變中不變 美在其中
——以“圓錐曲線中動圓過定點”問題策略探析

林琳琳

(福建省福清第一中學 350300)

正因為圓錐曲線千變幻化，才能成就它的美，那美在哪里呢？美在撲朔迷離的變化中存在不變的性質，如定點、定值問題.

1 題目呈現

(1)建立適當的坐標系，求C的方程；

(2)A，B是C上不同的兩點，且直線AB與以OA為直徑的圓的一個交點在圓O上．求證：以AB為直徑的圓過定點．

2 題源探析

本題與2009年全國山東高考理科卷第22題如出一轍.

(1)求橢圓E的標準方程；

兩道試題的第(2)問有異曲同工之妙，都是與定圓相切的直線與圓錐曲線相交，涉及垂直條件的運用與轉化，考查了特殊與一般思想的運用.不同之處在于：高考題是已知OA⊥OB，考查能否找到一個圓心在原點的圓與直線AB相切，而省檢試題在于試題的結論變成條件，其條件變為我們要證明的結論.高考題的表征形式較為清晰明了，而省檢試題描述了點、線與圓的形態與變化過程，給學生的數學表征造成了一定的障礙.

但在解題中會發現曲線的幾個要素在變化，雖有圓的半徑、直線方程中的斜率、截距等眾多的因素干擾，但解決問題的思路是一樣的，均考查了數學表征的能力和運用特殊與一般思想解決問題的素養.

3 解法剖析

圖1

難在第(2)問，首先需對給定條件作幾何推演，找出幾何關系，再將幾何條件代數化予以求解.

角度1 因為直線AB與以OA為直徑的圓的一個交點在圓O上，所以直線AB與圓O相切．由于圓是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，則以圓的切線AB為直徑的圓過定點原點.

解析因為直線AB與以OA為直徑的圓的一個交點在圓O上，所以直線AB與圓O相切．

所以OA⊥OB.

故以AB為直徑的圓過點O．

(2)當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的方程為y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)．

(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

所以OA⊥OB.

故以AB為直徑的圓過點O．

綜上，以AB為直徑的圓過點O．

角度4 通過設而不求思想設切點M(x0,y0)，當y0=0時，直線AB垂直于x軸，得到以AB為直徑的圓過點O．

如圖2所示，當y0≠0時，寫出切線的一般形式，利用切線特征和以AB為直徑的圓過點O轉化為驗證|OA|2+|OB|2-|AB|2=0.再進一步利用圖形進行轉化得(|OM|2+|AM|2)+(|OM|2+|BM|2)-(|AM|+|BM|)2=0.

圖2

當直線AB垂直于x軸時，驗證以AB為直徑的圓過點O.

故以AB為直徑的圓過定點O．

當直線AB垂直于x軸，驗證以AB為直徑的圓過點O.

4 思想賞析

以上六個角度將解析幾何研究的基本方法和基本思想體現得淋漓盡致，其基本思路：幾何條件→代數形式→代數結果→幾何條件，即：充分挖掘幾何條件，轉化代數形式，通過代數運算得到代數結果，代數結果用幾何條件表達.最主要就是要理解問題的實質，從而建立條件與結論之間的聯系.

角度1到角度4立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉化為定點與AB的數量積為0，利用特殊到一般、數形結合、方程思想解決問題.

角度5到角度6立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉化為將AB為直徑的圓方程寫出來，利用數形結合和方程思想得到過定點.

上述哪個角度比較好呢？顯然，“AB為直徑的圓過定點”充分轉化為“定點與AB的數量積為0”運算更為簡便.若通過對角度1到角度4對比，發現：(1)如若學生利用數形結合思想可以充分挖掘幾何條件：AB為直徑的圓過定點O；(2)學生利用特殊到一般思想引領，則大大降低求解運算.

正因如此，破解解析幾何問題的基本思想是用代數手段來研究幾何問題，這里很自然需要我們充分挖掘幾何條件，將其代數化，同樣通過代數運算得到的代數形式幾何化，進而建立條件與結論之間的聯系，同時我們要樹立運用思想引領解題意識，運算就會變得簡單，解題就會揮灑自如.