設計思維可視化作業 提升數學建模素養

江蘇省無錫市堰橋高級中學 胡謝芳

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱“《課標》”）指出，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養；是將實際問題數學化，用數學思想、方法和知識來解決實際問題的過程，是數學應用的重要形式。數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。

數學建模和一般數學題的解法是不一樣的，我們講數學建模實際上是情境化命題的方式。學生對情境化命題的解答易有畏懼心理，隨著高考新方案的實施，情境化命題的題型也更多樣化，這無形中給學生帶來更多的挑戰。因此，筆者認為，在日常教學中應引導學生靈活運用數學方法，設置可視化作業，提升學生數學建模的素養。

一、可視化定向錘煉解題思路

（一）基于簡單建模階段的可視化作業

隨著新方案的實施，高考題型已經有四大類：單項選擇，多項選擇，填空和解答題。筆者認為，平時作業的設置應注意小題解題思維的可視化。

在日常教學中，對于這類實際問題，學生很容易分辨屬于數學概率問題。若在平時作業中，筆者會要求學生將分析過程用思維導圖標注出來。

這屬于簡單建模階段的情境問題，學生可以直接套用基本數學模型，利用思維導圖可以幫助學生分析問題，厘清思路，從而直接借助或引用數學知識解決實際問題。

（二）基于基本典型建模階段的可視化作業

這一階段對學生的要求相對提高，需要學生在熟悉的情境中發現問題并將其轉化為數學問題；能夠選擇合適的數學模型來解決實際問題，而這一類數學模型通常是我們熟悉的基本函數模型。這就要求我們在日常教學中，要引導學生對一些基本數學模型進行一一歸納。例如，指數函數、對數函數、冪函數和數列模型可以解決增長率、利率等問題；函數、不等式模型可以解決最值問題；二次曲線、圓錐曲線等模型可以解決衛星軌跡、拱橋等與軌跡相關的問題。因此，該階段的作業設置，需要學生明確解決何種問題，大概需要哪種基本的數學模型。

如：某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲之和最小，則x的值是____。

此題學生可以明確與不等式、函數有關，因此需要建立數量關系。作業中學生若將思維過程體現出來，也可提升正確率。

作業的思維導圖可以更好地幫助學生從實際問題出發，運用合適的數學模型、明確的數學知識解決問題。

因此，當分配因子λ1、λ2、λ3滿足上述條件時，相比分散決策下各決策主體的利潤，集體決策下經過協調后的制造商、零售商、物流服務集成商以及物流服務提供商的利潤均實現了帕累托改進，同時產品供應鏈的利潤與物流服務供應鏈的利潤也實現了帕累托改進。

以上兩個階段的要求，相當于《課標》中的數學建模水平一，在高考命題中，更有可能出現在小題中，小題重結果。因此，在平時的作業中強化解題思路，對于處理綜合型數學建模問題，可以起到夯實基礎的作用。

二、可視化定向錘煉拓展解題技能

在《課標》說明下，筆者以為綜合建模是高考命題的重點，對學生的綜合能力要求較高，能夠在綜合情境下，運用數學思維進行分析，把模糊的問題提煉成比較明確的數學問題，運用數學建模的一般方法和相關知識解決問題，在解題過程中，將復雜問題逐一破解，最終建立數學模型，解決問題。因此，在日常的教學中，除了課堂上要充分體現分析過程、解題思路外，作業中也要充分要求學生表現出數學思維，能用流暢的數學方式展示分析過程。

這一題體現了情境問題最大的特征，就是題目很長，很煩瑣。學生讀完題目，還是一頭霧水。那么，做作業時筆者會要求學生進行對題目的剝離，把情境問題逐漸數學化。對剝離后的問題再次進行分析，逐漸厘清數量關系，第（1）小題思維過程體現如下：

有了這樣的一個簡單分析，學生也會正確的建立不等關系，解決預設的情境問題。

對于第（2）小題的解答，學生同樣可以進行簡單的思維展示：

①明確三個量的表示：

“銷售收入≥原收入+總投入”成立的前提下，確定銷售價格和銷售額。

通過對該題的剖析，學生將經歷以上三個階段的思維過程，將過程展示出來，思路清晰，每一步都能明確自己要做什么，從而成功地轉化為函數最值問題的求解。倘若學生在每一次練習時都能養成剝題分析的習慣，也會降低對情境問題的畏懼，對解題能有很大的幫助，解題能力也會有提高。

三、作業可視化講解，強化數學思維

在對學生可視化作業有了一定的要求后，教師就能更好地掌握學生的解題思路和流程，對于多數學生只能意會不能言傳，更不能保證做對的情況，必須在課堂上對作業進行講解，凸顯正確解題思路和流程，然后予以強化訓練。筆者認為，可視化作業的講解通常可按以下程序完成：對情境進行剝離、明確相關關系、凸顯正確思路、總結精簡流程；有需要的時候，也可進行正誤解題的對比。

例如，上題在進行情境剝離時，可將情境化簡為：

（1）已知：每件售價25元，年銷售8萬元

預設條件：每提高1元，銷售量相應減少2000件

求：銷售總收入≥原收入，每件定價最多多少元？

（2）已知：每件售價25元，年銷售8萬元

這樣從已知條件出發，去掉一些繁雜的內容，將題目的主要意思搞清楚，有助于學生找到相關量，確定相關量之間的關系。從已知條件、舊知識基礎等方面分析，啟發學生為什么必須確定這樣的思路方向才有助于問題的解決。再用流程圖的形式將思維過程凸顯出來，可視化、可感化地突出正確的思維方式和解題程序，使學生對正確解題思路和流程得到強化。

通過教師對作業的可視化講解，學生糾正了錯誤認識，明確了正確解題技能和解題思路的形成后，還需要專門的針對性鞏固練習，通過練習解題過程和思路的可視化展示，可以促使學生不斷地內化知識難點，細致地處理知識易錯點。

總之，教師通過作業講解的可視化，使學生在潛移默化中了解數學建模的解題思路、基本步驟和過程；學生通過作業思路可視化的強化訓練，使自身對建立數學模型解決實際問題的技能得到鍛煉，從而提升了數學建模素養和解決實際問題的能力。