試論數學史融入數學教學的準則與方法

內蒙古師范大學數學科學學院（010022）芳 慧 畢力格圖

一、問題的提出

研究數學史融入數學教學的文獻有很多，仁者見仁，智者見智。從思維主體的認知形成過程與特點來看，科學合理地把數學發展史融入數學教學過程之中，不僅能提高學生數學知識的理解能力，還能提高學生的數學核心素養和文化修養。但是，要想全面提高數學教學效果和持續發展數學技能，就要深入挖掘數學史的教育價值、文化價值與科學價值，切忌簡單機械、生搬硬套、單一敘述。

二、數學史融入的準則

1.歷史發生原理

數學史的融入需要遵循歷史發生的規律。英國的學者布蘭富德在其《數學教育研究》一書中提出：“我的目的是展示人類幾何知識演進的實際方式與學生最樂意和最有效吸收該經驗的方式之間的相似性……幾何學最有效的講授方式乃是遵循科學歷史演進的順序。”事實上，學生的思維從具體到抽象、從感性到理性的過程正是科學再現人類祖先發現數學的過程。例如，學生在認識數時，需要先從培養數感開始。

2.創生原理

創生原理具有兩個方面的含義：第一，數學學習要在一定層面上重復數學發展的歷史；第二，數學學習的過程不是將知識強加給學生的過程，而是學生主動“創造”的過程。只有這樣，數學才能夠成為學生素質的一部分。雖然數學史的融入需要重建知識產生的過程，但并不是簡單的歷史重現過程。教師需要合理運用，讓學生通過有限的歷史重現，去理解知識的來龍去脈，從而讓知識仿佛在學生的腦海中重新創造一樣。

三、數學史的融入——從PEM層面分析

按現代認知結構的學習理論，數學學習活動的過程就是新的數學內容與原有的數學認知結構中的有關內容相互作用，從而形成新的認知結構或擴大原有的認知結構的過程。同時，數學學習還受情感、意志、動機、興趣、個性品質等的影響，這些因素雖不直接參與數學學習的認知活動，但都對數學學習起著推進、增強、維持、調節把控等作用。認知因素和非認知因素都是促進學習活動的重要因素。

一方面，數學史可以幫助學生加深對數學概念、方法和思想的理解。從教育心理學的角度來看，理解是知識遷移的重要條件，所以說數學史影響學習活動過程。另一方面，對數學學習活動來說，認知因素和非認知因素是知識產生同化、順應的主要因素。因此，數學史的融入更應側重對認知結構的構建，也就是說，要考慮認知因素和非認知因素的加強應用。

認知因素是直接參與學習活動的，并且認知因素是隨著年齡與思維的增長而變化的。從皮亞杰對認知發展階段的劃分來看，小學生正處于具體運算階段。該階段學生的認知結構已經重組和改善，思維具有一定的彈性，不過還是需要具體實物的支持，不能徹底抽象。而從知識的理解和存儲來看，由于不同學生的認知結構不同，在知識遷移的過程中容易產生不一樣的圖式和腳本。圖式是一種將關于世界的一般性知識與關于特殊事件的信息結合于一身，對過去反應或過去經驗的主動組織。腳本是圖式的一種，它們被用來指明各種信息的關系和描述事件，能夠引導我們做一系列的推斷，但往往記憶集中與腳本有關的信息會侵入我們的記憶中，造成記憶的錯亂。因此，對學生認知因素的了解顯得尤為重要。數學史的融入既要考慮每個學生的認知要素，也要完成抽象化知識的具體化。

非認知因素是不能直接參與學習活動過程的一種情感、態度、動機和意志的結合體，是對認知結構產生積極影響的一種心理因素。而數學史的融入可以在很大程度上活躍課堂氛圍，引起學生的興趣，促使非認知因素對學習過程產生積極的影響。另外，幫助學生了解數學科學和文化價值，培養良好的數學品質，對數學學習的過程有著良好的推進作用。

從認知心理學的角度來看，數學史的融入需要全面地參與數學學習活動，包括通過影響認知因素來參與數學學習活動，通過影響非認知因素來推動數學學習活動，從而直接影響數學學習活動中的記憶和數學學習的深度。

四、數學史融入小學數學教學的方法與實施

1.融合型方法：生活化

數學學習的過程中，困擾學生的主要是數學抽象思維的轉變。這也是阻礙學生認知水平提高的主要原因，因而將抽象思維轉化成形象思維是解決這種困難的有效路徑。雖然數學史融入數學教學可以促進認知水平的提高，但作為研究數學發生發展及其規律的科學，其內容有很強的抽象性，要融入小學數學教學更是存在一定的困難。因此，需要運用生活化的方法，讓數學發展過程中的優秀方法、思想重新呈現，讓學生在自己熟悉的認知環境中理解其中的奧妙。

如在教學“分數的加法”時，教師可以充分應用《九章算術》里的“約分法”。分數的學習本身是數系概念的又一次抽象，學生理解起來有一定的困難。教師可以通過具體情境，讓分數概念和生活實際產生聯系，在認知發展水平和思維特點的基礎上給學生提供自主思考的機會，從而讓學生掌握其中的思想和方法。

分數的加減運算實際上要解決兩個問題：一是統一分數單位，二是分子之間的運算。首先，教師可以給出生活情境，提出問題：為迎接新學期的到來，學校要在圖書館門前的一塊正方形的空地上擺放牡丹花和海棠花的盆栽，其中牡丹花占地面積為，海棠花占地面積為，那么哪種花的占地面積大？這兩種花的總占地面積為多少？

通過實際的例子來引發學生的思考：分數單位不同的分數能不能直接相加？（不能）為什么？采用什么方法才能將它們相加？而后教師可以通過直觀的圖形來解釋這些問題：把表示和的兩個圖形重疊在一起（如圖1），看看所得的結果。

圖1

學生對比圖片，經過討論得出：只有分數單位相同的分數才能進行加法運算。隨后，教師啟發學生思考：如何計算

通過展示學生對圓形紙片的不同分法（如圖2），引導學生分別按分母是6或12通分，再比較，使學生認識到用分母的最小公倍數作分母比較簡便。順勢而下，引導學生提煉異分母分數相加的算法：先通分，再相加。通分的時候一般用分母的最小公倍數作分母。

圖2

經典問題“雞兔同籠”的情境是典型的古代生活中的情境，和現代學生的認知環境有著一定的差距。教學時，教師可以將其轉換成學生熟悉的環境。如教師重新創設一個生活情境，把場景換成超市里，工作人員把小雞玩偶和小兔玩偶放在一起搞促銷活動。這種情境可以避免學生對“雞兔同籠”情境不熟悉而帶來的尷尬，讓學生在熟悉的環境中體會“雞兔同籠”問題的解法，也可以更好地與學生以往的認知水平關聯起來，使其更快地接受新知識。

生活化的方法主要是將數學發展史中的經典內容通過生活實例重新反饋給學生。這種方法將注意點更多地轉向方法、思想的傳授，并不單單注重史料本身的呈現，是一種綜合有效的融合型方法。

2.應用型方法：故事化

對小學生來說，數學史的呈現更多是作為知識的背景內容，思想和方法上的內容涉及較少。針對這種情況，運用故事化的方法融入數學史是一種切實可行的方式。數學教材中的數學知識往往“標本化”，故事化融入方法可以提高知識的彈性和趣味性，極大地活躍學生的非認知因素，推動學習過程。不過，在運用這種方法時，要避免故事和課程內容的割裂，不能只將所應用的故事當成活躍氣氛的工具。

如在教學“認識1~5以內的自然數”的時候，教師可以選用古希臘名著《荷馬史詩》里獨眼巨人波呂斐摩斯放羊的故事。他所使用的方法是把羊和石子相對應，借助一一對應的方法來比對數量的多與少。通過該故事的講述，讓學生感悟數字演變的經歷，發現其本質，為更直觀地學習自然數做鋪墊。

相信大家在學前班或幼兒園里都學過數數了，那么同學們知道古人是怎么數數的嗎？在很久很久以前，那時候還沒有數字，人們只能根據自己的感覺來確認事物的數量。不過，在古希臘，聰明的波呂斐摩斯怕自己的羊被人偷走或者被其他動物吃掉，就想出了一個數羊的辦法：早晨從山洞里每出來一只羊，他就撿起一顆石子，晚上每返回一只羊，他就扔掉一顆石子，以此來記錄自己的羊的數量。當早晨撿起的石子都扔光時，他就能確認所有的羊都返回了山洞。這種方法很快受到其他人的推崇。不過，隨著所記錄的事物不斷增加，石頭記數法漸漸演變成了結繩和畫線的記錄方式。

同學們可以用上述三種方法來記錄自己的東西數量嗎？接下來我們來學習1~5以內的自然數。（教學時，建議教師出示情境圖或視頻）

又如，在教學“小數的初步認識”的時候，教師可以介紹小數產生的背景故事，探討整數與小數的區別，為接下來的學習做鋪墊。

今天我們來學習小數。同學們知道小數是怎么產生的嗎？早在一個世紀以前，我國魏晉時期的數學家劉徽在注解《九章算術》時為了表示寫的數量與實際量之間的差異，發明了一種方法：在整數后面加上非整數。這就是今天我們所學習的小數，那時候稱為“微數”。后來，其他國家也根據自己的實際應用需求分別以不同的方法表示整數和非整數。直到1585年，荷蘭的數學家西蒙·斯蒂文在自己的著作《論十進》中把整數后面的非整數用十進制來表示，發明了十進制系統，也就是我們今天所認識的十進制小數。

故事化融入方法是一種普遍的融入形式，但要合理高效運用故事化方法，才能將數學發展史中的教育價值、科學價值和文化價值最大化。另外，故事化融入方法是豐富教學內容、深化知識認知、實現知識遷移、調動知識情感的最直接的手段。

3.綜合型方法：圖示化

從認知心理學的角度來看，圖式是知識產生內化的第一步，也是進行記憶的首要步驟。新圖式受與該記憶有關的舊圖式的影響，會產生新的認知結構。但有時候新圖式會被錯誤或殘缺的舊圖式影響，從而產生認知上的誤區。數學史的融入應當立足于正確且完整的圖式上，為知識的遷移打下基礎。對此，可以運用綜合型的圖示化方法，將數學史作為一種信息單元傳授給學生。這種信息單元可以是任何一種形式的信息，只要能對學習過程的圖式產生積極作用，都可作為信息單元。教師可以充分利用現代化手段，結合圖影和音頻，讓知識充分“動”起來，形成利于推進學習活動的圖示形式，加深理解和便于記憶，這對以后認知結構的擴大和完善有著積極作用。

如在教學“十進制自然數”的時候，教師先讓學生思考：為何人類會選擇十進制系統作為數字系統？然后在下節課上課時，直接通過講解記數系統的視頻，或者卡通漫畫的形式為學生解答，由此極大地提高了知識的彈性，促進了學生的理解和記憶，同時也對數學知識進行了普及。

這種方法對硬件條件和素材的要求很高，并不是所有學校都能實現。不過，隨著信息技術的快速發展，這種方式無論是對學生認知結構的完善，還是對學生數學素養的培養、數學文化的普及，都有著積極作用。

五、結語

學習過程是一個復雜的過程，將數學史融入課堂教學，會對學生的認知產生積極影響。相信在改革不斷深入的背景下，教師一定能夠充分利用數學史的相關知識，通過數學史知識的講解充分挖掘數學學科的育人理念，促進學生的全面發展，并推動學生數學能力的不斷提高。