“數形結合思想”復習課的單元教學設計*

?衡陽師范學院數學與統計學院

聶 靜 彭嘉瑤 羅振國 羅李平

1 引言

《普通高中數學課程標準(2017 年版)》[1]從教學設計和實施的幾個主要環節提出了數學教學建議，而落實這些建議的關鍵是實施單元教學.單元教學強調基于整體視角重構知識體系，防止知識教學碎片化，要求教師將零碎的知識以本身的邏輯關系或者數學思想方法進行分析、重組與整合，以促進學生深化理解知識，把握數學本質，這對培養學生能力以及提高核心素養具有重要意義.近年來，以三角函數[2]、平面向量[3]、高中函數[4]、直線與平面平行[5]、數列[6]等知識本身的邏輯關系進行單元教學設計的理論和實踐研究成果比較多，但很少涉及復習課.

《普通高中數學課程標準(2017 年版)》[1]同時指出復習課的復習題要關注單元知識的系統性，幫助學生理解數學的結構，增進復習的有效性，達到相應單元的“學業要求”.數形結合思想是高中數學的重要思想，它可以把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，進行幾何直觀的分析與代數抽象的探索.本研究基于課程標準的要求，以復習課為視角，探索以數形結合思想為主線的高中數學復習課的單元教學設計.

2 數形結合思想涉及的知識內容

現對高中數學中涉及數形結合思想的知識點作以下梳理：函數與方程和不等式、集合中的Venn圖、函數的單調性、函數的奇偶性、函數的最值、三角函數的概念、用三角函數解三角形、平面向量的概念與運算、復數的表示、解析幾何中涉及的平行、垂直的證明與距離、角度的計算(以數解形)、導數的幾何意義、簡單的線性規劃、幾何概率等.

從數形結合涉及的知識點可以看出，數形結合思想幾乎貫穿整個高中數學課程.

3 學情分析

學生在學習新知的過程中已經對數形結合思想涉及的各知識點有所理解，但由于高中數學知識高度抽象，可能對一些知識點的理解不夠深刻；同時學生對數形結合思想有了初步體會，有的學生可能已經發現數形結合可以把抽象的問題直觀化，但是更多的學生還是偏向于喜歡從小學就開始接觸的代數法，缺少對數形結合思想的應用意識.

4 教學目標

下面摘錄高中數學課程標準中涉及數形結合思想的部分知識點的教學目標要求.

(1)函數與方程和不等式：

借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.

(2)函數的單調性、函數的最值：

借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、 最小值，理解它們的作用和實際意義.

(3)三角函數的概念：

借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性.

(4)復數的表示：

掌握復數的表示、運算及其幾何意義.

(5)導數的幾何意義：

通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.

以上教學目標中都提到了借助圖形或者幾何意義理解相關知識點，滲透數形結合思想，學生在學習新課時已經有所把握.

現將以復習課為視角，以數形結合思想為主線的復習課單元教學設計的教學目標設定為：注重數形結合思想，培養數形結合意識，深化理解數學概念，提高解題的效率.

5 例談數形結合思想單元教學設計的實施

下面結合學生的認知程度，從數形結合思想有利于學生深化理解數學概念和提高解題效率兩個方面進行舉例說明，引導學生從“形”的角度進行探究.

5.1 數形結合思想有利于深化理解數學概念

(1)利用數形結合思想深化理解函數單調性.

圖1

(2)利用數形結合思想深化理解導數幾何意義.

導數的概念涉及極限的思想，抽象性很強，甚至對于切線的概念學生都會感到很抽象，所以僅對導數的概念進行符號語言的描述，學生很難接受.也許在初學時記住了導數的幾何意義是切線的斜率，但是，學生可能還達不到對其真正深入理解.

圖2

如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切，學生對此結論很熟悉.如圖2所示，過點A(0,1)作單位圓x2+y2=1的切線，學生很快可以給出這條切線的方程為y=1.

導數的幾何意義是切線的斜率，現利用導數的定義與幾何意義來推導單位圓在點A(0,1)處的切線方程，看是否與y=1一致.

在x0=0處，由導數定義，得

即f′(x0)=k=0.

學生利用導數的定義推導出單位圓在點A(0,1)處的切線斜率為0，從而利用點斜式得出單位圓在點A(0,1)處的切線方程為y=1.這與學生已知的“過點A(0,1)作單位圓的切線的方程為y=1”完全一致，從而使學生更深刻、更信服地理解導數的幾何意義是切線的斜率.

(3)利用數形結合思想深化理解虛數單位i的含義及虛軸的產生.

學生已經學習了復數的概念與幾何意義，但是很多學生仍然不理解i的含義，還有為什么y軸可以表示虛軸？現從圖形上引導學生思考，進而深化理解.

圖3

我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，如圖3所示，我們用數軸上的點A表示實數b，b乘-1得到實數-b,-b在數軸上的對應點為點A′， 則點A′可以看作將點A繞原點O(逆時針)旋轉180°所得[7].(下文提到的旋轉均默認為逆時針旋轉.)

圖4

由i2=-1，即i·i=-1，那么b·(-1)=b·(i·i)=b·i·i所對應的點可以看作將點A繞原點O連續作兩次旋轉90°所得[7].如圖4所示，b·i所對應的點可以看作點A繞原點O旋轉90°所得，那么bi所對應的點都可以在這條垂直于數軸的直線上，這樣虛軸就產生了，使學生深化理解了為什么y軸可以表示虛軸.bi·i表示虛軸上的點再次旋轉90°，即得到-b在數軸上的點A′.

這里利用數形結合思想使學生直觀感知到虛軸是怎么產生的，并深刻理解了i的含義.

利用數形結合思想還可以深化理解三角函數的定義、向量概念與運算等，這里不再例談.

5.2 數形結合思想有利于提高學生解題的效率

(1)利用數形結合思想，借助函數圖象討論方程的解的個數.

基本思想：先把方程兩邊的式子變成兩個熟悉的函數表達式，然后結合圖象進行分析.

例1已知函數f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0有4個互異的實數根，求a的取值范圍.

分析：由f(x)=|x2+3x|，將f(x)-a|x-1|=0化為|x2+3x|=a|x-1|.令g(x)=a|x-1|,問題轉化為兩個函數圖象的交點問題，即當函數g(x)與f(x)的圖象有4個交點時，求a的取值范圍.如圖5所示，分別畫出函數f(x)與g(x)的圖象，利用函數圖象直觀地分析交點的大致情況，從而求出a的取值范圍.

圖5

(2)利用數形結合思想，借助復數幾何意義解決復數相關問題.

基本思想：從題目所給式子的形式(適時變形)，基于復數幾何意義解題.

例2如果復數z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是多少？

分析：此題若是用代數方法設z=a+bi(a,b∈R)，由于條件中含有兩個絕對值，因此做起來會非常麻煩.引導學生利用數形結合思想與復數的幾何意義去求解，會使問題變得簡單.

圖6

如圖6所示，設復數z，i，-i,-1-i分別對應復平面內的點z,A(0，1)，B(0，-1)，C(-1，-1).|z+i|可以看作是點Z到B的距離，|z-i|可以看作是點Z到點A的距離，|z+i|+|z-i|=2可以看作是點Z到點B與點Z到點A的距離之和為2，從而得到點Z在線段AB上；|z+i+1|的最小值可以看作點Z到點C的距離.由圖形可以直觀判斷出：當點Z與點B重合時，點Z到點C的距離，即|z+i+1|的最小值為1.

(3)利用數形結合思想，借助解析幾何中斜率、距離等幾何意義解決最值問題.

基本思想：從題目所給式子的結構形式(或適當變形)，利用式子的幾何意義解題，充分利用數形結合思想.

例3已知實數x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求：

(2)y-x的最小值；

(3)x2+y2的最大值和最小值.

圖7

利用數形結合思想還可以解決線性規劃、幾何概率等問題，這里不再例談.

6 評價與反思

以數形結合思想作為一個大單元進行教學設計，有利于提高學生的數形結合意識.以復習課的視角，基于學生已有的認知程度，舉例說明了數形結合思想可以使學生深化理解比較抽象的數學概念，提高解決問題的效率，培養了學生的高階思維能力，促進了核心素養的發展.