明明是110°，如何會量成70°

文|強震球

【問題凝視】

教學完“角的度量”第1 課時，學生練習用量角器量角。把量角器的中心點對準角的頂點，角的一條邊對準量角器的“內圈0 刻度線”，另一條邊正好既對著內圈刻度110，又對著外圈刻度70，不少學生把這個角量成70°。

【成因透視】

“角的度量”這一內容，歷來是小學數學教學的難點。通常，教師把這一內容的教學界定為“技能訓練課”，在這個界定之下，教師往往先簡單地介紹量角的單位“度”，然后組織學生認識量角器的各個部分，最后在學生熟記量角“對點、對邊、讀刻度”的三大步驟的前提下，組織學生進行大量的技能訓練。雖然訓練花了大量的時間，但是學生學習的結果卻并不理想，問題主要集中在兩個方面：一是量角器的擺放，二是利用內外圈的刻度正確讀出角的度數。經過對難點的成因進行深入思考和分析，筆者認為造成學生學習困難的原因是兩個“不明”：

一是學生對于量角器的本質不明。首先，從本質上說，量角器是測量單位的集合，是單位小角的集合。但是由于量角的基本單位“一度的角”實在太小，因此在量角器上難以反映，量角器的制作者一般都把量角器中的一度分割線去掉大部分，只留下沿著圓周的一些刻度。把量角器作為現成產品介紹給學生，教學時空上雖然通暢和快捷，但由于學生對量角器的結構特點不甚理解，學生認識量角器會顯得比較突兀，學生不理解量角器上為什么會有那么多的小格，為什么要標里一圈外一圈的刻度。也就是學生很難理解“量角器就是單位小角的集合”。其次，學生已經學習的度量工具中有的沒刻度，有的有刻度；有的只有單向刻度，有的有雙向刻度，“尺”上只有單向刻度，是因為“尺”的擺放與讀數比較容易；“方格紙”上沒有刻度，是因為稍大一點的面積可以借助計算得到；用量角器量角時，如果只有單向刻度，量不同朝向的角的大小時不方便，因此不得不加上兩圈刻度，學生對此也不理解。我們認為：量角器的高度簡約化、高度智慧化、高度截面化和學生已有經驗之間的矛盾使得學生對于量角器本質的理解產生了障礙。

二是學生對量角方法的本質不明。無論是長度、面積、體積、重量、角度的度量的本質都是用基本單位與當前所測量對象進行比較。例如，測量面積就是把被測量對象與單位面積進行比較，被測量對象中含有多少個面積單位它的面積就是多少；而量角的本質是看被測量的角中包含多少個單位角。正由于學生對于量角器的本質不明，所以學生對于量角方法的本質的理解也就造成了障礙。兩個原因相比較，第一個原因是主要原因。

【出路審視】

一、從“揭示本源”入手，設計教學策略

量角器的本質是“單位小角”的集合，角的度量的本質是看被測對象中含有多少個“單位小角”，促使學生對這兩個本質充分而深刻地理解是上好這節課的邏輯基礎。

1.明確量角的單位是“單位小角”。

筆者首先設計了“利用大小相同的小角，比較∠1、∠2 這兩個角的大小”這個教學環節；在此基礎上得出“利用大小相同的小角”的優越性：不僅能比出角的大小，而且可以比出到底大了多少。這樣設計事實上明確了量角的單位是“單位小角”，而且用量角器量角的方法的雛形已經悄然而出。

需要指出的是：本環節非常重要，但是用“1 度”小角來作為單位角在制作和操作上都非常不便，因此我們選擇了“10 度”的角作為“單位小角”。

2.明確量角器是“單位小角”的集合。

在教學過程中筆者專門設計了一個把單位小角合并成為半圓的過程。通過這個過程，一個“簡易量角器”就完全形成了，更重要的是突出了量角器與“單位小角”的內在聯系。

3.強化用“簡易量角器”量角的方法。

教學過程中筆者特意安排學生用“簡易量角器”測量了三個角的大小。

“簡易量角器”與“成品量角器”相比具有線條稀便于數、無刻度只能數、無缺省可以數的三個特點，正因為有此三個特點，所以用“簡易量角器”學習量角就有了非常大的優勢，一是方法容易學會，二是能夠突出“量角器”和“量角方法”的本質，三是有效地化解了難點。

4.“簡易量角器”漸變為“成品量角器”。

在引出“成品量角器”的過程中，筆者不是一步到位，而是逐漸形成，經歷了下面五個階段。

每次“漸變”都賦予其“現實需要”，“漸變”和“現實需要”可以促使學生理解知識的來龍去脈，便于其知識和方法的自然遷移，不斷調動學習的積極性，感受到當前學習的“現實價值”。

二、從“經歷過程”入手，建構動態課堂

1.由角的大小的意義引出可以用單位角來度量角的大小。

（1）利用活動角的變化復習角的大小指的是角的兩條邊叉開的大小。

（2）利用活動角比較兩個角的大小。

（3）利用單位小角比較兩個角的大小。

（4）比較“利用活動角比較”和“利用單位小角比較”兩種方法，指明后者的優勢。

本環節激活了舊知——角的大小的含義和用活動角比較角的大小的方法，通過學生的討論與操作，引出用小角來比較的方法，量角器的本質是單位角的集合，讓學生悟出用小角測量的可行性與操作要點，為學生理解量角的原理打下堅實的基礎。

2.由單位小角的使用的不便引出要把單位小角合并為半圓工具。

（1）設疑：我們能不能想個辦法，既保留小角比得精確的優點，又改進操作麻煩的缺點，讓這些小角用起來更方便呢？

（2）練習：用“簡易量角器”測量三個角的大小。（其中第三個角測量不出整數結果，用以引出單位角還要細分）突出反映了量角器的本質——單位角的集合，強化了用“簡易量角器”測量角的大小的方法。

3.由這種半圓工具度量不準確引出要把單位小角分得更細些。

（1）設疑：第三個角測量不出整數結果，怎樣才能知道比較確切的結果？

（2）教學1°。

（3）演示：把上面工具簡單化。

（4）呼應：測量第三個角的準確結果。

4.由細分后的半圓工具讀數不便引出要加刻度，進而引出兩圈刻度。

（1）左面這個角多少度？從哪邊數起？從而引出要加第一圈刻度。（圖略）

（2）右面這個角多少度？從哪邊數起？從而引出要加第二圈刻度。（圖略）

（3）完整認識量角器。

（4）讀刻度的專項訓練。（圖略）

本教學環節特別重視用真實、強烈的問題情境引導學生感悟出必須加兩圈刻度，到此時一個完整的量角器已經形成，順勢引導學生完整認識量角器，然后進行讀刻度的練習。

5.完整總結量角方法，進行相應練習。

（1）學生自己量出一個角的大小。

（2）由學生總結測量方法。

（3）量角練習。

【片斷重構】

片斷一：探索角的度量方法，把握量角工具的基本特點

1.用同樣大的小角（10°角）來比較兩個角的大小，激發學生度量角的需求。

師：老師這兒還有一樣材料，看，這是一個小角（手勢，出示一個小角），用這么多大小一樣的小角（出示一些小角），可以比出∠1 和∠2 哪個大嗎？

生：能。

師：究竟怎樣比呢？哪個小組的同學到臺上來試一試？（指名一組演示）

師：同學們，你們想不想也來親自動手比一比啊？

師：這些材料就裝在每個小組的1 號信封袋里，趕快把它打開，在小組長的帶領下開始活動。（學生小組合作活動，教師指導）

師：同學們，我們一起來看黑板，你們也是這樣擺的嗎？

生：是。

師：擺這些小角的時候要注意些什么呢？

生：小角的共同頂點要和∠1 和∠2 的頂點重合；（教師配手勢）擺第一個小角的起始邊要和∠1 和∠2的一條邊重合。（小角和小角要靠緊）

師：這兩個角誰大？

生：∠2 大。

師：你們又是怎么看出來的？

生：∠1 里面正好有3 個小角，∠2 里面正好有4個小角，∠2 比∠1 多了一個小角。所以∠2 大。

師：真好！同學們，前面的實踐告訴我們，用活動角可以比出這兩個角的大小，用這些大小一樣的小角我們不僅可以比出∠2 比∠1 大，而且還發現了什么？

生：∠2 比∠1 大了一個小角。

師：這樣就比得更加（停頓）精確了。如果用活動角來比，能一下子做到嗎？

2.啟發學生把單位小角拼成半圓，構造最簡單的量角工具。

師：不過啊，用小角一個一個來比比較零散，操作起來也不方便。我們能不能想個辦法，既保留小角比得精確的優點，又改進操作麻煩的缺點，讓這些小角用起來方便些呢？

生：把小角拼起來。

師：把小角拼起來，這個辦法好不好？（好）真妙！就聽大家的意見，我們選擇一些小角來拼一拼。同學們看，拼成了一個什么圖形呀？（動畫演示）

生：半圓形。

師：仔細數一數，這個半圓里有多少個一樣大小的小角呢？

生：18 個。

師：我們用來拼的小角比較特別，用18 個這樣大小一樣的小角正好拼成了一個半圓。這兒有一個角，你能用這個18 等份的半圓工具來量一量嗎？（投影一個50°的角）仔細看，這一點（教師指）就是這個半圓工具的中心點，中心點就是這18 個小角共同的頂點。誰來試一試？

3.用半圓工具度量角，初步把握量角要點。

師：用這個半圓工具量角時要怎么擺呢？

生：中心點要和角的頂點重合，這個半圓工具的一條邊要和角的一條邊重合。

師：這個角多大？

生：它有5 個小角。

師：對，它正好包含了5 個小角。

師：你想用這個工具來量幾個角嗎？練習一有3個角，請大家拿出2 號信封袋里這個工具來量一量。（學生活動）

片斷二：優化量角工具，認識量角器

1.優化量角工具。

（1）細分半圓工具。

師：這多出來的一點點不滿這么大的一個小角，（手勢）到底是多少呢？同學們知道嗎？

生：不知道。

師：有沒有什么好辦法讓大家都知道呢？小組內一起商量商量。

生：（小組討論）把小角分得更細一點。

（2）認識1°的角。

師：大家的意思，就是用這個小角來量還太大，要將每一個小角分得更加小一些是嗎？多么有創造性的想法啊！同學們，為了更加精確地量出角的大小，我們就把半圓工具里的每一個小角再平均分成10 份，變成10 個小小角。請大家仔細觀察，一個小角被平均分成10 個小小角，想一想，整個半圓被平均分成了多少個小小角呢？（動畫演示）

生：180 個。

師：你是怎么知道的？

生：18×10=180。

師：我們將半圓平均分成了180 份，每一份是一個小小角，這每一個小小角的大小就是1 度。這是一個小小角，它的大小就是1 度。“度”是計量角的單位，用符號“°”表示，1 度記作1°。

師：伸出你的小手，我們一起來寫1°。

師：這個角是1°，這個角呢？這個角還是1°。整個半圓工具上有多少個1°角啊？

生：180 個。

師：180 個啊，看上去密密麻麻的，為了讓它更加簡約美觀，我們把它簡化一下，變一變，再變一變（動畫演示），現在清楚多了吧！

（3）認識幾度的角。

2.認識內、外刻度線。

師：屏幕上的這個角，你能讀出幾度嗎？（屏幕顯示）

生：能。（自由數）

師：我們從哪邊數起啊？誰能把數的方向來比劃一下？

師：這樣比劃對嗎？我們一起用手勢來比劃一下。（教師示范，學生學習）

師：數數看，是幾度？

生：55°。

師：再來看一個角，從哪邊數起？怎么數？我們也一起用手勢來比劃一下幾度呢？

生：125°。

師：有沒有什么好辦法，讓大家一眼就能讀出一個角的度數呢？

生：給180 等份的工具標上刻度。

師：同學們聽到了嗎，覺得這個辦法怎樣？（好）太有智慧了，掌聲送給他。讓我們一起來給它標上刻度。

師：剛才我們是從哪里開始數的？（學生指）開始數起的地方就標上0°，這里標幾度？（10°）接下來標幾？……一直標到180°為止。

師：現在你能一眼就讀出這個角是幾度了嗎？（顯示50°的角）

生：50°。

師：多快！這個角呢？（反向顯示30°角）

生1：150°。

生2：30°。

師：到底是150°還是30°呢？

生3：30°。

師：說說你的想法？

（學生說，課件涂色陰影顯示）

師：剛才錯讀成150°的同學明白了嗎？

師：那30°能從這圈刻度上直接讀出來嗎？

生：不行。

師：如果也能一下子就讀出來多好，怎么辦？

生：再標上一圈刻度。

師：你們認為呢？我們從哪里開始標起？

3.認識量角器。

師：同學們，屏幕上展現的就是我們現在專門用來量角的工具，叫作量角器。（教師完整介紹量角器，介紹中心點、零刻度線及內、外圈刻度）