由高考試題談高考復習

陳 金 賀維娜

（黑龍江省大慶市第十三中學 黑龍江大慶 163113）

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，提出了學生數學學習的“四能”，即：發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力；六大數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。縱觀2020年的各地高考數學試題，體現了高考數學命題由學科知識導向到學科素養導向的思想，更加注重對學生數學學科素養的考查[1]。

數學知識來源于現實世界，其蓬勃發展的強大生命力就在于，數學知識可以高效地解決科學和實踐中的問題。恩格斯說：“任何一門科學的真正完善在于數學工具的廣泛應用。”用數學方法解決實際問題，是學生數學能力的綜合體現，是學生數學素養的具體表征。其過程的本質就是學生通過數學抽象和直觀想象，建立數學模型，再由邏輯推理，結合數學運算與數據分析，得到數學結果，最后對原問題作出解釋和說明。在近年的各地高考數學試題中，創設了各種不同背景、不同情境的題目，這些試題往往對應了一定的數學知識模型，筆者將其歸納為以下幾種[2]。

一、概率統計模型

概率統計知識與日常生活聯系緊密，既需要采用一定的數學知識與方法，同時又考查了學生的數學閱讀能力，從具體事件中抽象概括出數學問題，采用合理地概率統計模型，正確分析和解決問題。試題內容依附一定的生產生活或科學試驗的背景，豐富多彩，表現形式豐富多彩，相比較于其他題目，其特點是計算能力要求相對不高，閱讀理解能力要強。在命題方式上，選擇題和填空題利用回歸直線方程模型的較多；在解答題當中，獨立性檢驗、超幾何分布、二項獨立重復試驗模型是重點，這些基本模型，往往通過不同的情境呈現，如（2015年新課標Ⅰ）：投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（）

A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

該題將獨立事件概率的計算，融入了體育比賽的情境，是概率統計模型中常見的比賽闖關類的題目。解答此類問題，學生除了要熟練掌握獨立事件的概率、對立事件的概率，還需要有一定的實際生活經驗，對一些常見的球類比賽、棋類比賽、面試規則有一定的了解，可以迅速理解題意，對解答此類問題大有裨益。

在2020年全國2卷、全國3卷、北京卷的題目中，則分別結合沙漠地區治理、空氣質量和活動方案的選擇等問題，創設了科學問題和實際生活問題的不同情境。概率統計內容與實際生活聯系緊密，隨著科學技術的發展與進步，其應用日益廣泛，是數學建模命題的良好素材。試題趣味性濃、生活性強，尤其是解答題目，其題干部分文字敘述的內容較多，需要學生在面對試題時，保持良好的抽象概括能力與嚴謹的邏輯推理能力。另外，學生要具備一定的數學閱讀能力以及信息提取的能力，在復習過程中，要注意數學閱讀能力的培養，從實際問題中能夠抽象出數學問題，準確識別與運用合理的數學模型，用數學的眼光來看待、分析和解決問題。

二、函數模型

函數知識是高中數學的主線，基本函數的性質是考試中的重點，根據題目所給出的背景信息，需要學生選擇或者抽象概括出合適的基本函數模型，并能夠從解答模型的過程當中，得到實際問題的合理解釋，是數學實際應用的典型例子，情境豐富、應用廣泛。如2020年全國3卷中的醫學數學模型即是此類題目的典型代表。

Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領城.有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：其中K為最大確診病例數.當I（*t）＝0.95K時，標志著已初步遏制疫情則t*約為（）（ln19≈3）

A.60 B.63 C.66 D.69

該題將函數模型的簡單應用寓于疫情防控的重大事件情境中，考查了指數型函數模型的應用，既展示出數學應用的廣泛性，又體現了疫情防控中眾志成城的偉大精神，在試題中滲透了德育教育，體現了五育并舉的育人方針。函數知識與數學各板塊內容聯系緊密，其方法、思維是解決數學問題的有力工具，在解決運動變化、最值等類型的問題時，有著廣泛的應用，是高考復習的重中之重。

三、幾何類模型

幾何學的內容源遠流長，從古代中國的勾股定理，到古希臘的阿基米德三角形；從簡簡單單的平面圖形，到規模宏大的建筑；各式各樣、豐富新穎的幾何圖形，散發著無窮的魅力，詮釋著數學與美的結合。這些迷人的圖形，動人的故事，是人類文明發展的光輝足跡，與人類的生產生活密切相關，也折射出人類智慧的光芒，深得命題人的喜愛。

如2020年全國1卷第3題：

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）

本題明顯可以構造正四棱錐模型，如圖設CD=a,PE=b

得到關于a,b的方程，解方程即可。

試題以立體幾何中的棱錐為背景，以長度、面積的計算為考查目標，看似簡單的計算，卻蘊含了學生對于空間幾何體形象的把握，需要準確地做出四棱錐直觀圖，理清題目中涉及的概念，準確計算，快速求解，給人以“看似尋常最奇崛，成如容易卻艱辛”之感。

在2021年的全國一卷（理科）填空題的壓軸題目中，以剪紙藝術為背景，從平面幾何的基礎知識出發，用看似簡單的折紙過程，演繹了有限與無窮的完美結合。考查學生平面圖形的面積計算能力，雖然是長方形的對折，但其解答過程中，需要學生有良好的空間想象能力、嚴密的邏輯推理能力、準確的求解運算能力，是對學生數學綜合能力的考查。

從古希臘到古代中國，從土地丈量到圓周率的計算，幾何知識源遠流長，其內容包羅萬象，其結論異彩紛呈。此類模型，與人們生產實踐活動密切相關，命題過程中，經常會融入古代數學文化知識，在歷年的高考試題中，具有較高的出鏡率。如2020年山東卷和全國2卷中的日晷及天壇，不僅考查了學生基本的幾何知識，空間想象能力，還把立體幾何與數列模型相聯系，綜合性較強。因此，在立體幾何復習過程中要充分注意，除簡單空間幾何體的結構特征以及點線面的位置關系等基本內容外，在解決具體問題的過程時，還常常使用立體問題平面化的方法，對于最值以及存在性問題，又會與函數、向量等知識相結合。

四、科學文化類模型

科學文化類的試題，是最近幾年的熱點題型，試題內容可以涵蓋古今中外、科學技術各個方面的內容，聯系社會生活當中的重大事件、科學發展的熱門話題等，進行命題。試題內容靈活，常常綜合三角、數列等多方面數學知識，體現了數學知識與其他學科的密切聯系，需要學生具有良好的數學素養，在理解題意的基礎上，迅速、準確地使用所學數學知識進行解答。如2017年課標1卷中的信息學數學模型即是此類題目的典型代表。

（2017課標1，理12）幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N＞100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440 B.330 C.220 D.110

2020年北京卷中的全球首個國際圓周率日（πDay）的設計，更是傳統與現代的結合，凸顯了數學知識的強大生命力，古為今用，古今結合，豐富了學生的知識，開拓了學生的視野，陶冶了學生的情操，引人入勝。

以科學文化為背景的試題，既展現了古代人類的智慧，也凸顯了數學與人類發展的密切關系。有的展現了古代數學的經典成就，尤其是我國古代數學著作，讓人們感受到傳統文化的強大感染力和生命力；又常常結合現代生活中的熱點問題，糅合了當代社會的新聞時事，具有鮮明的時代感，具有很高的研究價值。

弗賴登塔爾說過，與其說學習數學，不如說學習數學化。用數學知識解決問題，其首要步驟就是建立數學模型，將實際問題數學化。高考復習中對學生數學建模能力的培養和提升，在內容與形式的角度，可以關注以下幾個方面：

1.關注前沿科學發展、社會時事變化，以及影響社會發展的大事件。問題情境設計的一個基本原則，就是盡量貼近學生的學習經歷、生活經歷[1]。利用有影響力的事件作為背景，構建情境，能夠有效激發學生利用數學的眼光來看待世界，培養學生利用數學的思維來理解世界。如現代科技發展的前沿人工智能中，數學知識的廣泛應用，生物科技中統計學知識的應用，都是非常好的素材。

2.關注歷史名題，經典孕育流行。許多歷史名題，無論古今中外，往往成為后來數學知識發展的發源地，具有開創性、思想性、趣味性，既體現了數學發展與人類文明發展的密切聯系，也體現了數學的實用價值。我國古代數學，產生了光輝燦爛的成果。如《九章算術》《海島算經》中，涉及了許多生產實際中的數學知識，或建筑、或盈虧、或田畝……做起來趣味無窮，既能激發學生的求知欲望，又能陶冶學生熱愛祖國悠久文化的情操，一舉多得。再如阿基米德三角形，吸引了一代又一代數學愛好者，為之付出大量的心血與汗水，探索其中的奧妙。關注這些經典題目，往往能充分調動學生的學習興趣，使之感受到數學文化的豐富多彩。

3.關注教材習題和歷年高考真題的使用。教材習題具有引領、示范的作用，是高考命題和學生練習的燈塔，具有非常好的引領作用；歷年的高考真題形式新穎，緊扣時代發展，命題嚴謹，適合培養學生良好的數學應用意識。教材中的例題、習題是“源”，高考真題是“流”，二者均為數學文化的重要載體，同時也是數學文化的組成部分，課后習題具有深入淺出的特點，具有極為深刻的內涵，非常適合進行深入的挖掘；高考真題具有鮮明的時代特色，是課程標準引領作用的現實體現，命題形式新穎，同時兼具文化性、時代性、應用性等特點，是命題者精心打造的藝術品，值得在復習過程中進行反復的琢磨、細心的體會。

從數學學習心理學角度，在數學學習方法上，高考復習可以從以下幾個方面進行訓練：

1.注重數學及其他學科核心素養，學會遷移運用。類比遷移是構建模型、解決問題的有效手段，在數學建模的過程中，不僅需要學生具有全面的數學知識，同時也需要學生具有較高的、綜合的科學素養，數學模型是溝通數學知識與現實生活的橋梁，良好的數學閱讀能力、較強的信息提取能力以及基本生活經驗，對于幫助學生迅速、準確理解題意，正確運用數學方法解決實際問題，大有裨益。

2.注重歸納與演繹。歸納法是合情推理的重要形式，對于類似新定義的問題等，通過舉例子、先猜后證等方法，可以幫助學生快速讀懂題目，理解題意。因此，在高考復習過程中，要充分注重培養學生的歸納推理能力，注重利用歸納法進行合情推理，并利用演繹推理進行證明，是快速解決數學問題的有效手段。

3.注重積累，行穩方能致遠，厚積才能薄發。許多新題未必是難題，常常可以從過往的題目中找到影子，耐心分析、善于聯想，常常可以快速解題、出奇制勝。高考復習，要充分重視教材的作用，認真閱讀教材，理解教材，發揮教材的引領和示范作用。教材的引言部分，就是該板塊知識的起源或者應用的典型代表，情境豐富、趣味性強、深入淺出，本身就是命題的良好素材；教材的習題部分，往往是例題或主干知識的延伸，具有明顯的應用價值和推廣價值；課后閱讀部分，則包含了數學家探索知識的過程，是數學史的再現。在復習的過程中，要利用教材，關注知識的產生過程，注重積累探索新知識的方法，在潛移默化的過程中，培養學生良好的數學素養，方能在面對新的考題時，揮灑自如。

4.鼓勵學生自主創編試題。自主創編，既可以培養學生的數學素養，又可以開闊學生的視野，能夠充分調動學生學習的積極性，思維的嚴謹性。讓學生親身體驗“做數學”的過程，經歷對問題的發現和解決的過程，才能對所學習的知識有更加深刻的理解和體會。因此，在復習的過程中，要留給學生一定的時間，讓學生經歷探究的過程、推理的過程，逐步提高思考能力、創新能力，學以致用，才能達到融會貫通。

數學建模的過程，是溝通自然與數學，具體與抽象的橋梁，有助于學生更好地理解數學，培養學生的應用數學的意識，用數學的眼光看待生活，用數學的思維理解生活，用數學的智慧創造生活！