例談含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題幾種解題策略

趙忠平

(甘肅省永昌縣第一高級中學 737200)

近年來，全國高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題，這類題涉及知識面廣、綜合性強，對能力要求較高，能較好地考查學生的思維能力，很值得重視和探究.

1 特值探路

例1 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析將x取特殊值1代入不等式中，不等式應該成立，即f(1)≥1，也即a+lna≥1.

令g(a)=a+lna-1，易知函數(shù)g(a)單調(diào)遞增，g(1)=0,所以a≥1.

下面證明充分性:

當a≥1時，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-lnx.

若x∈(0,1)時，h′(x)<0；

若x∈(1,+∞)時，h′(x)>0，

故h(x)≥h(1)=1.

所以a的范圍是[1,+∞).

點評利用特殊值探路可以迅速化解題目難度，快速找到題目的答案(準答案)，減輕解題思想壓力，轉(zhuǎn)換解題思維角度，補全充分性證明過程即可完美收官.一般對數(shù)函數(shù)可將真數(shù)取特值1，指數(shù)函數(shù)的指數(shù)可取特值0.

2 分類篩選

例2 設函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π],設f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析由f(x)≤1+sinx，得f(π)≤1,aπ-1≤1.

所以f(x)≤1+sinx.

點評含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題可以利用逐段篩選討論法求解，對參數(shù)按照重要節(jié)點進行分類，在每一類中證明不等式成立或舉反例說明不成立，最后得解，體現(xiàn)了化整為零的思想和歸類整理的思想.

3 分離參數(shù)

例3設函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]，設f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析因為f(x)≤1+sinx,

即ax+cosx≤1+sinx.

①

當x=0時，對a∈R不等式①恒成立；

當0

設h(x)=(sinx+cosx)x-(1+sinx-cosx)，

則h′(x)=(cosx-sinx)x.

故當x∈[0,x0]時，h(x)≥0，

當x∈[x0,π]時，h(x)≤0.

故當x∈[0,x0]時，g′(x)≥0，

當x∈[x0,π]時，g′(x)≤0.

即g(x)在[0,x0]上單調(diào)遞增，在[x0,π]上單調(diào)遞減.

點評不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，只要容易實現(xiàn)參變分離，就可以很容易轉(zhuǎn)化為最值(或上、下界)問題求解，但在求最值(或上、下界)時常常要用到洛必達法則.

4 構(gòu)造函數(shù)

例4 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析f(x)≥1等價于aex-1-lnx+lna-1≥0.

即elna+x-1+lna-1≥lnx.

兩邊同時加x,得

elna+x-1+lna-1+x≥lnx+x=elnx+lnx.

令f(t)=et+t,則f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

則不等式等價于f(lna+x-1)≥f(lnx).

等價于lna+x-1≥lnx.

即lna≥lnx-x+1.

所以x∈(0,1)時，g(x)單調(diào)遞增，x∈(1,+∞)時，g(x)單調(diào)遞減.

故[g(x)]max=g(1)=0.

所以lna≥0,解得a≥1.

點評在含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題中，將不等式兩邊轉(zhuǎn)化成同構(gòu)式，根據(jù)同構(gòu)式構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)單調(diào)性進一步轉(zhuǎn)化問題，使得問題得到降維求解，此法雖然有一定難度，但能夠發(fā)現(xiàn)命題人的命題路徑及數(shù)學問題的本質(zhì).

5 虛設零點

例5 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析f(x)≥1的必要條件是f(1)≥1.

即a+lna≥1.

也即g(a)=a+lna-1≥0.

易知g(a)單調(diào)遞增，g(1)=0,所以a≥1.

又f(x)≥1,即aex-1-lnx+lna-1≥0.

令g(x)=aex-1-lnx+lna-1,則

所以函數(shù)g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

點評虛設零點體現(xiàn)設而不求思想，是解決導數(shù)問題常用方法，當導數(shù)的零點存在但不易求出的時候，就可以虛設零點，回代到原函數(shù)解析式中求值，確定函數(shù)值的符號.

6 數(shù)形結(jié)合

例6設函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]，設f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析f(x)≤1+sinx，即ax+cosx≤1+sinx.

可化為ax-1≤sinx-cosx.

圖1

點評數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，通過挖掘數(shù)學式子背后形的特征，以形助數(shù)，是解決數(shù)學問題的常用方法.