對一道分式型二元最值問題的探究

李 寒

(貴州省貴陽市第一中學(xué) 550081)

本文通過對一道二元分式型齊二次條件最值題的探究，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1 試題重現(xiàn)

2 解法探究

解法1因?yàn)閍>0，b>0，所以

點(diǎn)評解法2首先進(jìn)行比值換元和“二層”換元，然后進(jìn)行代數(shù)恒等變換，變形出關(guān)于“二層”新元的均值不等式的結(jié)構(gòu)形式，利用二元均值不等式求解.在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，“等號”能否取到是解答的關(guān)鍵.

所以Mu2-8u+36M=0.

因?yàn)镸>0，且二次函數(shù)y=Mu2-8u+36M的圖象開口向上，

將M對u求導(dǎo)，得

所以當(dāng)00，M在(0，6)上單調(diào)遞增；當(dāng)u>6時(shí)，M′<0，M在(6，+∞)上單調(diào)遞減.

點(diǎn)評解法4是在解法2進(jìn)行比值換元和“二層”換元的基礎(chǔ)上求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解.利用導(dǎo)數(shù)求解二元條件最值問題是一種有創(chuàng)意的方法途徑.

3 試題變式

若將上面賽題中的“系數(shù)”7換為5，那么求解的情況是怎樣的呢？

（1）強(qiáng)回聲型：共計(jì)8例（其中左肺5例，右肺3例），聲像特點(diǎn)為胎兒肺內(nèi)有強(qiáng)回聲包塊，且邊界較為清晰。并且回聲的強(qiáng)度高于同側(cè)其他部分以及對側(cè)的肺組織。彩色多普勒血流顯像提示4例胎兒的病灶內(nèi)部存在體外循環(huán)血流，提示為隔離肺。

4 試題拓展