2022年全國甲卷導數題的多解、變式與溯源

張 君 李武學

(四川省溫江中學 611130)

1 試題呈現

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2，求證：x1x2<1.

2 試題分析

這道題綜合考查利用導數研究函數的最值，再利用單調性與極值求給定條件下參數的取值范圍，在此基礎上研究兩個零點之間的關系，是典型的極值點偏移問題.試題起點較低，絕大多數學生都可以拿分，但落點很高，第二問難度大，需要考生熟練掌握函數的有關性質，以及研究有關性質的基本方法和工具，并達到靈活運用的程度.對數學思想方法的考查也占很大成份，特別是對分類計論思想和轉化思想的要求很高，只會死記硬背、按套路做題不會變通的考生是做不下去的.

極值點偏移問題的解題大方向主要有兩個：構造對稱函數和減少變量轉化為一元函數問題.

3 解法探究

故a的取值范圍為(-∞,e+1].

(2)由(1)知f(x)有兩個零點的條件是a>e+1，且在(0,1)和(1,+∞)內各有一個零點,不妨設0

所以h(x)在(1,+∞)內單調遞減.

則h(x)

所以g′(x)<0.

則g(x)在(1,+∞)內單調遞減.

所以x1x2<1.

下面證明：當x>1時，ex>ex.

設s(x)=ex-ex,x>1,則s′(x)=ex-e>0.

所以s(x)在(1,+∞)內單調遞增.

故s(x)>s(1)=0，ex>ex得證.

所以g′(x)<0.

則g(x)在(1,+∞)內單調遞減.

以下同解法1.

方法3(利用同構化簡,再構造函數)

設k(x)=x-lnx，則k(x1)=k(x2).

所以m(x)在(1,+∞)內單調遞減.

故m(x)

所以x1x2<1.

方法4(減元法)由方法3,得

x1-lnx1=x2-lnx2.

所以g(t)在(1,+∞)內單調遞減.

則g(t)

所以x1x2<1.

方法5(利用同構化簡,再利用對數平均不等式轉化為一元函數問題)f(x)有兩個零點x1,x2，則e+1-a<0，得a>e+1.不妨設0

即ex1-lnx1+x1-lnx1=ex2-lnx2+x2-lnx2.

由于函數y=et+t在[1,+∞)上單調遞增，

所以x1-lnx1=x2-lnx2.

即x2-x1=lnx2-lnx1.

下面證明：(對數平均不等式)

所以f(t)在(1,+∞)上單調遞減.

故f(t)

所以x1x2<1.

4 變式

問題等價于證明：

所以h(t)在(1,+∞)上單調遞增.

所以h(t)>h(1)=0，問題得證.

5 考題溯源

溯源1(2021年新高考Ⅰ卷)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

分析(1)f(x)的單調增區間為(0,1)，單調減區間為(1,+∞).

由blna-alnb=a-b，得

則問題等價于證明：2

通過構造函數g(x)=f(2-x)-f(x)(0

本題屬于典型的極值點偏移問題，構造函數即可證明.

(1)討論f(x)的單調性；

不妨設x1x1-x2.