對2022年高考乙卷理科數學第20題的多角度探析

金 毅

(內蒙古呼和浩特市第二中學 010000)

1 試題呈現

(1)求E的方程；

2 試題探析

圖1

探析1 (常規解法)設M(x1,y1),N(x2,y2)，當直線MN的斜率存在時，其方程可設為y=k(x-1)-2.

(3k2+4)x2-(6k2+12k)x+3k2+12k=0.

所以直線NH方程為

當x=0時，可得

由上可知，直線過點(0,-2).

點評常規解法的關鍵是以點M的坐標為主，用點M的坐標表示點T,H的坐標，進而表示NH的直線方程.故常規解法的根本是要依托幾何關系找到相關點的坐標，用坐標表示方程，進而完成解答.

因為點P(1,-2)在此直線上，可得恒等式

①

②

可得直線NH的方程為

根據①，事實上

所以直線方程可以寫為

當x=0時，根據②，

所以直線過定點(0,-2).

點評本解法從橢圓的參數方程入手，首先用參數方程表示直線MN，因為點P在此直線上，所以可得到兩個恒等式，之后寫出直線NH方程，借助剛才得到的兩個恒等式，化簡了直線NH的斜率和縱截距的表達式，最后算出定值.

比較系數，可得

所以點H,A,N共線，直線NH過定點A(0，-2).

點評這個方法較好地發揮了直線參數方程的優勢，用帶有直線參數的坐標來表示向量.之后，通過對向量的運算以及比較系數，證明了向量線性表達式中系數和為1，進而證明三點共線.

(4m2+3)y2+(8m-12)y+4=0.

可得直線NH的方程為(y1-y2)x-(3y1-x1-x2)y-(x1y2+x2y1-3y1y2)=0.又x1y2+x2y1-3y1y2=(2m-3)y1y2+(y1+y2)=0.

所以可得NH通過點A(0，-2).

點評本解法的優點在于平移之后簡化了直線方程，這直接簡化了后續的計算量，比常規解法更加省時省力，解題時不妨一試.

探析5 (仿射變換)在用此方法解題之前，先給出幾個引理.為方便證明題目，引理中所涉及點與題目中的點對應一致.

引理1 過圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點P′(x0,y0)引圓的切線，切點為A′,B′，則直線A′B′的方程(切點弦方程)為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

引理2 給定一組調和點列N′,C,M′,P′，過這條直線外取一點A′，則稱射線A′N′,A′C,A′M′,A′P′為一組調和線束.

引理3給定一個圓，以及圓外一點P′，過點P′作這個圓的切線P′A′,P′B′(A′,B′為切點)以及割線P′M′N′，那么A′N′,A′C,A′M′,A′P′是調和線束，從而N′,C,M′,P′是調和點列.

引理4 給定一組調和線束A′N′,A′C,A′M′,A′P′，過點M′作M′K∥A′P′,且M′K交A′C于點T′，則KT′=T′M′.(作任一調和線束的平行線，該線被其它線束平分)

其中，引理1來自于文獻[1]，引理2,3,4均來自于文獻[2]中定義4、性質4、性質7，限于篇幅，本文不再證明.

圖2

又因為H′T′=T′M′，所以點H′與點K重合.故得到N′，H′，A′三點共線，則根據仿射變換的性質，直線在仿射后仍然為直線，所以N，H，A三點共線.

點評探析5揭示了本題的背景之一：調和點列與調和線束.如果在解決此題之前對這部分知識有相關的了解，那么解決本題時即可提前預知結論.

3 試題推廣與探析

根據探析5，我們可以看到，本題與調和點列與調和線束有關，我們將從探析5出發，研究調和線束的一些解析幾何性質.

探析6(初步推廣，探析斜率關系)

證明命題1可用探析1至4的思路來研究，限于篇幅，我們使用探析4的思路.

由韋達定理，可得

探析7(深入推廣，探析一般情形)

圖3

因為調和點列均在同一直線上，

當斜率不存在時易知結論成立，過程略.

點評命題3,4為命題5奠定了基礎，命題5將調和點列這種線段的比例數量關系逐漸轉化為斜率表達式，斜率本質是用來刻畫幾何中的位置關系的關鍵量.

分別設調和線束AN,AQ,AM,AP的傾斜角為θ1,θ2,θ3,θ4，其斜率分別為k1,k2,k3,k4，根據三角形外角關系，

所以(k2-k1)(k4-k3)=(k3-k2)(k4-k1)成立.

我們還可以得到以下類似結論，作為背景知識，以供大家參考.

4 進一步思考與總結

全國乙卷這道圓錐曲線問題以深刻的背景，清晰的表達，向我們呈現了一個圖形鮮明，解法多樣，層次多樣的數學問題.本題深刻地、綜合地考查了學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養，有較強的區分度.在平常的學習中，要特別注意對于背景結論的挖掘與反思，不能只停留在表面階段.從幾何到代數，再到算理，橫向縱向多維比較才能真正做到通一類、會一類，研究透徹一類數學問題.今后的教學應以數學問題為導向，深入挖掘，多面剖析，才能達到真正理解數學問題，提高數學能力的目的.