小學數學教學中數學推理的理論和實踐

馬巖山

（甘肅省武威市涼州區長城鎮長城小學，甘肅武威 733000）

在素質教育背景下，我國大多數小學在實際教學時依然會將分數作為教育質量衡量的唯一標準，在數學教學中也存在著題目、答案唯一化、固定化的現象，教學中偏重對學生知識灌輸與解題能力的培養，必然會導致學生解題思路和邏輯思維程序化。雖說這也能使學生具備一定的數學解題能力，但卻無法提升其邏輯思維推理能力。針對這一現狀，小學數學教師要給予足夠重視，并要轉變以往的思想觀念，結合小學教材與學生實際情況有針對性地加強對學生推理能力的培養，優化學生數學素質和能力。

一、問題提出

提升學生數學推理能力是小學數學教學的第一大目標。我國早在1950 年就在課程標準中提出過要加強對兒童思考、推理、分析、鉆研問題習慣以及方法的培養與訓練，將學生推理能力提升作為教學重要目標，且明確描述了其表現形式，即學生分析問題時能做到邏輯清晰、思維縝密，并要能從多個角度來看待問題，通過辯證思想進行選擇和決定?？梢哉f學生具備較強的推理能力不但有利于其數學學習，對其今后各科學習也有重要作用。

二、數學推理能力的概述

推理能力是學生數學學習的一種基本思維方式?，F階段我國教育界對于推理并無統一說法，但普遍認為其與思考、推斷、論證之間有著緊密聯系，但又與之有不同之處。推理具有社會性特征，個體所處環境不同，其在對事物進行判斷時采用的標準以及形成的最終觀點也會存在不同，對于某一群體一些觀點不需證明，但對于另一群體這一觀點則需證明。推理是對某一主張的支持與維護，通過交流方式檢驗與篩查觀點。部分學者認為數學推理是普遍的行為。而人類推理能力發展的前提是思考，如孩童會根據成人面部表情推斷其情感以及情緒；日常對話閱讀時大腦也會進行思維活動，并會對對話進行推斷。而思考則是通過推斷對存在的問題進行解決。課堂教學為集體性實踐活動，因此在推理教學時要對推理設計的相關結論、資料、主張等進行了解，并在結合學生心理特征基礎上鼓勵其投入到思考與推斷中。

三、理解數學推理的幾大視角

（一）結果視角

這一視角關注的是推理結果，其會將推理視作任務解決中產生的想法，強調在推理中產生的成果以及知識。雖然這一視角看重的是推理結果，但并不是對推理過程的否定，而是出于對分析便利的考慮。從結果視角來對推理進行定義，更加看重的是學生對問題進行分析的能力和解決的最終結果。

（二）過程視角

過程視角不僅會對邏輯結構進行關注，也比較重視個體推理心理特征，側重指明推理所需環節與對象，多數學者認同從過程視角出發，且認為數學推理是有目的的推論、演繹、歸納。

（三）結構性視角

這一視角可分為演繹推理、邏輯推理、合情推理三種形式，其側重于對推理邏輯結構各要素及關系進行描述。演繹推理是從已有事實和確定規則出發，如從定義、法則、定理等著手，結合邏輯推理法則進行計算與證明。合情推理是指學生憑借經驗，根據現有事實通過類比、歸納手段對結果進行推斷；邏輯推理的主要形式為歸納類比與演繹。

（四）模仿和創造性推理

模仿與創造性推理關注個體經歷的心理過程。模仿推理主要包含算法與記憶推理這兩種，其是指學生通過對某些既定程序的效仿或回想來展開機械推理。此種推理較為常見，學生也會將自身掌握的解題步驟或證明等應用在問題推理中。模仿推理也為算法推理，但其算法并不僅僅只計算步驟或是方法，而是對制定程序的泛指。學生須篩選已知策略，在對不同策略可能產生的后果進行預測之后再進行選擇。而對于推理者來講，推理環節以及策略實施并不是重點，除非學生粗心導致計算出現錯誤。也就是說，這種算法推理的關鍵與主要任務在于識別與選擇程序。

四、小學數學教學推理體現

從理論層面分析推理概念后可發現，數學推理會貫穿于教學全過程，所以說學生數學推理能力的培養并非需要特定的教學環節或內容，但不同學習內容推理形式會有所不同?，F階段空間比例與代數推理是常見的幾種推理方式。

（一）代數推理

代數推理是數學思考的基礎，其會涉及探索數學結構，且會滲透在駕車時間計算、購物商品比較等生活方面。而小學到中學數學學習的明顯轉變便是代數學習，在這一轉變中很多學生都會面臨困難，通過在小學階段加強對其代數推理能力的培養，可使學生更好地適應這一轉換。代數推理是通過概括具體數字與計算以及有意義的數學符號來表達所得結論，并探索所得的模式。簡單來講，代數推理主要要素是由尋找識別、概括運用、潛在數學結構等構成。而其中的數學結構包括一般化算理結構，也可指代廣義的群、環域等課題。小學代數推理體現在對加減乘除、運算算理進行明晰，對數字屬性、符號意義進行理解上，結合遷移通過符號表現概括結構。具體實踐學習中，學生往往是通過符號語言呈現或預定規則語法來進行代數記憶，但卻沒有探索與表達符號語言與規則的機會，因此在早期教學中教師可通過實物和鼓勵，讓學生通過自我創造非正式符號對算術屬性進行表達。如“○+○＝2×○”，并陳述解釋其中關系。此外，教師還可引導學生去思考奇偶相加后最終得出結果為奇數或偶數，使其從之前的單純關注和是多少轉變為對和的屬性進行代數思考，通過猜想、比較、歸納形成意義理解，同時對自身代數推理能力進行提升。

（二）比例推理

之所以未在代數推理中納入比例推理，而是將其單獨羅列出來，是因為比例問題不單單只是乘法運算，而是要根據情景對其關系變化進行把握。比例推理的特點并不是對兩個量間關系簡單地進行討論，而是描述預測及評估兩隊關系，這也是學生在學習比例問題時存在的一大難點。小學階段涉及的比例推理主要包括路程＝速度×時間，正比例、反比例等。

類比推理可為學生后續比例能力發展奠定良好基礎。人類的意識可給予學生特定情境，并引導其在此情境中分析，對存在比例關系進行識別與判斷。而分析判斷情境是比例推理的基礎與重要特點。如“若九歲的女孩身高為1.23 米，那么待到18 周歲時這一女孩的身高將達到2.46 米”“華華，現在的年齡是8 歲，他的媽媽是32 歲，那么當華華10 歲時他的媽媽是40 歲”。這是兩種常見的典型情景判斷問題。比例是小學生進行數學學習的一大難點，所以在這一階段教師要引導學生對變化關系進行體驗，而通過對此類問題情境的辨析，可為學生今后學習奠定良好基礎。

（三）空間推理

空間推理是指受試者對空間變化的認知歷程。新課標強調在培養學生空間觀念時可從繪圖、圖形、運動、實物與圖形轉換等方面來開展。但無論是從哪一方面著手培養，都需要學生具備一定的空間推理能力。

五、小學階段培養學生數學推理能力的實踐策略

（一）加強思考程序訓練

加強邏輯推理能力培養，引導學生對推理過程進行掌握是小學數學課堂教學的關鍵內容。教師在教學實踐過程中要強化訓練，采取看、比、填、講、評、改的方式。一是要引導學生對圖形或題目認真進行觀察找到其本質；二是讓學生通過分析比較題目進行規律概括；三是推導出解題的計算過程；四是引導學生就推理過程進行講述，使學生不但能明白如何進行推理，還能對為何這樣推理的原因進行明確；五是教師引導學生對講述進行評論，可為師生共同評論，由教師最終進行總結，通過評論使學生明確解題的對錯與其中道理，對其批評力進行培養；六是教師要引導學生對存在錯誤的地方進行改正。在課堂教學中教師要經常對學生進行思考、程序訓練，這樣學生就會逐漸具備一定的推理能力，并可通過所學的推理方法嘗試解決遇到的問題。此外，班級學生在學習能力基礎上有所不同，因此推理能力也會存在一定的差異性。所以在實際教學中，教師要結合具體情況因材施教。教師可啟發優等生在推理過程中嘗試從不同角度出發，對其思維進行發展；可引導中等生掌握推理方法；也有部分學生無法掌握推理方法，針對這部分學生要加強關照與指導，確保其能逐漸掌握推理方法。

（二）設計創造性推理任務

教師在實際教學中要設定創造性任務，給予學生足夠的時間、空間獨立性，以此來培養學生的創造性數學推理。創造性任務是一種設計形式獨特，不會給出提示或答案，需要引導學生獨自進行探究的任務，但對于教師來講，設置創造性數學推理任務要遠比模仿性推理任務更為困難。

數學教材中也會有很多推理內容，但普遍較為淺顯，學生只需要通過行動策略模仿便可解決多數任務。在此種數學任務中學生只需記憶策略程序，并將其應用在新的任務中。而創造性任務的設置旨在引導學生發散思維、獨立思考，并投入到問題探究中。如在“圓錐體積”教學中，若教師只是將重心放在推理結果上，只需要拿同底同高的圓錐與圓柱，將圓錐裝滿沙子倒到圓柱內，倒三次剛好倒滿，這樣學生可直接推理出圓柱體積是圓錐的3 倍。但若從觀眾推理過程角度出發，教師可讓學生就圓柱、圓錐體積的關系進行猜測，這時學生便會通過面積知識類比推理認為圓錐面積是圓柱的一半，之后教師引導其去發現這一結論的錯誤，思考正確結論。在此過程中學生的思考具有創造性，而通過猜測、推理、驗證也可將學生探索動機充分調動起來。

要培養學生的創造性推理能力，教師便可提供猜想與假設，使學生能有獨立驗證和修改的機會，并在此過程中提出觀點、發散思維，自主探究尋找證據，對觀點進行支持或反駁，逐漸提升個人推理能力。創造性推理任務在設計和運用時會耗費大量精力和時間，所以教師一定要細致進行分析，并要根據教材內容與學生具體情況來進行問題情景的篩選。在學生自主探究中教師也要注意觀察，在必要時恰當地給予其反饋性指導。創造性任務只憑借課堂時間無法完成，因此在創設時也要有機結合課外學習活動，以此來對學生的推理能力進行提升。

（三）鼓勵學生解釋與表達推理過程

大多數學生可根據自身所掌握的數學定理及方法來解答問題，但卻無法有效解釋數學常見現象，也不能通過對比或提供證據的方式，表達自身想法和做法。如在“1，4，7，10，13……”數列中不會出現3 的倍數，雖然學生也能明確這一點，但要求其解釋時學生卻只會不斷重復題目要求或理論，或是通過數學例子來進行解釋。學生對于某一題目的思維是正確的，但卻缺乏完整的推理思路，再加之數學語言功底較弱，就會出現這樣的問題。但是學生對問題進行解釋的過程也是尋找觀點證據、反對質疑的推理過程。所以在教學中教師要引導學生就答案的推理過程進行描述，以便于掌握邏輯詞語。教師有必要革新教學方式，將更多的時間留給學生去討論、探討，鼓勵其通過語言就數學解題思維進行表達。

數學推理能力培養是非常重要的教學目標，而學生是否具備推理能力也是其數學核心素養的重要體現。雖然相關研究人員概括與分析了推理的不同類型，但對于小學階段的學生來講，數學教學的重點要放在學生經歷心理的過程上，在實際教學中對于合情推理還是演繹推理也不必過于糾結，對創造性推理和模仿性推理也不需要嚴格區分，而是要將重心放在基于何種既定假設或證據所得出的結論，學生如何思考以及表達。在實際教學中，教師要與學生共同經歷教學推理過程，引導學生根據猜想尋求答案，或是針對已知結果說出相關推理。數學推理過程既包含創造性思考又包含批判性思考，學生須批判檢驗觀點是否正確，也可能在推理中產生新方法。此外，推理能力培養并不是某個年紀或某一階段才需要的，而是應貫穿在學生整個學習生涯中。

六、結語

總之，數學推理是學生進行推斷和思考的過程，在這一思考過程中學生需對所得觀點、結論是否正確進行批判與檢驗。在推理過程中學生還有可能會產生新策略方法。教師要結合學生實際與教材內容采取有效方式對學生開展推理能力培養，嘗試實施創造性探究任務，鼓勵學生就推理過程進行數學表達，使其能逐漸掌握推理方法，提升個人數學綜合素養。