“雙減”背景下《線段中點》的教學實踐與思考

龍艷君

（北京市通州區運河中學東校區 北京 101100）

一、文獻綜述

“幾何學的本質是研究空間的圖形，研究圖形的性質以及圖形之間的關系。”在這樣一個大觀念的引領下，對于線段的研究有兩個內容：一是對線段自身進行研究；二是對圖形之間的關系進行研究。而對線段中點的研究是對線段自身的進一步研究。因此，線段的研究路徑為：從現實生活中抽象出線段→給線段描述性定義→用符號語言表示線段→研究線段的性質→研究線段的組成元素：點，其特例為線段中點→研究線段與線段之間的關系[1]。

有研究表明：7年級有25%的學生幾何思維達到了水平3，也就是說有能力進行非形式化的證明；僅有1%的學生幾何思維水平達到了水平4，即可以從已知條件出發，采用邏輯推理的方式證明命題。因此，作為初中幾何推理的起始課，需注意對概念的應用要循序漸進、對推理的要求由易到難。

二、教學背景分析

1.數學教學價值的要求

對于線段中點的研究，實際是平面幾何中對圖形研究的第一步，本節課開始將比較系統地研究幾何圖形，培養邏輯推理能力。線段中點是幾何中一個比較重要的概念，它是學生類比學習角平分線定義的一個基礎，它將與線段的垂直平分線、三角形的中線等重要概念相聯系，還與應用廣泛的三角形中位線定理相聯系，它是學生認識線段定比分點中的第一個特殊分點。因此，線段中點是一個具有發展性的概念，它對學生后續學習有重要的奠基作用。

2.課程標準的要求

《數學課程標準》指出：“推理能力的發展應貫穿在整個教學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”數學具有嚴謹邏輯性的特點，在初中階段，邏輯推理能力是一種十分重要且特殊的能力，與學生的數學學習存在著十分密切的關聯。培養學生的數學邏輯推理能力，對學生數學核心素養的形成也有著十分積極的影響[2]。本節課是學生進行推理計算的第一課時，通過線段中點定義的規范化書寫，并在例題中注重分析思路，讓學生學會思考、學會清楚地表達思考的過程，可以進一步培養學生的邏輯推理能力，這樣的分析問題、解決問題的方法，對以后的學習是至關重要的。

3.本學段教學內容的要求

學生在小學時期就已經知道線段是軸對稱圖形，而且六年級剛學習了線段的和差、線段的中點等知識。同時學生在操作體驗上也學會了用對折線段的方法找到線段的中點，會用度量的方法利用刻度尺畫線段的中點。在學本節課之前，學生剛學過直線、射線、線段的概念。本節課首先通過小學的方法探究得出中點的定義，然后用文字語言、符號語言和圖形語言三種語言來刻畫線段中點，體現了數形結合思想及數學語言的準確表達。并在推理得到線段中點的不同表示方法和例題計算過程中，培養了學生嚴謹的思維過程，滲透了幾何的推理過程，為以后學習幾何的證明奠定了必要的基礎。

三、學習者分析

雖然初一的學生已經有一定的學習經驗和生活經驗，能夠根據具體的情境體會線段中點的定義，但是在本節課上，中點的定義會通過文字、圖形和符號三種語言來表示，因此很多內容對于學生來說是生澀的。本節課首先通過小學的方法探究得出中點的定義，然后用文字語言、符號語言和圖形語言三種語言來刻畫線段中點。從舊知過渡到新知，讓學生更容易接受和理解，達到減輕學生負擔提高學習效率的作用。后續在推理得到線段中點的不同表示方法和例題計算的過程中，再培養學生嚴謹的思維過程和推理過程，為以后學習幾何的證明奠定了必要的基礎。

四、教學目標確定

1.掌握線段中點的定義及符號表示方法，能進行簡單的有關線段中點的計算。

2.在探究、思考和分析的過程中，逐步學會運用數學語言進行表述，逐步培養解幾何問題的嚴謹性和規范性。

3.培養自主探究，積極思考的學習能力，培養數形結合思想和邏輯推理能力。

教學重點：線段中點的定義是本節課的重要內容，本節課將利用中點的定義進行簡單的推理計算，培養學生的邏輯推理能力，所以本節課的重點是中點的定義及符號表示方法。

教學難點：對于七年級的學生，本節課邏輯推理的要求有一定的難度，所以本節課的難點是運用線段中點的知識解決線段計算的有關問題。

五、教學過程

活動一：思考

問題1：有一根長10cm的繩子，你能把它平均分成相等的兩段嗎？如何操作？

問題2：如圖，在線段AB上畫一點C，使線段AC=BC。怎樣確定點C的位置呢？

活動設計意圖：問題1以生活事例為原型來啟發學生學習，喚醒學生已有的經驗，引發他們進一步思考。對于這個問題，學生可以用小學對折或度量的方法去找到繩子的中點。問題2從具體到抽象，類比于問題1，多數學生能想到用尺子量出AB的長，再除以2，找到中點；或通過折疊，把點A和點B折到一起，折出中點。活動一的目的主要是創設問題情境，讓學生進行學習的遷移，引出中點定義。

活動二：定義

如果點C是線段AB上的一點，并且滿足AC=BC，那么點C叫做線段AB的中點。

幾何語言：

∵點C是線段AB中點，

∴AC=BC。

通過推理證明，得到中點定義的其他表示方法。

根據中點定義，

∵點C是線段AB中點，

∴BC=AC

在深圳特區創建30周年之際，溫家寶視察深圳建設時又重申了政改的重要性，引發了海內外媒體的高度關注。法國的《歐洲時報》就曾刊發題為《中國政改在路上》的文章，美國《僑報》也刊登了《保障經改成果中國政改箭在弦上》的文章。溫家寶在深圳講話中指出，經濟體制改革與政治體制改革存在著不可分割的內在關系。不僅要推進經濟體制改革，還要推進政治體制改革。沒有政治體制改革的保障，經濟體制改革的成果就會得而復失，現代化建設的目標就不可能實現。

∴AB=AC+BC=2AC（或2BC）

推導得出中點定義的第二種表示方法：

∵點C是線段AB中點，

∴AB=2AC（或AB=2BC）

類似地，

∵點C是線段AB中點，

∴AB=2AC（或AB=2BC）

∴A C=A B(或B C=A B)

推導得出中點定義的第三種表示方法：

∵點C是線段AB中點，

∴A C=A B(或B C=A B)

活動設計意圖：讓學生理解線段中點文字、圖形和符號三種語言的表達方式，并在此過程中體驗三種表示方法的推導過程，培養學生嚴謹的思維過程和數形結合思想，滲透幾何的推理過程。

活動三：練習

例1 已知：如圖，點C為線段AB中點，線段AC=5，求線段AB的長。

例2 已知：如圖，點C是線段AB上的點，AC=6，BC=4。

（1）點D為AC中點，求線段DB的長。

（2）點E為AB中點，求線段EC的長。

（3）點D為AC中點，點F為BC中點，求線段DF的長。

（4）點E為AB中點，點F為BC中點，求線段EF的長。

活動設計意圖：例題設計從簡到難循序漸進，符合學生的認知規律，讓不同層次的學生都有所收獲，學生在此過程中逐漸理解線段中點的相關計算。在計算過程中規范學生格式，培養學生數形結合思想。

活動四：小結

掌握線段中點的概念及其不同的符號語言表達方式；會運用線段中點知識解決相關計算問題。

活動意圖：引導學生從知識、能力等方面做總結，完善知識體系，培養學生歸納總結能力。

六、教學反思

學生通過小學的學習已經了解了線段中點的簡單定義，也學習了用度量的方法利用刻度尺畫線段的中點，這為本節課做好了知識上的準備。本節課借助已有的知識和方法主動探索新知識，擴大認知結構，發展能力，從而使課堂教學真正落實到學生的發展上。

本節課教學設計整體化，循序漸進。首先，通過生活情景，即如何把繩子平均分成相等的兩段引入，而后從具體到抽象，過渡到如何在線段AB上畫一點C，使線段AC=BC。這個過程不僅讓學生感受數學來源于生活而服務于生活，也是對學生小學學過的線段中點定義的回顧。學生在此思考、探究的過程中歸納得出初中關于線段中點的定義，讓知識的形成過程流暢而不生澀，培養了學生的語言表達能力和歸納概括能力[3]。京教版課本上在給出線段中點定義的圖形語言和文字語言之后，又給出了三種符號語言，但這三種符號語言是平行給出的，省略了一些推理過程。本節課把這三種符號語言的邏輯推理過程加上了，即首先根據線段中點的文字語言直接得出一種符號語言，然后推理得出另外兩種符號語言，讓學生更能知其然知其所以然，培養學生思維的嚴謹性。因為本節課的重難點是理解線段中點的定義并利用其進行推理計算，所以設計的例題由簡到難，都是有關線段中點的定義和線段的和差展開推理計算，讓學生逐步熟悉幾何推理過程的書寫過程，規范書寫格式，培養邏輯推理能力。在教學過程中，主要體現了以教師為主導、學生為主體，以知識為載體、培養學生思維能力為重點的教學思想。

七、在教學實踐中培養學生的邏輯推理能力

1.培養學生有效讀題、識圖的能力

本節課要求學生做到有效讀題，即把已知條件與圖形緊密聯系，養成一邊讀題一邊在圖上標已知量或者由已知推出的間接已知量的良好讀題習慣，要讓學生能把圖形與文字相結合，培養數形結合思想。還要讓學生學會識圖，即不僅能記住概念的簡單圖形，也能在復雜的圖形中識別出表示概念的各種圖形。如本節課的例題2中，不僅有線段的中點，也有線段的和差，學生如果能辨別出線段的和差關系，找準線段的中點再進行有關計算，題目往往就迎刃而解了。

2.加強學生數學語言的訓練

數學語言分為文字語言、符合語言和圖形語言三種。但學生在進行幾何學習時，遇到的很多困難都是由于不能理解數學語言或者是不能正確使用數學語言而引起的。因此，在幾何概念或者定理的教學過程中，教師要加強三種語言形式的互換。比如，剛學一個幾何新定義，教師在給出示范之后，可以讓學生模仿一道類似的題，鞏固文字語言與符號語言、圖形語言的相互轉化訓練。

3.注重例題、習題的講解教學

在講解例題時，可以留給學生充足的思考時間，不著急幫學生分析。當學生遇到困難時，再提醒學生從已知條件中尋找信息，即由已知條件可以推出哪些間接已知條件，體現以教師為主導學生為主體的作用。很多幾何題的做法并不唯一，在教學過程中可以鼓勵學生講述自己的思路，盡量多給學生展示的機會，讓學生積極分享、展示自己的想法，進而提高學生的數學語言表達能力，提升幾何邏輯推理能力。

4.明確邏輯推理的書寫格式

在幾何的邏輯推理過程中，要求學生要做到推理步步有依據，知道上步的條件下應得的結論，條件和結論之間的推理過程應該連貫。剛學習幾何推理時，要讓學生盡量不要把好幾個條件寫到同一個“因為”上，避免出現邏輯混亂的現象。在教學過程中，教師也可以多讓學生上黑板板書或者投影儀展示其書寫過程，然后教師和同學們一起訂正，規范學生的書寫格式，養成良好的幾何書寫習慣。

幾何對培養學生邏輯思維能力的有效性是其他學科無法替代的。在學生學習幾何之前，數學的學習主要是研究數量關系，而幾何的學習主要是研究幾何圖形及其性質，這就帶來了學習方法的變化。在線段中點這節課中，學生會遇到一些陌生的名詞術語、圖形和符號等，這些內容雖然會讓學生覺得與以往的數學學習不完全相同，但卻是后續幾何學習的基礎知識，因此本節課是打好幾何基礎的第一課。