從一道聯考題談不等式恒成立問題的解題策略

俞國梁

(浙江省永康市永康外國語學校 321300)

縱觀近些年的高考和各級各類模擬考，不等式恒成立求參數范圍問題越來越受命題者的青睞，已成為常考常新的問題，因此該類問題是高考備考的一大重點.從內容來看，該類試題的交匯面廣，綜合考查函數、導數、不等式等方面的知識；從考查能力角度來看，該類試題不僅可以很好地考查考生的“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)，還能考查考生的關鍵能力和數學核心素養(數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析、直觀想象、數學運算)，是展示考生能力的一個很好的平臺.但是從實際的教師教學和學生掌握情況來看，該類問題又是復習備考的一大難點.如何有效突破這一重點、難點，成為廣大一線教師在復習備考中亟待解決的一大課題，現筆者結合自身教學實踐與研究，以2021年山西省三重教育11月高三大聯考導數題為例，闡述如何突破該類問題的解題策略.

1 問題呈現與分析

(2)若對?x>0，f(x)≥lna+2恒成立，求實數a的取值范圍.

分析該題是2021年山西省三重教育11月大聯考理科第20題，第(1)問屬于常規問題，本文不再贅述，重點論述第(2)問，此問是含有參數的不等式恒成立問題，本小題綜合性強、解法靈活、難度較大，主要考查了利用導數研究函數的單調性，含參不等式恒成立求參數范圍等知識，考查了學生分析問題、解決問題的能力及轉化與化歸等數學思想，體現了邏輯推理、數學運算等數學核心素養.本文嘗試對本題的第(2)問從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

2.1 轉化為函數最值法

對于一些含參不等式恒成立問題，將不等式朝著有利于通過導數判斷單調性的方向變形，將不等式整理為一側為常數(一般為零)的形式，根據題目的量詞(?或?)，將問題轉化為函數最值與常數(一般為零)的不等關系，這是處理不等式問題最基本的通法之一.

解法1由f(x)≥lna+2，得

問題轉化為g(x)min≥0，

易知g′(x)在(0,+∞)上單調遞增.

設x1max{2,a}，

則g′(x1)<0，g′(x2)>0.

所以存在x0∈(x1,x2)使g′(x0)=0.

當0x0時g′(x)>0，則g(x)在(0,x0)上單調遞減，在(x0,+∞)上單調遞增.

即lna=x0+lnx0-2.

易知φ(x)在(0,+∞)上單調遞減.

又φ(1)=0，則0

所以lna=x0+lnx0-2≤-1.

2.2“切線”放縮法

一些含參不等式中，將指數函數、對數函數綜合考查，尤其是與ex,lnx有關的超越函數問題，若直接求導找零點(多數情況下是隱零點)，往往復雜繁瑣，此時若能巧妙運用一些“切線不等式”進行放縮，將復雜的超越函數轉化為簡單函數(以直代曲)，常常可以起到化繁為簡的效果.牢記兩個重要的“切線不等式”：①ex≥x+1(x∈R，當且僅當x=0時等號成立)；②lnx≤x-1(x∈R，當且僅當x=1時等號成立)，這兩個不等式是“切線放縮”法的基礎.

解法2(利用ex≥ex放縮)由ex≥ex，得

當0ae時，h′(x)>0，則h(x)在(0,ae)上單調遞減，在(ae,+∞)上單調遞增.

所以h(x)min=h(ae)=-2lna-2.

當x=1且x=ae時，f(x)-lna-2取最小值為-2lna-2.

故-2lna-2≥0.

當0ln(ae2)時，h′(x)>0，則h(x)在(0,ln(ae2))上單調遞減，在(ln(ae2),+∞)上單調遞增.

所以h(x)min=h(ln(ae2))=-2lna-2.

當x=1且x=ln(ae2)時，f(x)-lna-2取最小值為-2lna-2.

故-2lna-2≥0.

2.3 “同構”法

即ex-lna-2+x-lna-2≥x+lnx=elnx+lnx.

設φ(t)=et+t，則φ(x-lna-2)≥φ(lnx).

易知φ(t)為單調遞增函數.

所以x-lna-2≥lnx.

即lna≤x-lnx-2.

ex-lna-2-lna-2≥lnx.

即ex-lna-2+x-lna-2

=ex-lna-2+lnex-lna-2

≥x+lnx.

設φ(t)=t+lnt，

則φ(ex-lna-2)≥φ(x).

易知φ(t)為單調遞增函數.

所以ex-lna-2≥x.

又ex-1≥x(當且僅當x=1時等號成立)，

解法6(同構函數“xex”法)由f(x)≥lna+2，整理,得xex≥ae2x·ln(ae2x).

即xex≥ln(ae2x)·eln(ae2x).

設φ(t)=tet(t>0)，則

φ(x)≥φ[ln(ae2x)].

求導，得φ′(t)=(t+1)et>0.

則φ(t)為單調遞增函數.

所以x≥ln(ae2x).

即ex≥ae2x.

又ex-1≥x(當且僅當x=1時等號成立)，

2.4 必要性“探路”法

對一類函數不等式恒成立問題，可以通過取函數定義域中某個數，縮小參數的討論范圍，獲得初步的參數范圍，之后在此范圍內繼續討論進而解決問題.在這個定義中，“取函數定義域中某一個數”，便相當于尋找一個能使題意成立的必要條件，而題目本身要尋求的參數的取值范圍(或最值)，相當于是使題意成立的充分必要條件.因此，在找到必要條件的基礎上，只需要證明這個條件反過來能推出題意，即證明這個條件也是滿足題意的充分條件.這樣，充分性和必要性都成立，那么所求出的范圍必然是題目所尋求的參數的準確取值范圍，這便是必要性“探路”法.

解法7由f(x)≥lna+2，得

問題轉化為g(x)≥0恒成立，則

則m(a)≥ex-1-lnx-1.

又ex-1≥x且x-1≥lnx(當且僅當x=1時兩等號成立)，則ex-1-lnx-1≥0.

所以g(x)=m(a)≥0.

2.5 “凹凸”反轉法

有些不等式，將其適當變形，使之滿足兩個條件：(1)不等式變形后，不等號兩側的對應函數呈現凹凸反轉的特點；(2)兩側對應函數在同一點取最值.如不等式F(x)≥0變形為f(x)≥g(x)，f(x)為凹函數且在x=x0處取得最小值，g(x)為凸函數且在x=x0處取得最大值，問題轉化為f(x0)≥g(x0).

解法8由f(x)≥lna+2，整理,得

則當01時m′(x)>0，則m(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.

所以m(x)min=m(1)=e.

2.6 反函數法

若函數m(x)與函數n(x)互為反函數，則兩函數圖象關于直線y=x對稱，于是我們不難明白不等式m(x)≥n(x)等價于m(x)≥x(或x≥n(x)).我們又知道同底的對數函數與指數函數互為反函數，所以在解決一些同時含有指數和對數的不等式問題時，若我們能將不等式變形為m(x)≥n(x)的形式，則可以借助m(x)≥x(或x≥n(x))解題，減少運算，化繁為簡.

解法9由f(x)≥lna+2，整理,得