巧借幾何直觀，助力數(shù)學(xué)理解
——以小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)為例

■福建省福鼎市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 王麗娟

在當(dāng)前的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了幾何直觀這一理念，主要指的是建立在幾何教學(xué)的基礎(chǔ)上，利用圖形描述和分析問題。利用幾何直觀能將較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化，將其抽象的問題形象化，有助于學(xué)生探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果，提高學(xué)生解題的速度。因此在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)過程中，教師可以合理利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)融合，助力學(xué)生對(duì)算理、算法的理解，提高學(xué)生運(yùn)算能力，提升其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

一、幾何直觀的基礎(chǔ)概念分析

幾何直觀是建立在數(shù)學(xué)幾何問題的基礎(chǔ)上，經(jīng)過提煉和總結(jié)形成的理論，而根據(jù)當(dāng)前的課程標(biāo)準(zhǔn)，我們可以從以下幾個(gè)層面來分析幾何直觀的具體內(nèi)涵。

（一）圖形直觀層面

幾何直觀主要指的是人在描述和理解圖形時(shí)的視覺感知性。尤其是針對(duì)小學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)來講，模型以及大量的實(shí)物道具是教學(xué)中能被利用的材料，因此可以將其作為實(shí)物直觀以及模型直觀。這種直觀最大的優(yōu)勢(shì)是化抽象為具體；幾何直觀是對(duì)圖形的直觀，而圖形主要指的是幾何圖形的視覺可感知性，通過一個(gè)抽象的幾何圖形能夠傳遞給學(xué)習(xí)者什么樣的信息。因此，圖形直觀是幾何直觀理論的最基礎(chǔ)概念。而從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來講，幾何直觀的形成和圖形與幾何教學(xué)內(nèi)容有直接的關(guān)聯(lián)，這其中涉及了幾何圖形本身的空間關(guān)系、點(diǎn)線面體關(guān)系、結(jié)構(gòu)特征。

（二）描述及分析問題

從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來講，幾何直觀往往體現(xiàn)的是學(xué)習(xí)者在分析幾何圖形的過程中，由自身主觀思想產(chǎn)生的、對(duì)幾何圖形性質(zhì)表征進(jìn)行描述的事實(shí)，并且在已知信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行問題分析的邏輯。通過描述以及問題分析，能借助幾何圖形本身的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行信息提取，顯示具體的數(shù)學(xué)對(duì)象以及數(shù)學(xué)問題，并且定位這些要素之間存在的關(guān)聯(lián)性。比如，在表達(dá)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘這一概念時(shí)，其基本的算理本質(zhì)是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，那么利用畫長(zhǎng)方形示意圖來表示兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘的最終結(jié)果是較為恰當(dāng)?shù)摹＿@種數(shù)形結(jié)合的方式，能幫助學(xué)生盡快獲取問題中呈現(xiàn)出來的已知信息，然后通過分析問題的基本算理來進(jìn)行解答。

（三）進(jìn)行問題表征

問題表征是幾何直觀的最核心價(jià)值，幾何直觀本身是一種表征手段，主要的表征對(duì)象為幾何圖形，而在表現(xiàn)幾何圖形特點(diǎn)以及相關(guān)信息的過程中，需要伴隨分期以及解決問題的整體流程。例如，學(xué)生可以直接利用幾何直觀在表征問題時(shí)把握問題的已知信息；在分析解答思路時(shí)，打造更為直接的信息聯(lián)絡(luò)框架；在探尋問題最終結(jié)果的過程中，可以借助幾何圖形的特征以及相關(guān)空間關(guān)系進(jìn)行推測(cè)。利用這種方式能有效提升學(xué)生解答問題的流暢性，構(gòu)建清晰明確的探索思路，能快速進(jìn)行結(jié)果預(yù)測(cè)，更有助于學(xué)生審美能力以及數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的提升。

二、以數(shù)學(xué)運(yùn)算為基礎(chǔ)的幾何直觀應(yīng)用分析

史寧中教授曾經(jīng)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)需要在幾何圖形的基礎(chǔ)上建立直觀認(rèn)知，利用代數(shù)語言來分析規(guī)律。這從學(xué)術(shù)角度證明了，幾何直觀和代數(shù)語言之間本身有著較為緊密的聯(lián)系，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，其不僅能夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更能引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)認(rèn)知能力以及邏輯思維能力。因此借助幾何圖形來實(shí)現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，幫助學(xué)生培養(yǎng)幾何直觀，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的根本表現(xiàn)。

（一）依托幾何直觀進(jìn)行運(yùn)算意義理解

數(shù)的運(yùn)算在整體的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中都至關(guān)重要，將直接影響學(xué)生本身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量以及積極性，因此了解數(shù)的運(yùn)算的具體概念，分析其中的相關(guān)含義，有助于提升學(xué)生的運(yùn)算質(zhì)量。而利用幾何直觀可以將抽象的運(yùn)算意義具象化，便于學(xué)生快速理解，同時(shí)也可以提升學(xué)生的思維能力。

例如，在“乘法分配律”的教學(xué)中，為使學(xué)生從本質(zhì)上理解乘法分配律，教師可以這樣引導(dǎo)：剛才大家列的這些算式，真的都相等嗎？任意選擇一個(gè)算式，用自己喜歡的方法來說明算式的左右兩邊相等。可以寫，可以算，還可以畫。

全班反饋交流：

學(xué)生1：3×5+7×5=（3+7）×5，先算3個(gè)5等于幾，再算7個(gè)5等于幾，然后相加；也可以先求一共有10個(gè)5，再用10乘5等于50，左右兩邊都是在計(jì)算一共有幾個(gè)5。（見圖1）

圖1

學(xué)生2：3×5+7×5=（3+7）×5，用一小段表示5，3個(gè)5加7個(gè)5一共10個(gè)5，他們都是在算一共有幾個(gè)5，所以它們相等。（見圖2）

圖2

運(yùn)算意義就是乘法分配律教學(xué)的本質(zhì)依據(jù)。教學(xué)中，教師可以借助圖形直觀，引導(dǎo)學(xué)生從乘法的意義這個(gè)層面理解等式兩邊相等的道理，化抽象為具體，從本質(zhì)上理解乘法分配律。

（二）依托幾何直觀進(jìn)行運(yùn)算算理分析

算理主要指的是數(shù)學(xué)計(jì)算背后的具體道理，需要讓學(xué)生了解為何要這樣計(jì)算、有什么意義以及具體邏輯是哪些。從學(xué)術(shù)角度來講，算理包含數(shù)位值、運(yùn)算規(guī)律、法則。在教學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生明確運(yùn)算算理，可以形成最基礎(chǔ)的計(jì)算邏輯，全面提升學(xué)生的運(yùn)算可行性。而在具體教學(xué)過程中，由于大部分的運(yùn)算算理都以抽象的形式體現(xiàn)出來，學(xué)生可以利用實(shí)物操作以及學(xué)具操作的方式打造模型直觀以及實(shí)物直觀。而幾何直觀是建立在幾何學(xué)的基礎(chǔ)上利用圖形直觀來解釋知識(shí)，整體流程更為簡(jiǎn)便快捷，同時(shí)可以有效提升學(xué)生的幾何素養(yǎng)。

比如，在“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的教學(xué)過程中，教師可以打造多元化情境，幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)乘法的算理。

（三）依托幾何直觀實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法探究

運(yùn)算方法是數(shù)的計(jì)算中的核心操作流程。而在小學(xué)教學(xué)過程中，要求學(xué)生能快速掌握數(shù)的運(yùn)算方法，并且依托不同的情境，及時(shí)進(jìn)行運(yùn)算方法的調(diào)整，由此來全面增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力以及邏輯思維能力。而縱觀當(dāng)前，大部分的運(yùn)算方法都涉及了簡(jiǎn)化以及省略等操作，那么進(jìn)一步明確其中的運(yùn)算邏輯，能引導(dǎo)學(xué)生更快地進(jìn)行解題。比如，在分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)相乘的過程中，教師可以通過依次畫圖的方式來展現(xiàn)具體的運(yùn)算邏輯。如圖3所示，教師可以依次示范畫圖幫助學(xué)生初步理解含義；然后看圖說一說分別是這張長(zhǎng)方形紙的幾分之幾，得出學(xué)們，猜一猜兩道算式中的乘數(shù)，它們與積的分子、分母間有什么聯(lián)系？”引導(dǎo)學(xué)生比較、初步感知這其中的聯(lián)系。再結(jié)合讓學(xué)生動(dòng)手畫斜線表示計(jì)算結(jié)果，對(duì)比中梳理計(jì)算過程，總結(jié)算法。

圖3

三、幾何直觀在數(shù)的計(jì)算中的應(yīng)用注意事項(xiàng)

幾何直觀雖然能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力和核心素養(yǎng)，但是在具體應(yīng)用的過程中，還需要注意以下幾方面的問題。

（一）加強(qiáng)幾何圖形含義的解析

幾何直觀本身依托幾何圖形的具體概念和含義進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)，因此必須注重引導(dǎo)學(xué)生理解幾何圖形，分析幾何圖形的具體關(guān)系以及相關(guān)概念，這樣才可以更好地使用幾何直觀來進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算解析。

（二）合理定位幾何直觀的呈現(xiàn)時(shí)機(jī)

從當(dāng)前的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)角度來講，幾何直觀是一種幫助學(xué)生更好地進(jìn)行運(yùn)算理解的工具，并不是教學(xué)必需品，因此教師必須合理定位教學(xué)的時(shí)機(jī)和不同幾何直觀的選擇，時(shí)機(jī)不當(dāng)，極有可能干擾學(xué)生的認(rèn)知。另外，在運(yùn)算的過程中主要考驗(yàn)學(xué)生的自主解題能力以及創(chuàng)新思維意識(shí)，幾何直觀可以為其提供某一個(gè)方向上的解題思路，但是并不能完全代替學(xué)生的自主認(rèn)知。因此在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師可以合理利用幾何直觀幫助學(xué)生來解答難題，切勿完全將其作為學(xué)生解題的依賴方式。

（三）利用幾何直觀滲透抽象及概括概念

在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)過程中，幾何直觀的應(yīng)用，最基礎(chǔ)的是表達(dá)算理，能更形象地分析運(yùn)算的相關(guān)關(guān)系以及具體操作步驟，但是其中的部分計(jì)算信息不需要全部呈現(xiàn)出來。在部分情況下，為了營(yíng)造簡(jiǎn)潔的計(jì)算教學(xué)體系，還需要培養(yǎng)學(xué)生的概括能力以及抽象思維意識(shí)，那么可以直接利用幾何直觀來培養(yǎng)學(xué)生的這兩種能力。

比如，在“乘法分配律”的教學(xué)中，教師可以借助幾何直觀展示其中的部分抽象信息。課前，教師可以先創(chuàng)設(shè)一個(gè)購(gòu)物的生活情境，喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)：“小明買了5件夾克衫和5條褲子，夾克衫每件65元，褲子每條45元。一共付了多少元。”結(jié)合直觀圖幫助學(xué)生理解65×5+45×5=（65+45）×5。“如果小明買了c套服裝，你還能寫出乘積相等的式子嗎？”適時(shí)呈現(xiàn)另一組直觀圖（見圖4），引導(dǎo)感受省略號(hào)表示部分相似信息的省略。“如果夾克衫每件a元，褲子每條b元，你還能用a、b、c代表這三個(gè)數(shù)表示出上面的規(guī)律嗎？”一步步地引導(dǎo)抽象，最后概括出（a+b）×c=a×c+b×c，“像這樣兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的乘法分配律。”拓展了學(xué)生的抽象邏輯思維。

圖4

（四）靈活進(jìn)行幾何直觀調(diào)整

幾何直觀本身的載體是幾何圖形，而幾何圖形具有較強(qiáng)的多樣性特點(diǎn)，尤其是小學(xué)階段為學(xué)生塑造科學(xué)的幾何圖形認(rèn)知觀念至關(guān)重要。因此在常規(guī)的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)過程中，教師可以選取不同的幾何圖形作為幾何直觀的載體進(jìn)行教學(xué)。比如，以長(zhǎng)方形為依托進(jìn)行的分?jǐn)?shù)乘法教學(xué)，以圓形為依托進(jìn)行的分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)，以線段圖為依托進(jìn)行的行程問題的計(jì)算教學(xué)等，幫助學(xué)生利用不同幾何圖形的特征去表征問題。這種靈活性的思路有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及信息整合能力，可以在運(yùn)算教學(xué)的過程中傳遞科學(xué)的幾何觀念以及運(yùn)算邏輯，從而強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、結(jié)語

綜上所述，在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為了全面提升學(xué)生的運(yùn)算能力，加強(qiáng)運(yùn)算思維意識(shí)，可以借助幾何直觀來輔助運(yùn)算教學(xué)。這種模式不僅可以提高數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的效率，更可以傳遞具有抽象性和概括性的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生利用知識(shí)解答知識(shí)，在增強(qiáng)其創(chuàng)新意識(shí)的同時(shí)，全面發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。