小學高年級數學中數形結合思想的應用探究

◎王文妍 （甘肅省天水市甘谷縣大像山鎮柳湖小學，甘肅 天水 741200）

一、前 言

小學數學新課標將數形結合思想納入小學數學教學的重要目標之一.數形結合思想作為一種輔助“教”與“學”的重要手段，在教學實踐中有非常突出的優勢，其有利于將抽象問題直觀化，提高學生解決問題的效率.數形結合思想通過將抽象數量關系與直觀空間圖形結構相結合，巧妙地構造豐富、靈動的數學世界，幫助學生深刻地理解抽象數學知識、記憶數學符號，理解數學實質，讓學生有靈活運用數學知識的“資本”，在具體問題面前，也能夠機智地分析和處理問題，找出更多的解題思路，發展解題能力，最終促使學生的數學綜合能力和核心素養提升.

二、小學高年級數學教學中數形結合思想的應用價值

新課標對數學這門課程做出了明確論述，強調數學是在對客觀現象進行抽象、概括的基礎上形成的一門學科，這也就意味著數學這門課程具有較強的理論性、抽象性.而小學高年級的學生思維正處于由具象思維向抽象思維過渡的重要階段，想要深入準確地理解抽象的數學知識難度較大.這也就需要數學教師在抽象數學知識與學生具象思維之間建立一道“橋梁”，而數形結合思想就可以充當這一“橋梁”角色.數形結合思想既是一種數學思想，也是一種學習工具.“數”和“形”都是數學的重要內容，二者的有機結合是抽象數量關系與直觀空間形式的有機融合.教師借助數和形的巧妙結合能夠構造出更豐富靈動的數學世界，便于學生理解抽象的數學知識，結合個人教學經驗來看，在小學高年級數學教學中滲透數形結合思想具有如下價值：

一是幫助學生更好地理解和掌握抽象的數學知識.小學生心智發育不成熟，對抽象數學知識的理解不夠透徹，難免會影響其學習效率和解題正確率.而數與形的結合能夠將抽象數學知識具體化、直觀化、立體化，進而幫助學生更好地記憶數學符號，分析數量關系，理解數學本質.

二是有利于提高學生解決問題的能力.如前文所言，數形結合思想其實也是一種學習工具，能夠幫助學生分析數學問題，提供更廣泛的解題思路.從小學數學教學內容來看，教材中大部分內容都離不開數形結合，大部分問題的設計都包含數和形兩方面內容，解決這些問題實際上就是將數和形進行有效轉化.因此，從數學問題的研究角度而言，加強培養學生的數形結合思維，拓寬學生的解題思路，提高學生的解題能力.

三、在小學高年級數學教學中數形結合思想的應用問題

毋庸置疑，數形結合思想滲透于小學高年級數學教學中，既能發揮助學作用，又有促教功能，但這也是建立在有效應用數形結合思想的基礎上的.從當前小學高年級數學教學現狀來看，無論是教師在培養學生數形結合思想方面還是學生應用數形結合思想解決問題的實踐中都存在不少問題，典型問題分析如下：

一方面，數學教師對數形結合思想的認識不夠，不少教師在教學過程中僅僅簡單地將數形結合思想與解題過程聯系在一起，忽略了數形結合思想還可以應用到數學概念、公式、定理的教學之中.這導致數形結合思想功能失效，沒有發揮促教作用，沒有真正地應用到概念理解、公式推導、定理分析之中，學生仍然是通過死記硬背學習這些理論知識，制約了學生的學習效率.例如，六年級數學教材中涉及的正方體的表面積以及圓柱的表面積等知識，教師都可以應用數形結合思想進行教學.倘若教師能夠在教學過程中充分應用數形結合思想，那么推導公式的過程也會輕松便捷，學生在學習這一板塊知識時“如虎添翼”，效率更高，理解得更透徹，掌握得也會更扎實.

另一方面，數學教師對于“數”與“形”的互相轉化講解不夠深入.“數”與“形”是可以互相轉化的.但大部分學生都對此存在理解偏差，只認為“形”可以助數，忽略了“數”其實也可以助“形”，學生沒有從本質上理解數形結合，自然無法靈活應用數形結合思想學習理論知識和解決實際問題，這不僅制約了學生的學習效率，同時也限制了學生解決問題能力的發展.

此外，一部分數學教師在教學過程中也忽略了對學生思維的培養.數形結合本身就是一種數學思想，一種思維體現.教師在教學過程中過分關注方法講解和應用，習慣將解決問題的全過程傳授給學生，導致學生自主思考和應用數形結合思想的機會較少.大多數時候數學教師都是在給學生講哪些知識、哪些問題可以應用數形結合思想，而沒有引導學生自主思考，影響了學生獨立思維的發展.

四、小學高年級數學教學中數形結合思想的具體應用

如前文分析，“數”和“形”可相互轉化，可互助互利，是相輔相成的.因此，數學教師在教學過程中滲透數形結合思想就需要從“數”和“形”兩個維度進行探究，既要引導學生認識“形”助“數”，鼓勵學生將抽象數學知識用形表現出來，降低抽象知識的學習難度；也要引導學生認識“數”解“形”，以更簡單概括的方式表達形，促進學生抽象概括思維的發展；更要鼓勵學生巧妙地將“數”和“形”相互轉化，靈活自然地應用數形結合思想推導數學公式、定理，解決實際問題，從而促進學生數學思維發展和學習能力提升.

（一）以形助數，將抽象問題直觀化

以形助數是數形結合的直接體現，也是小學高年級數學教學中廣泛應用的一種手段，通過“形”的內容幫助學生將抽象知識變得具象化、直觀化，削弱問題難度，便于學生更好地理解重難點知識，并且有利于學生主動建構“數”與“形”的關系.在小學高年級數學教學中，以形助數主要體現在借助“形”認識數、借助“形”運算數，借助“形”整理數三個方面.

借助“形”認識數主要指學生通過圖形來認識數字、數學符號以及生活中的實物和圖形，加深學生對數的認識和理解，幫助學生厘清數與數之間的關系，比如“小數”的學習，就需要借助“形”認識數.

借助“形”運算數指學生運用圖形知識來理解和掌握數的運算，熟悉數的運算規律、方法，提高學生的數學運算能力.

借助“形”整理數強調的是圖表與數據的關系，需要學生運用圖表內容整合雜亂無章的數據信息，并且呈現數據規律，比如統計圖、數學表格，都是用“形”整理數的直接體現，引導學生整理數有利于培養學生的數據分析能力，幫助學生厘清數的規律和數的關系.

在教學實踐中，數學教師應有意識地在“數”的相關內容中滲透“形”的知識，引導學生應用圖形解決“數”的問題.

線段圖是小學高年級解決數學問題的常用圖形之一，也是幫助高年級學生解決數學問題的重要手段.此題看似簡單，實際上考查了學生的數形結合思維、信息提取和分析能力，學生必須要厘清數與數之間的關系，找出題中的隱含條件方能解題.

雖然小學高年級學生已經具備了一定抽象思維，但發展尚不成熟，在理解一些復雜的、表述比較“委婉”的數量關系時也顯得“捉襟見肘”.所以教師在指導學生解決這一例題時，不妨啟發學生畫線段圖（如圖1所示），以線段圖呈現抽象的數量關系，幫助學生厘清解題思路.

圖1

（二）以數解形，深化圖形結構認識

數形結合思想除了包含以形助數之外，也包括以數解形.從小學數學教學內容來看，并非所有問題都是可以直接通過圖形來表達的，也并非畫圖就可以解決所有問題，有些問題本身就是以圖形方式呈現的，或者圖形結構比較復雜，小學生在抽象思維和空間觀念發展不成熟的情況下，很難快速準確地把握圖形結構，無法通過觀察圖形來確立數學關系和數學算式，從而容易陷入思維困境.所以，在小學高年級數學教學中，數學教師也應當有意識地引導學生以數解形，通過數學語言、數量關系、數學符號對圖形結構進行表達和描述，重新認識圖形結構.除此之外，借助數學語言、數學符號、數學關系來表達和描述圖形知識，也有利于促進學生對數學知識的深層認知和理解，幫助學生準確地表述圖形的運動狀態以及位置關系，培養學生的數學抽象思維以及空間思維.

例如，在人教版數學教材五年級下冊“圖形的變換”這一內容教學中，教師可先出示如圖2所示兩個三角形，引導學生描述旋轉的特點，請學生分別說一說三角形圍繞哪一個點，哪個方向，旋轉多少度后能旋轉成三角形出示香港區徽（如圖3所示），請學生思考可以將香港區徽看作哪一種基本圖案，通過怎樣旋轉才能得來.請學生用自己的話描述：將香港區徽看作一個花瓣，連續旋轉4次.

圖2

圖3

此過程就是以數解形的過程，學生用數學語言來描述圖形的變換過程，可以更深刻地理解“旋轉”這一概念，掌握旋轉的幾大要素，同時充分鍛煉了自身的邏輯思維、語言表達能力.

為進一步培養學生運用“數”解“形”的意識，數學教師還可以開展專項訓練，譬如“線段圖專項訓練”，出示如下所示線段圖（如圖4所示），要求學生看圖列算式.以此引導學生用“數”來表示圖形，進一步深化學生對圖形結合思想的應用.需要注意的是，開展此類專項訓練時，教師既要結合教材內容，也要立足于學生思維發展現狀和發展需要，循序漸進、步步深入地指導學生用“數”解“形”，提高學生應用數形結合思想的意識.

圖4

（三）數形互助，挖掘內在聯系

數形結合的最高級表現在于“數”與“形”相輔相成，通過引導學生運用數形互助分析數和形之間的關系，從而使其更深刻地理解數與形之間的內在邏輯關系，更高效地解決數與形相關問題.當然，這也就需要數學教師在數形互助的相關題型講解中，有意識地引導學生分析數和形之間的內在關系，啟發學生主動地將數的問題構造成形的問題，將形的問題抽象成數量關系，引導學生讀圖、畫圖、作圖、分析圖，快速解決實際問題.

某學校六年級二班共有50名學生，學校將要組織課外興趣活動小組，要求每位學生必須且只能參加一個興趣小組，其中選擇排球的學生人數占總人數的18%，選擇籃球的學生人數占總人數的16%，選擇乒乓球的學生人數占總人數的32%，選擇足球的學生人數占總人數的24%，請同學們算一算選擇其他項目的人數是多少.如果學校組織乒乓球比賽，預計會有多少人參加.

圖5

在引導學生解決此題時，數學教師不妨從數形互助的角度出發，鼓勵學生先將題中的已知信息用扇形統計圖的方式呈現，繪制出相應的圖形（如圖5所示），并且在圖形中標注出各個已知量，進一步觀察圖形和思考題目問題，最后結合圖形和已知條件列算式解決問題.教師通過畫圖，能夠讓學生充分感受扇形統計圖中數據與扇形面積的關系，同時讓學生真正了解數據分布的特點，啟發學生從分析圖形的角度推測數量關系并解決問題，讓學生真正經歷了“感知數”→“畫圖形”→“整理數”的過程，培養了學生的觀察能力、數據分析能力以及問題解決能力，不斷促進學生數形結合思想發展.

五、小學高年級數學教學中數形結合思想應用原則

誠然，在小學高年級數學教學中滲透數形結合思想有助于提升學生的解題效率，促進學生的思維發展，但需要強調的是，數形結合思想作為一種輔助教學的方式，在應用實踐中也應當遵循一定的原則，方能最大限度地發揮其助力作用.

第一，要遵循漸進性原則，數形結合思想包含多方面內容，涉及的圖形和數量關系也是復雜多變的，在小學高年級數學教學中應用數形結合思想必須要遵循漸進性原則，結合教材內容，由易到難地融入數形結合思想，確保學生能夠步步深入地掌握多種數形結合的方法，并且靈活運用數形結合解決實際問題.

第二，要遵循過程性原則，所謂過程性就是指數形結合思想應該體現在學生學習過程、解決問題的過程之中，而不是教師單純地給學生講一講什么是數形結合，也并非給學生講解數學問題中可能用到哪些數形結合方式，而是應側重數形結合思想在具體問題情境中的實際效用，讓學生置身于問題探索的過程，真正將數與形建立聯系，靈活地互相轉換，從而提高解題效率.

第三，要遵循等價性原則.“數”和“形”本身就是兩個等價主體，數量的特征是精確化，圖形的特征是直觀化，二者是相互可以轉化的.圖形除了具有較強的直觀性之外，也附帶抽象性，小學生難以直接用“數”進行描述，且不同學生對于同一題目的理解也會存在差異，從圖形中獲取的信息也會不同，因此就容易出現解題錯誤和疏漏.但如果將圖形等價轉化為代數相關問題，讓數學信息更直接、更標準，就能夠極大地減少學生個體差異帶來的理解偏差，有效提高學生解題能力.

第四，要遵循雙向性原則.數學教師要讓學生自主地發現“數轉為形”和“形轉為數”是雙向互換過程，而不是單一通道，在不同的問題情境中，“數”和“形”基本上都可以相互轉化，數的問題可以借助形具象化，形的問題則可以借助數抽象化，只有雙向轉換，才是真正的數形結合.

六、結束語

總而言之，不管在哪個年級進行數學教學，數形結合的思想都有著廣泛的應用，而教師在高年級進行數學教學時更應該好好落實“數形結合”的思想，才能夠讓學生在繁雜的知識鏈條中把握脈絡，我們的課堂效率也將會有進一步的提升.