一道2021年安徽省冬季聯賽題的解法探究與推廣

欒 功

(廣西南寧市第三中學 530021)

1 試題呈現

(1)求橢圓C的標準方程；

試題第(1)問考查了橢圓的長軸、離心率等簡單的幾何性質，體現了試題的基礎性；第(2)問以圓錐曲線共軛弦性質為背景設置了與動直線有關的定值問題，綜合性強，對學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等素養有較高要求，值得深入探究.

2 解法探究

則x1+x2=-2t，x1x2=2t2-4，Δ=4t2-4(2t2-4).

由于直線l與橢圓C相交于A,B兩點，因此Δ>0，即t∈(-2,0)∪(0,2)，此時，直線PA,PB的斜率都存在，所以，要證tanα+tanβ=0，即證kPA+kPB=0.

所以(1-y1)(2-x2)+(1-y2)(2-x1)=x1x2+(t-2)(x1+x2)+4(1-t)=0.

所以kPA+kPB=0.即tanα+tanβ=0.

點評證法1把待證問題轉化為求證兩直線PA,PB斜率之和為0，從而幾何問題通過坐標運算轉化為代數問題，既展示了坐標法的魅力，又體現了數形結合的思想.繼續探究，如圖1，發現當Δ=0時，t=-2或t=2，此時直線l與橢圓C相切，點P坐標為(-2,1)或(2,-1)，直線l的斜率與橢圓C在點P處的切線的斜率互為相反數，這一發現為進一步探究試題本質提供了思路.

圖1

證法2 設直線PA的參數方程為

(1+3sin2α)t2+4(cosα+2sinα)t=0.

即2(yB-yA)=xB-xA.

所以tB(2sinβ-cosβ)=tA(2sinα-cosα).

化簡,得sin2α=sin2β.

由于0<α<π，0<β<π，且α≠β，所以α=π-β.

從而tanα+tanβ=0.

點評證法2從直線PA與PB的傾斜角入手，自然聯系到應用直線的參數方程解題，亮點在于對坐標的處理，借助參數的意義和三角恒等變換，整個運算過程一氣呵成，簡潔明了.

整理,得x′2+4y′2+4(x′+2y′)=0.

設直線AB的方程為mx′-2my′=1，

代入上式,得

x′2+4y′2+4m(x′+2y′)(x′-2y′)=0.

即(1+4m)x′2+(4-16m)y′2=0.

兩邊同時除以x′2,得

①

點評證法3通過平移變換巧妙地把橢圓上的定點P轉化為坐標原點P′，變換后兩直線P′A′,P′B′的斜率恰好是點A′,B′的坐標比值，從而通過齊次化處理，把兩直線斜率之和問題轉化為韋達定理根與系數的關系，解答簡潔明了，相比通性通法中運算量大的特點，平移變換后齊次化處理很大程度上避免了繁雜的運算，是解答過定點兩條動直線斜率之積、之和問題的利器.

②.

(x+2y-4)(x-2y+m)=0.

③

切線x+2y-4=0上任取異于點P的一點，不妨取x=0，y=2代入②得

λ=-(1+2k1)(1+2k2).

比較方程②③中x2，y2的系數,得

從而k1+k2=0.即tanα+tanβ=0.

點評證法4“曲線系方程法”相比前面證法，站在更高的觀點，為我們解決這類解析幾何問題提供了新視角，但也有一定的局限性，在具體的解題實踐中，還需根據自身實際，選擇適當的方法.

3 推廣探究

著名數學教育家G·波利亞說“分解和重組是思維的重要活動”，因此我們有必要深入到試題的細節中去，通過逆向變換，亦或者改變曲線背景提出新的問題，以探究試題內在規律，培養學生思維品質.

由kPA+kPB=0,得

分別整理,得

4y1y2+4y1-4y2=x1x2+2x1-2x2.

④

4y1y2+4y2-4y1=x1x2+2x2-2x1.

⑤

④-⑤,得8y1-8y2=4x1-4x2.

當直線PA,PB的斜率互為相反數時，我們發現直線AB的斜率與橢圓C在點P處的切線的斜率互為相反數，也就是說點P的位置唯一決定了AB的斜率，反過來AB的斜率也唯一決定點P的坐標.

則變換后的橢圓方程為

整理,得b2x′2+a2y′2+2x0b2x′+2y0a2y′=0.

設直線AB的方程為mx′+ny′=1，

代入上式,得(b2+2mx0b2)x′2+(a2+2ny0a2)y′2+2(nx0b2+my0a2)x′y′=0.

(a2+2ny0a2)k′2+2(nx0b2+my0a2)k′+b2+2mx0b2=0.

⑥

由題意知，kP′A′,kP′B′是方程⑥的兩個根，且kP′A′+kP′B′=0，故nx0b2+my0a2=0.

變式2 如圖2，點P(x0,y0)(y0>0)為拋物線C:y2=2px(p>0)上一定點，A(x1,y1)，B(x2,y2)為拋物線C上兩動點，若直線PA與PB斜率存在且互為相反數，求證：直線AB的斜率是非零常數.

圖2

⑦-⑧,得(y0-y1)(y0+y1)=2p(x0-x1).

即有y1+y2=-2y0.

⑨-⑧,得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).

則變換后的雙曲線方程為

整理,得4x′2-y′2+16x′-4y′=0.

⑩

設直線l′的方程為px′+qy′=1(其中p=4q)，代入⑩式,得

4x′2-y′2+(16x′-4y′)(px′+qy′)=0.

即(4+16p)x′2-(1+4q)y′2=0.

兩邊同時除以x′2,得

由于平移變換后點Q的坐標變為Q′(0,0)，故kQ′A′，kQ′B′是方程的兩個根.

由于平移變換下不改變直線的斜率，

所以k1+k2=0.

推廣2 設點P(x0,y0)是對稱軸平行于坐標軸的定圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線)C上一定點，A,B是C上兩個動點，若直線PA，PB的斜率互為相反數，則直線AB的斜率存在時為定值，等于曲線C在點P處切線的斜率的相反數.

推廣2也稱為圓錐曲線共軛弦性質，以其為背景命制的高考試題和競賽試題屢見不鮮，像這樣通過挖掘改造著名數學問題來命題已成為近年高考數學圓錐曲線壓軸題命制的新趨勢，這也啟示一線教師在教學中應充分利用這些素材，引導學生探究試題解法，剖析試題本質，從而培育學生的思維品質，落實學科素養.