2022年浙江卷第22題證法賞析

鐘建新

(浙江省春暉中學(xué) 312300)

導(dǎo)數(shù)在高考中既是熱點(diǎn)，又是難點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)壓軸是近幾年浙江高考命題的一個特點(diǎn)，此類試題常涉及對考生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知a,b∈R，曲線y=f(x)上不同的三點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))處的切線都經(jīng)過點(diǎn)(a,b)．證明：

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

當(dāng)g′(x)>0時，e

當(dāng)g′(x)<0時，0a.

所以g(x)在(e,a)上單調(diào)遞增，在(0,e)，(a,+∞)上單調(diào)遞減.

因為g(x)有3個不同的零點(diǎn)，

所以需有g(shù)(e)<0且g(a)>0.

①

②

一方面結(jié)合②式可得b-f(a)>0；

所以u(a)在(e,+∞)上單調(diào)遞減.

綜合以上兩方面，故有

(2)當(dāng)0

因為g(x)有3個不同的零點(diǎn)x1,x2,x3，

故g(a)<0，g(e)>0.

又x1

這兩式相減并整理，得

所以當(dāng)x>1時，φ′(x)>0恒成立.

所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

又k>1，所以φ(k)>φ(1)；

同理可證φ(x)在(0,1)上也單調(diào)遞增.

又m∈(0,1)，所以φ(1)>φ(m).

所以φ(k)>φ(m).

所以ω(m)在(0,1)單調(diào)遞增.

故ω(m)<ω(1)=0.

綜上，原不等式得證.

證法2 (1)因為過(a,b)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為(xi,f(xi)),i=1,2,3，所以過該切點(diǎn)的切線方程f(x)-b=f′(x)(x-a)有3個不同的根.

因為g(t)有三個零點(diǎn)，故需滿足

所以u′(m)>0.所以u(m)

③

由③式即證

所以v(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x>1時，v(x)>v(1)=0.

所以h′(x)>0恒成立.

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以t1>t2>t3>0.

再結(jié)合g(t)在(0,1)，(m,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,m)上單調(diào)遞減，且g(t)有三個零點(diǎn)可得0

所以當(dāng)x>1時，h′(x)>0恒成立.

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(m)>h(1)=0.

綜上,原不等式得證.

點(diǎn)評(2)題的①構(gòu)造切線方程，根據(jù)此方程有3個不同的根去證明不等式成立；(2)的題②用構(gòu)造函數(shù)、分析法和導(dǎo)數(shù)去求證不等式成立，且上述兩證法都用到了比值代換轉(zhuǎn)化法.

代換法是解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題的重要方法之一，在解題中有著廣泛應(yīng)用，通過對相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行巧妙代換，能更好地揭示出相關(guān)參數(shù)之間的規(guī)律，再積極聯(lián)系所學(xué)知識從而能實(shí)現(xiàn)順利求解.