線性代數課程教學如何適應智能時代的人才培養需求

張月蘭，康七好

（長沙理工大學數學與統計學院，湖南 長沙 410114）

線性代數是高等院校非數學類理工科專業必修的公共課程，是處理矩陣和向量空間的數學分支科學，是培養學生的邏輯推理能力、抽象思維能力和計算能力的重要基礎課程，是培養新世紀科技創新與應用型人才的數學能力與計算技能的核心課程之一；基于線性代數是大學生在高中幾何之后遇到的最為嚴密與抽象的教學課程，為了使線性代數課程教學實現其應用價值和數學素質的雙重培養價值，實現課程建設遵循解析工程教育專業認證的成果導向理念(OBE理念)，實現培養出能適應國家、地方與行業發展需要的高質量復合型人才成為智能時代發展的要求，本文擬定如下教學建議以解除學生對線性代數課程學習的困惑。

1 注重數學文化的滲透，側重培養高階思維能力

線性代數課程內容包括行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、特征值與特征向量、二次型六個章節，其中不乏抽象概念與定理冷冰冰得讓人生畏，干巴巴得毫無吸引力，致使部分學生對線性代數的知識體系缺乏整體與清晰的認識，從而失去學習的興趣與探究的動力；此時，教師若能潤物細無聲地引導和啟迪學生去“發現”線性代數知識體系就成為解除學生對課程知識學習困惑的關鍵因素；因此，教師除了在教學方法上不斷總結和改進外，在教學內容安排上也應注重課程知識的系統性與邏輯性，做到由淺入深、循序漸進地講清知識點的來龍去脈以降低線性代數課程的抽象度，培養學生從幾何直觀的二維、三維知識向抽象的高維知識的滲透，著重講清基本概念、基本原理和計算方法，通過問題驅動、探究式教學、案例教學和多媒體教學相結合的方式，充分調動學生學習的積極性與自主性，使學生以主人翁角色“主動、探究、合作”融入全過程學習活動，鼓勵學生通過觀察、分析、思考、歸納獲取知識，提高學生在課程教學中的參與度、創新精神與高階思維能力，并掌握線性代數課程知識處理問題的技巧與方法。

（3）利用小視頻賞析啟發學生探究抽象概念的核心，比如經典小游戲俄羅斯分塊通常是由七種小方塊組成的不同形狀的板塊陸續從屏幕上方落下來，玩家通過移動、旋轉、下落和擺放游戲自動輸出的各種方塊，使之排列成完整的一行或多行并且消除得分，而沒有被消除掉的方塊不斷堆積，一旦方塊堆積到屏幕頂端，游戲結束；此游戲的精髓在于從混亂中尋找秩序的拼圖過程與獲得的成就感，七種基礎小方塊是這個游戲中的變化中的不變核心，思考題：

結論：（1）向量組一定存在向量個數最多的線性無關組，即向量組的最大線性無關組，它是向量組中的變化中的不變核心；（2）向量組的最大線性無關組不一定是唯一的，且向量組與其最大線性無關組是等價的關系；（3）解決復雜問題通過抓住關鍵核心可以簡化方案，提高效率。

2 課程內容知識講解、例證呈現與實際應用巧妙結合，全方位培養數學素養

線性代數是運用代數學方法解決實際問題的一個強有力的工具學科，廣泛應用于數學、物理學、化學、工程技術、國民經濟、生物科技與航天工程等科學技術領域，隨著現代科學技術的飛速發展，人類社會邁向數字化與智能化的新時代，以線性代數作為其部分理論和算法基礎的計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學與虛擬現實等先進科技走進了人們的世界，給予我們更加美好的生活體驗；因此，利用與生活息息相關的問題引入線性代數課程知識內容，并引導學生利用所學知識再解決已知問題的案例教學法，既能促進學生對知識的深入理解與掌握，又能開拓他們的思路與視野，激發其求知欲與探索欲，提高其實際應用能力和科技創新能力。

例如方陣的特征值與特征向量的講解：通過觀看小視頻《搜索引擎的秘密》，讓學生了解搜索引擎的排位原理與排位中存在的主要問題，并思考如何運用數學方法抽象一個典型的網絡鏈接關系教學案例圖，嘗試使用矩陣運算表示網頁搜索中的鏈接排序的變化，發現計算的復雜性并找到解決問題的辦法，由此引導出方陣的特征值與特征向量的概念，并利用數乘向量的幾何意義幫助學生理解二階矩陣特征值與特征向量的幾何意義和內涵，啟發學生探索出特征值與特征向量的求解思路與解題步驟，例題講解與知識點應用求解已給網絡鏈接關系案例圖中的排序問題的解，并嘗試通過對比兩種算法的結果體驗算法的優劣，完美實現從問題到理論，再從理論到應用的案例教學方法，根據解決問題的需求和學生認知規律，立足“提出問題-分析問題-解決問題-應用實踐”的指導思想，層層遞進的設計組織教學，結合數據處理，巧妙引入課題，培養學生的科學探究意識與精益求精的探索精神、提升學生抽象轉化問題的能力與數學建模能力，讓學生真真切切地感受生活中的數學，充分體會數學起源于生活，又回歸于生活，深化學以致用的科技創新應用能力。

3 利用數學軟件為線性代數知識的學習、應用、歸納和研究插上翅膀，提高綜合素質

我們使用的線性代數教材涉及的知識應用實例很少，行列式的階、矩陣的規模也很低，元素都非常簡單，而來源于實際問題的代數形式的數學模型中的情況則大相徑庭，是我們僅僅依靠使用筆和紙的手算方法不可能實現的任務；因此，利用數學軟件和信息化教學手段增強學生的學習興趣，拓展行列式與矩陣中的數字、階與規模成為線性代數課程教學發展的時代趨勢與需求，計算軟件MATLAB的運算功能與簡單的繪圖功能既能實現理論推導、數值計算與計算機之間的相互結合，又能激發學生的學習動力與探索興趣，為學生的后續相關課程的學習與研究工作打下堅實的數學基礎，提高其計算能力與綜合素質，例如線性方程組的解的結構可使用如下例題：例如線性方程組的解的結構的講解可使用城市交通問題如下：

某城市的部分街道的交通流量如圖所示，假設：

（1）全部流入網絡的流量等于全部流出的流量。

（2）全部流入某個節點的流量等于全部流出此結點的流量。

建立數學模型并確定該交通網絡中未知部分的具體流量。

4 課程思政建設實現學科知識與核心價值的雙重培養，實踐立德樹人

圍繞著“數學之史” “數學之美” “數學之思” “數學之用”和社會主義核心價值觀以及唯物主義辯證法三條主線尋找豐富的課程思政元素，將“思政寓于課程、課程融入思政”貫穿于教學始終，實現“通識教育+專業融入+思政教育”的三育人目標，幫助學生運用線性代數學科知識認識、分析和解決現實問題，提升綜合素質，著力發展核心素養，特別是社會責任感、創新精神和實踐能力，助力學生的未來發展需求，培養學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感，培養學生的追本溯源精神、哲學思辨精神、職業道德精神和批判反思精神，培養學生應用線性代數的思想、原理和方法去解決實際問題的能力，培育學生理性、全面認知問題的能力與辯證唯物主義思想。

線性代數發展簡史讓學生了解中國古代在線性代數上所取得的成就，激發學生的愛國情懷，增強學生的民族自豪感，也讓學生了解中國近現代在線性代數研究方面與西方國家之間的差距并思考其中的原因。通過對線性方程組、矩陣、行列式和二次型等概念的教學，讓學生掌握“于現象中抓住本質”的抽象概念建立的方法,培養學生“于變化中保持不變”的辯證統一思想；在線性方程組的高斯變換、矩陣的初等變換和相似變換的教學中，培養學生“形變而質不變”的辯證統一思想；在線性方程組、矩陣的初等變換和向量組的線性相關性的教學中，培養學生“事物是相互聯系的”辯證統一思想；通過線性方程組的有解與無解、矩陣的可逆與不可逆及正交與非正交、二次型的正定與非正定、向量組線性相關與線性無關的教學，培養學生對于“對立統一規律”的理解和認識等。

線性方程組的解的結構講解可通過“交通網絡優化設計”案例展現看問題、想事情一定要用科學理性思維去辯證地看和思，不能想當然的感覺是什么就認為是什么，更不能以偏概全，下結論以及做出判斷之前要全方位思考，邏輯要縝密，不能絕對化，解決問題的方式要有創新意識、敢于突破的決心；通過極大線性無關組的幾何特性，與學生分享解決問題一定要專注關鍵核心，憑借對事業的執著力、專注力及敬業精神，不可能的夢想也一定會成功實現；運用數學思想的科學性、邏輯性和辯證性，通過“特殊時期中藥藥方的成功應用”案例展現大數據時代“不懼難題、奮斗愛國，自強不息”的情懷和擔當，激發學生的愛國情懷和科技強國意識，拓展學生的環球視野，鼓勵學生拓廣學習范圍，樹立正確的學習觀、人生觀和世界觀，形成具有嚴謹學風、敢于創新和守正不撓且胸懷天下的社會新人。

5 結語

線性代數是培養學生掌握處理問題的代數學方法與探索科學技術的思辨能力和數學素養的重要課程，數字化的科技創新與智能時代的到來給線性代數課程教學提出了更高的人才培養方案，也給教學工作者們提供了培養新世紀應用創新型人才的機會與舞臺。

注釋：本文為2021長沙理工大學線性代數金課。