數缺形時少直觀 形缺數時難入微
——2022屆高三八省聯考數學卷21題的深入探究

王東海

(安徽省肥東縣城關中學 231600)

2022年高三八省聯考試卷第21題是一道新穎的解析幾何大題，它采用開放性的二選一題型，給了學生很大的自由發揮空間.主要考查了圓錐曲線方程求解、四邊形面積最值、三等分點問題，試題穩中求新，體現了考題的基礎性、綜合性、創新性，考查了學生數學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養和關鍵能力，本文從該題的解法探究入手，然后再回到課本中追本溯源，最后對此題進行一般化推廣和變式探究，以期對教學、研究、學習提供幫助.

1 試題呈現

(1)求Γ的方程；

(2)如圖1，過原點O作互相垂直的直線l1，l2，分別交雙曲線于A，B兩點和C，D兩點，點A，D在x軸同側，請從①②兩個問題中任選一個作答：①求四邊形ABCD面積的取值范圍；②設直線AD與兩漸近線分別交于M，N兩點，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點，若存在，求出直線AD方程；若不存在，說明理由.

圖1

2 解法探究

探究思路1 (1)題難度不大，略.對于(2)題，選擇①，求四邊形ABCD面積的取值范圍時，其通解通法是使用函數法，考慮利用直線AB的斜率來表示四邊形的面積.

直線l1與雙曲線Γ交于A，B兩點，故3-k2≠0,且Δ1=12(3-k2)>0.所以k2<3.

根據對稱性可知四邊形ABCD為菱形，其面積

所以SACBD∈[6,+∞).

探求思路2 如果不建立面積關于直線斜率k的函數，也可以選擇用點的坐標來表示面積，即采用點驅動的方法，也可以處理此題.

解析2 不妨設點A，D在x軸上方，設A(x1,y1),C(x2,y2)，則x1>1,y2<0.

所以四邊形ACBD面積

所以S2=(2|x1y2-x2y1|)2

所以S≥6.

故四邊形ACBD面積的取值范圍為[6，+∞).

探究思路3此題還可使用齊次化法，從而構造出兩條直線的斜率，利用垂直得到關鍵等式.

(3m2-3)x2+(3n2+1)y2+6mnxy=0.

①

易知A，D的坐標(x1,y1),(x2,y2)是方程①的解，將①式左右兩邊除以x2，得

②

即SACBD∈[6,+∞).

探究思路4此題兩條直線都經過原點這個定點，故考慮利用直線參數方程來求弦長.

解析4設直線AB的參數方程為

聯立雙曲線方程，可得

因為AB⊥CD,故同理可得

所以16sin2αcos2α=(2sin2α)2∈(3,4].

所以SACBD∈[6,+∞).

探究思路5題中直線AB和直線CD都經過原點，這里還可使用極坐標方程來求弦長.

3 追本溯源

這道八省八校解析幾何大題使用的方法多樣，其實課本早有鋪墊，它嚴格地貫徹了源于教材，高于教材的命題原則.它與人教版選修4-4中第15頁習題有著很大的相似性：

已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a,2b(a>b>0)，A,B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB.

(2)求△AOB面積的最大值和最小值.

由此啟發我們在教學中要回歸教材，一要讓教材和教輔資料各盡其責、物盡其用，防止本末倒置；二要重視教材中在知識發生和發展中呈現的那些經典的思維模式；三要注意挖掘教材中例題習題背后廣泛而深遠的意義，提煉更深層次的公式和結論，使學生深化相關知識.

4 推廣探究

經深入思考，通過縱向、橫向和逆向的方法進行探究，得到此試題有如下拓展推廣結論：

故SACBD=4S△OAD=2ρ1ρ2

證明由結論2證明知

而在△OAD中由面積法知

證明設直線AB的參數方程為

(b2cos2θ+a2sin2θ)t2+2cb2cosθ·t-b2=0.

因為0≤sin22θ≤1，

5 鏈接高考

題1 (2016年高考全國Ⅰ卷理數20題)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過點B作AC的平行線交AD于點E，設點E軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過點B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

綜上所述，解析幾何綜合題通常基于幾何性質或定理出發，通過特殊化，變更條件和結論來命題，特別對橢圓和拋物線的對偶性質，教師要挖掘問題的本質和內涵思想方法，要研究習題的變式推廣，發展學生思維；要研究一題多解，培養學生的創新意識.