淺談新高考背景下的函數同構備考

劉晨凡

這幾年以來，高考試卷中對函數中特別是導數的同構類型考得是越來越多，比如2020全國Ⅰ卷12題，2020全國Ⅱ卷11題，全國Ⅲ卷的12題，都考查了同構式，2020山東卷21題也可以用指對同構的方法解答。

并且，各個省份地市的各種模擬考試對同構式也是多有偏愛。比如，2021年八省聯考第8題，湖北3月八市聯考第8題，都考查了同構式。因此基于同構式子的探討分析就尤為重要。探索同構式子中的常考問題——指數型函數與對數型函數的同構，對解決指對型含參并且不可分離參數的不等式問題，以及不等式或等式或函數恒成立之類求參數取值范圍的，或證明不等式，都能帶來極大的便利。

不過現實的情況是：一些學生仍然覺得題目很陌生，好像從沒做過類似的題型，不知從何入手。因此在平常的復習備考中，要培養學生善于總結方法，體會問題的本質，做到一題多角度解答，從一個題目靈活多變，生成其他題，多個題目殊途歸源用同一種解法，反復訓練中提升學生創新思維的能力，轉化化歸的能力，突出邏輯推理，不斷與新高考進行接軌，強化學生內在數學素質。如今高考命題對情境設計有很大的提升，傾向于在現實的基礎上對事實材料進行加工，知識從生活中來，也要走入生活中去，不能脫離現實，強調不能死記硬背和盲目的“機械刷題”現象。并努力把創新思考的思維和個人自學的學習能力考查方方面面滲透進命題的全過程，既要“重思維”，也要“重應用”，更要“重創新”，這樣的指導理念才能使學生從單純的解答型應試轉變為能力型選手。

高考數學不僅是十二年來從課本上學習的知識的較量，也是考生的心理素質心理穩定和考試技巧考試耐力的比拼。如果想要在緊張的高考中獲得良好的成績，不僅要取決于是否掌握了扎實的數學基礎知識，是否掌握了熟練的基本技能以及是否擁有出色的解題能力，還可能取決于臨考前的身體健康狀況、心理健康狀況和考試臨場發揮。所以考前的充分復習準備是相當重要的，例如同構題型的熟練程度，同時含有指數形式和對數形式并且含參的題型很有可能用到同構形式，必須要對相關條件進行進一步變形，或配湊常數系數，或添加項。

一、 基礎部分

什么是同構？簡單地說一個方程或不等式中出現兩個變量時，左右兩邊移項或左右兩邊增刪某些量，使得改變之后左右結構一樣，進而利用左右邊中明顯可以構造出函數的特征去重建一個函數，再利用新建函數求出單調性，最后把方程或不等式變成能求解或能比較的形式。

(2020·新課標卷Ⅱ文數·12)若2-2<3--3-，則

( )

Aln(-+1)>0 Bln(-+1)<0

Cln|-|>0 Dln|-|<0

將已知2-2<3--3-按照“左右兩邊移項或左右兩邊增刪某些量”的目標變形，然后使用新建函數的單調性本題可解。

由2-2<3--3-移項變形為2-3-<2-3-。

設()=2-3-，

可知()是增函數，故由2-3-<2-3-，可得<，所以->0?-+1>1，從而ln(-+1)>0，故選A。

將含和含的各一邊放一起，觀察到其結構是一致的，很明顯是同一個函數的兩個不同變量構成的，借助構造出來的函數單調性來求解。

(2020·新課標Ⅰ理數·12)若2+log=4+2log，則

( )

A>2B<2

C>D<

∵4+2log=22+log=22+log=22+log2-1，

∴2+log=22+log2-1。

設()=2+log，利用作差法結合()的單調性即可得到答案。

∵4+2log=22+log=22+log=22+log2-1，

∴2+log=22+log2-1，故2+log<22+log2。

設()=2+log，則()為增函數，

所以()<(2)，所以<2。

()-()=2+log-(2+log)=22+log-(2+log)=22-2-log，

當=1時，()-()=2>0，此時()>()，有>；

當=2時，()-()=-1<0，此時()<()，有<，所以C、D錯誤。

故選B。

基本策略是：“左右形式相當，對比明顯，容易新構建一個函數”，最后再使用新的構建函數判斷出單調性再解題。

若+ln=2+ln，則

( )

A<2B>2

C>D<

又由+ln=2+ln，必有()<(2)，即<2，

故選：A。

二、 進階部分

二輪導數章節復習之后不一定要做到面面俱到，而是要把握重點、聚焦難點、力求突破難點。導數章節中主要復習解決不等式恒成立求參數的取值范圍、證明不等式的一種思路：指對函數同構。通過對指對函數同構問題的多級設計，實現知識的層層解析，思維的步步深入，方法的自然遷移。教學過程中，引導學生面對新問題時主動聯想已解決問題運用的各種策略，通過觀察、判斷、分析、比較尋得新問題的解決方法。在問題的逐級遞進中，讓學生逐漸領悟解決該類問題常用的思想方法，并在此基礎上優化方法，從而讓學生活用知識，升華思想，提高能力。通過習題的訓練，讓學生學會識別題目的類型、聯想方法，在各種不一樣的函數情境中看破題目考查的本質，尋找解題的規律，“以不變應萬變”。

新高考數學不僅在題型上，也在試卷結構上進行了創新性的改革，新加入了多選題型及結構不良的試題。新增的多選題，絕對是改革的一個亮點，為不同學習能力水平的同學開了個新視界，按能力需求分配時間，也按能力水平高低考核到各個層次的同學。高考數學中引入了結構不良試題，如果將指對同構放入結構不良問題中就能夠更有效地考查學生建構解釋數學問題的能力和分析問題能力。結構不良問題中，學生處于絕對主體的地位，自己掌控要讓哪些成為條件哪些成為結論，對數學理解能力和數學探究能力的考查是十分積極并且深刻的。

所以在復習的過程中，要將新題型與同構函數相結合，知識點的考查更靈活多變，按照新高考的要求，在復習備考中要指引學生將問題歸類，識別題目的類型、聯想方法，歸納方法，注重每個題目與其他題之間的關聯，在各種函數的不同設計情境中看破題目考查的本質，從而在數不勝數、無窮無盡的數學題目中找到突破的方法，用恰當的、最優的構造函數的方法解決問題。

指對函數同構式到底是什么？同構式是來自指對超越不可解的問題，+與+ln的方程或不等式屬于超越方程超越不等式，而+ln更是屬于超過了一般高中的函數，所以正常處理這類函數問題，在高中課堂沒有解決它的通式通法，只能通過隱零點替換來化簡，就是利用、、ln三者之間相互變換，即=ln，=ln簡化了分析，最后才得以計算求解。

同構式能解決什么問題？

同構式是一種超越的復合函數，也就是復合函數如果能解決的，構建了同構形式也能解決。在高考中出現的參數范圍、零點個數或證明不等式，都能利用復合函數的性質，來快速解題。

同構式怎么構造？如何選取函數？

同構式需要先構建一個從變形的左右邊形式一樣的函數，我們暫時稱為外函數，這個函數要做到：①指對數超越形式；②最值容易求得，函數單調性易證易得。

必須知道的前期知識：

常見同構式：

ln與型：ln=lnln，=ln；+ln與+型：+ln=ln+ln，+=ln+。

( )

則()>()，

當∈(0，1)時，″()<0，當∈(1，+∞)時，″()<0，

∴′()=′(1)=2>0，所以()在(0，+∞)上單調遞增，

當∈(0，)時，′()>0，()單調增，

當∈(，+∞)時，′()<0，()單調減，

故選：A。

三、 結構不良新題型

已知函數()=-ln(+2)+ln-2，

(1)若()在=0處取得極值，求的值及函數的單調區間。

(2)請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標好選擇。如果多寫按第一個計分。

①若()≥0恒成立，求的取值范圍；

②若()僅有兩個零點，求的取值范圍。

(1)略

(2)若選①：

因為()≥0恒成立，則-ln(+2)+ln-2≥0恒成立，

整理可得+ln++ln≥ln(+2)++2恒成立，

即+ln++ln≥ln(+2)+ln(+2)恒成立，

令()=+，

則(+ln)≥(ln(+2))恒成立，

因為′()=+1>0恒成立，

則()為單調遞增函數，

所以+ln≥ln(+2)恒成立，即ln≥ln(+2)-恒成立，

令()=ln(+2)-，<-2，

當-2<<-1時，′()>0，則()單調遞增，

當>-1時，′()<0，則()單調遞減，

所以()在=-1處取得極大值，即最大值(-1)=1，

故ln≥-1，解得≥，

所以的取值范圍為[，+∞)；

若選②：

因為()僅有兩個零點，即-ln(+2)+ln-2=0在(-2，+∞)上有兩個根，

整理可得+ln++ln=ln(+2)++2，

即+ln++ln=ln(+2)+ln(+2)，

令()=+，

則(+ln)=(ln(+2))，

因為′()=+1>0恒成立，

則()為單調遞增函數，

所以+ln=ln(+2)，即ln=ln(+2)-在(-2，+∞)上有兩個根，

令()=ln(+2)-，<-2，

當-2<<-1時，′()>0，則()單調遞增，

當>-1時，′()<0，則()單調遞減，

所以()在=-1處取得極大值，即最大值(-1)=1，

要想ln=ln(+2)-在(-2，+∞)上有兩個根，

只需ln<1，解得0<<，

所以的取值范圍為(0，)。

和上面講的相吻合，引入了結構不良試題，學生處于絕對主體的地位，自我掌控要解決問題的方向，因勢利導，順勢而動，這對數學理解能力和數學探究能力的考查是十分積極并且深刻的。

四、 高考真題再現

(2020年新高考山東卷21)已知函數()=-1-ln+ln。

(1)當=時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若()≥1，求的取值范圍。

解：(1)當=時，()=-ln+1，

∴′(1)=-1，

∵(1)=+1，

∴曲線=()在點(1，(1))處的切線方程為-(+1)=(-1)(-1)，

(2)方法一：由()≥1，可得-1-ln+ln≥1，即-1+ln-ln+ln≥1，

即-1+ln+ln+-1≥ln+=ln+ln，

令()=+，則′()=+1>0，∴()在上單調遞增，

∵(ln+-1)≥(ln)，∴ln+-1≥ln，

即ln≥ln-+1，令()=ln-+1，

當>1時，′()<0，函數()單調遞減，∴()≥(1)=0，

∴ln≥0，∴≥1，

故的范圍為[1，+∞)。

又因為函數=ln在(1，+∞)單調遞增，

方法一用到了上文同構中的和差型，方法二用到了上文同構中的積型中=ln的形式。兩種解法對比下來，可以明顯地看到指對同構在處理這類問題時的確有獨到的地方，另外，本題還有其他的解法，就不一一展示了。

構建指數對數型函數解析式有靈活的技巧，對學生各種能力的考查要求都很高，比如觀察、變形，因此，在復習備考教學中，必須熟練掌握幾種常見的同構函數式和三種常用模型，更要注重從本質上讓學生領會，透過題目表面看出實質，并能配湊系數常數。

新高考復習備考中要遵循課程標準，一輪抓基礎，步步為營，穩扎穩打。落實各種基礎能力，在復習指對同構題型的設計上，在基礎扎實的二輪復習上再去提高，做到學有余力，學而不亂體系清晰，不盲目的拔高學生的需求，在立德樹人中提升學生高考數學的素養。

高考改革后數學考試就統一文理不再分科，也關注高校對中學生人才的選拔的要求和數學在中學人才培養中的作用。依據《新高考過渡期數學科考試范圍說明》，科學的設計考試考查的內容，并將這部分內容確定為過渡時期的高考數學考查內容。新高考Ⅰ卷的試題全面貫徹了新高考數學中的考試內容要求。對高校而言，希望能招收到合作互助型的學生，這就強調了學生在日常的學習中也需要相互交流和合作探究，要鼓勵他們窮于探索，敢于探索，用自己的思維來思考觀察這個世界，培養他們果敢的毅力，合作交流的團隊精神，歸納反思的良好習慣。