立足經驗生長 實現解答自然
——以一道解析幾何定值問題的教學為例

管良梁

(安徽省合肥市第四中學 233000)

解析幾何為每年高考考查的熱點內容，解析幾何的大題基本上以準壓軸題的形式出現，常與其他知識交匯命題，主要考查學生的邏輯推理能力和數學運算能力.由于解析幾何大題涉及的知識面廣、數學運算復雜等原因，導致學生在解答這類題時不知道從哪里下手.因此教師在講解這類問題時一定要立足學生的經驗，從學生最近發展區出發，使得問題的解答流暢、自然，易于學生理解.

1 例題呈現

(1)求橢圓C的方程；

(2)設橢圓C的右焦點為F，直線l與橢圓C相切于點A，與直線x=3相交于點B，求證：∠AFB的大小為定值.

①

②

又因為a2=b2+c2,

③

所以由①②③,得a2=3，b2=2，c2=1.

(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0.

由Δ=24(3k2-m2+2)=0,得m2=3k2+2.

因為右焦點F的坐標為(1,0)，

所以∠AFB=90°.

即∠AFB的大小為定值.

2 途徑嘗試

2.1 從特殊情況出發

根據題意從特殊情況出發得出一個值(此值一般就是定值)，然后證明定值，即將問題轉化為證明待證式與參數(某些變量)無關.

圖1

由勾股定理，得

所以|AF|2+|BF|2=|AB|2.

由勾股定理逆定理可得∠AFB=90°.

②當直線l的斜率存在且不為0時，設直線l的方程為y=kx+m，直線x=3與x軸交于點E，如圖2所示.以下同資料提供的解答.

圖2

綜上，∠AFB的大小為定值.

圖3

2.2 從問題結論出發

將要證明的結論用動點坐標或動線中的參數表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值.

|FB|2=4+9k2+6km+m2，

因為m2=3k2+2，

所以|FA|2+|FB|2-|AB|2

因為∠AFB∈(0°，180°)，所以∠AFB=90°.

點評解法2的思維非常簡單，因為要證明∠AFB的大小為定值，所以只需要根據已知條件計算出cos∠AFB的值為定值即可.

3 結論拓展

4 總結反思

4.1 夯實基礎知識

平時的教學要立足于課本，強化基礎知識.教師應從教材的例題和習題中尋找試題的“根”，加強基礎知識的復習，要列出具有典型性和代表性的題目進行講解分析和訓練，而且還要進行一題多變的訓練.通過對題目的式子、圖形、條件、結論、表達方式等的變化轉換，促進學生觸類旁通，鞏固基礎知識.

4.2 強化通性通法

在數學教學中，重視通性通法的使用和理解，通過通性通法揭示問題的本質.只有真正重視通性通法教學，才能使得學生抓住數學問題的本質，學生的核心素養才能得到提高.如解法1中，從直線l的斜率為0時開始研究，這樣便于學生理解.

4.3 反思解題過程

在日常的教學中教師要指導學生如何進行反思，幫助學生養成反思的習慣.教師可以和學生一起回憶問題的解答過程，找出問題所在，幫助學生分析不能順利答題的原因，提出改進方法.教師要帶領學生立足已有的經驗，從他們的最近發展區出發，思考有沒有更簡潔、更佳的解決問題的途徑.學生在教師的帶領反思中領悟方法，學會真正的反思，養成反思的好習慣.在反思中提升自我，提高解題效率.