導學生深刻體會數學符號的精煉與準確，學生能很快理解存在量詞命題的概念特征，即存在某個元素或集合，滿足某種特征.再通過第二句話“所有國會議員都不是混蛋”，讓學生思考存在量詞命題如何否定，再一次通過抽象成為符號語言，順利完成從特殊到一般的存在量詞命題的否定的形式特征，讓學生在無形中完成對本節課的重點和難點的理解.

案例2 函數的單調性(第1課時)

生：上升.

師：很好，大家能進一步用自然語言來描述這個變化趨勢嗎？

生：y隨著x的增大而增大.

師：非常好！再來看函數y=0.000 01x+1的圖象，能看出變化趨勢嗎？

生：不容易看，感覺是水平的.

師：那它是否具有前面這幾個函數圖象同樣的變化趨勢呢？

生：具有，也是y隨著x的增大而增大.

師：為什么？

生：因為0.000 01>0，在初中學過“一次函數中一次項系數大于零時，y隨著x的增大而增大”.

師：華羅庚先生曾說過，數缺形時少直觀，形缺數時難入微.我們不能只滿足于從形的角度用自然語言來描述這種規律，特別是從圖形上反映并不直觀或不準確時，還需要進一步地用符號語言來描述.請大家思考，如何用符號語言來描述“y隨著x的增大而增大”這一變化趨勢呢？

生：f(x)

師：大家同不同意他的說法？(有的同學同意，有的同學不同意.)

生：這樣表示不行.比如高斯函數，滿足f(x)

師：非常好！那我能否用f(x)

生：也不行，可以構造類似高斯函數的函數作為反例.

師：這位同學思維非常敏捷！那我們該如何描述呢？

生：要限定兩個自變量之間的關系，就用x1,x2來表示，當x1

師：很好，x1,x2是兩個特定的值嗎？

生：不是，是任意的兩個數.

師：我們再回到函數y=x2(x≥0) ，若將定義域改成R，我們針對這個函數能說對于定義域內的任意的x1

生：不能.

師：那這說明我們在描述這個規律時應加上什么？

生：加上范圍說明.

師：好的，也就是說要說明在什么區間上具有這個規律.那么，這個區間和定義域的關系是怎樣的？

生：區間包含于定義域.

師：很好.結合我們剛才的所有分析，我們能把“y隨著x的增大而增大”這個規律用符號語言描述出來嗎？

生：對于區間A(A?D，D為定義域)上的任意x1

師：非常棒！具有這樣規律的函數我們稱函數在這個區間上單調遞增，此區間為函數的增區間.

設計意圖：本節課的設計亮點在于，從學生已有的知識出發，步步引導，層層深入，分塊突破，讓學生經歷先從圖形語言開始，引導學生到自然語言，再過渡到符號語言表達的全過程，讓學生充分感受由具體到抽象的全過程，從而提高學生的數學抽象能力.此設計的亮點還在于利用函數y=0.000 01x+1的圖象，讓學生體會到用符號形式化表達數學定義的必要性，加深了對函數單調性概念的理解.

案例3 變化率問題(第1課時)

師：小楊和小張都在做生意，小楊掙到10萬元，小張掙到2萬元，請問如何比較小楊和小張兩人誰更能掙錢？

生：掙錢多的當然好!當然是小楊呀！

師：如果小楊是用5年時間掙到10萬元，小張用半年時間掙到2萬元，你們覺得小楊更能掙錢嗎？

生：不是.小張更能掙錢，小楊每年只能掙2萬，小張半年就掙了2萬.

師：大家認為如何判定兩人的經營成果比較合理？

生：只比較掙到的錢數，并不能客觀地評價兩人的經營成果，比較兩人的年平均收入更合理.

師：通過對以上例子的分析，我們知道，僅僅比較一個變量的變化有時候是有局限的，我們往往需要用兩個或更多個變量去分析問題.

師：我們再來看一個例子：

例1現有宜昌市某年3月18日-4月20日每天氣溫最高溫度統計圖.(3月18日為第一天，橫坐標為1，如圖1.)

圖1

在“4月18日到20日”宜昌市市民普遍感覺“天氣熱的很快”，而在“3月18日到4月18日”感覺天氣變化沒有那么強烈，為什么？怎樣從數學的角度描述“氣溫變化的快慢程度”？

生:這一問題中，存在兩個變量，即“時間”和“氣溫”.當時間從1到32，氣溫從3. 5℃增加到18.6℃,氣溫平均變化率約為0.5℃/d;當時間從32到34,氣溫從18. 6℃增加到33. 4℃,氣溫平均變化約為7.4℃/d.所以，從32日到34日，氣溫變化更快一些.

師:“0.5”表示從“3月18日到4月18日”氣溫的平均變化率，能說說對“氣溫平均變化率”的理解嗎？

生：氣溫平均變化率類似于我們的平均速度的概念，是一段時間氣溫的增加量與這段時間差的比值.如果同一段時間氣溫增加量越多，變化率越大，人體的感受就會越強烈.

師：上面問題中的溫度隨時間的關系如果用y=f(t)表示，那么問題中的平均變化率可以如何表示?

師：很好！平均變化率可以反映變量的變化快慢程度.是否在所有情況下它都能很好地反映一個變量的變化呢？我們再來看一個例子：

師：平均速度是0，是否說明運動員這段時間沒動？

生：不是.

師：可見，用平均變化率刻畫變量的變化速度是有局限性的，有時候我們需要進一步研究瞬時變化率.

設計意圖：本片段的亮點一是通過創設情境引導學生了解“引入平均變化率的必要性”，通過對例2的探究引導學生對平均變化率進行反思，發現用平均變化率描述運動和變化狀態的局限性，從而認識到學習瞬時變化率的必要.本片段的亮點二在于通過對例1的層層分析，引導學生經歷從具體情境中抽象出數學概念的過程，促使學生加深理解平均變化率的實際意義.

3 培養策略

通過以上案例，我們可以總結出，培養學生的數學抽象核心素養，可以有如下策略.

3.1 數學符號情境化，促進認知升華

在案例1中，教師通過一個小故事，把里面的生活語言與數學符號結合起來，讓學生很容易就能接受符號語言要表達的意思.數學抽象的第一層次就是感性的抽象與經驗性的抽象，通過對生活中的對象與數學對象相似性的辨析，很容易讓學生理解概念所要表達的意思.

3.2 抽象概念具體化，突破教學難點

有些數學概念之所以覺得抽象，是因為有太多的符號語言以及定義，讓學生眼花繚亂，無從下手.如果能如案例2那樣，把符號語言里的每一個關鍵點通過層層設問分解分析，或者如案例3那樣，對每一個概念引入的必要性做逐步分析，學生就能深刻體會到符號語言的精煉性以及必要性，對培養學生的數學抽象能力，以及增強數學學習信心有很大幫助.

3.3 教學內容活動化，提升核心素養

抽象經驗可以在數學活動中積累，抽象能力可以在抽象活動中發展，抽象素養可以在抽象經驗的積淀與升華中養成.如在學習全概率公式和貝葉斯公式時，學生覺得公式很抽象，不好理解，不好記憶.因此，教師可以借助教材中的閱讀材料里著名的“三門問題”，讓學生按照規則進行抽獎的對比實驗，根據實驗結果，分小組討論、闡述觀點，進一步按照貝葉斯公式分析結果產生的原因，以及公式的具體意義，這樣學生對貝葉斯公式的結構就會有全新的認識，也會認識到它的巨大威力.

總之，學生的數學抽象素養是在不斷解決問題的過程中逐步孕育的，只有精心設計完整的抽象過程才能培養出完整的抽象能力和抽象素養.