基于核心素養的高中數學教材習題對比研究
——以“三角函數”為例

朱曉琳

（青海師范大學 青海西寧 810016）

引言

近年來，學科核心素養成為高中教育領域、教育研究領域的熱點話題。由于自身的性質和特點，數學學科核心素養被概括為六個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。在價值方面，數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現[1]。需要注意的是，在課程標準的附錄1中，數學核心素養的六個方面又被劃分為了程度依次遞進的水平一、水平二、水平三三個水平，各個素養的不同水平也有相對應的文字說明。這是我們下面進行習題研究的依據。

隨著課程標準的再次修訂以及新版教材的問世，此方面的研究也需要在原有的基礎上加以更新。本文根據課程標準中闡述的數學學科核心素養內涵及三種水平，對新人教A版和北師大版高中數學教材中的“三角函數”一章習題進行對比研究，主要探討兩個問題：一是兩版教材習題在體現的數學核心素養類型上的差異；二是兩版教材習題在體現的數學核心素養水平上的差異。

一、研究設計

1.研究對象

根據現行教材的使用分布情況，本研究選取2019年教育部審定通過的人民教育出版社（簡稱“新人教A版”）出版的高中數學教材和北京師范大學出版社（簡稱“北師大版”）出版的高中數學教材“三角函數”一章（本章位于“新人教A版”高中數學教材必修第一冊第五章，“北師大版”高中數學教材必修第二冊第一章）全部習題，包括：“練習”“習題”和“復習題”（或“復習參考題”）的全部題目。“新人教A版”高中數學教材“三角函數”一章習題總數為199，“北師大版”高中數學教材“三角函數”一章習題總數為155。

2.研究設計

（1）研究假設

本研究假設研究對象中的每道題目至少蘊含一種數學核心素養。從圖形或者實際情境中抽象出三角函數模型解決相關問題涉及數學抽象素養；借助三角函數圖象判斷任意角三角函數值的正負性等問題涉及直觀想象素養；弧度制與角度制之間的轉換，利用誘導公式和三角恒等變換求解式子和證明等式涉及邏輯推理和數學運算素養；利用函數模型解決現實情景問題體現了數學建模素養。數學核心素養中，“數據分析”素養與“三角函數”部分沒有明顯聯系，故不考慮該核心素養。綜上分析可見，本研究的假設是成立的。

（2）對習題核心素養類型的劃分

對習題核心素養類型的劃分標準是課程標準中闡述的各素養的內涵。在界定本章習題素養類型的時候，我們發現，部分題目蘊含兩種及以上核心素養。究其原因，數學核心素養之間是相互聯系的。對于這種情況，本文進行說明：在確定習題數學核心素養類型時，根據題目的性質優先選擇重點考查的核心素養，對于綜合考查多種數學核心素養的題目，可以同時選取多個核心素養。

數學核心素養類型劃分示例：

此題需要借助函數圖象判斷兩函數的交點個數，其中，t不是確定值，是需要進行討論的。所以，本題體現了直觀想象與邏輯推理兩種核心素養。

（3）對習題核心素養水平的劃分

在確定了題目的核心素養類型之后，接下來就是需要確定題目體現的核心素養類型所處的水平。這里，本文需要再次作出說明：某習題的核心素養總體水平確定為本題所涉及的多個核心素養類型中水平的最高值。

本題只需要正確運用正切的誘導公式展開：

考查對正切誘導公式的簡單應用，所以將此題歸結為數學運算的水平一范疇。

本題需要根據學生從頂角余弦出發，選擇合適的誘導公式、三角恒等變換以及倍角公式設計運算過程解答，所以將此題歸結歸結為數學運算的水平二范疇。

3.編碼與數據統計方法

（1）編碼方法

分別用RA、BS代表新人教A版和北師大版高中數學教材，用數字1、2、3分別表示水平一、水平二、水平三。用RA1，RA2，…，RAn表示新人教A版教材的第1，2，…，n題；用BS1，BS2，…，BSn表示北師大版教材的第1，2，…，n題。

（2）數據統計方法

在核心素養類型上，統計出每版教材中體現各個素養的習題總數，然后除以該教材“三角函數”一章習題的總數，得到該教材習題在各個核心素養類型上的比重。

在核心素養水平上，從兩方面進行統計。一方面，統計出每版教材中各個核心素養類型下不同水平的題目個數，然后除以對應核心素養類型的習題總數；另一方面，分別統計出兩版教材中處于水平一、水平二、水平三的題目的數量，除以對應教材“三角函數”一章習題總數，得到兩版教材“三角函數”一章習題在水平一、水平二、水平三上的數量比重。

二、數據結果

1.在核心素養類型上的統計結果

兩版教材“三角函數”一章習題在五個核心素養類型上的統計結果見表1及圖1。

表1 兩版教材“三角函數”習題在核心素養類型上的題目數量及比重

圖1 兩版教材“三角函數”習題在核心素養類型上的數量比重（%）

2.在核心素養水平上的統計結果

兩版教材“三角函數”習題在五個核心素養水平上的統計結果見表2和表3。

表2 兩版教材“三角函數”習題在各核心素養不同水平上的題目數量（個）

表3 兩版教材“三角函數”習題在各核心素養不同水平上的題目比重（%）

兩版高中數學教材“三角函數”習題在三水平的比重見表4。

表4 兩版教材“三角函數”習題在三水平上的題目數量及比重

三、研究結論

1.在核心素養類型上的結論

（1）兩版教材“三角函數”習題在邏輯推理和數學運算素養上的比重較高

根據表1和圖1，可以看出，兩版教材“三角函數”習題在邏輯推理素養和數學運算素養方面的比重相對較高。其中，在數學運算素養上的比重最高，新人教A版教材“三角函數”習題在數學運算素養上的比重為71%，是兩版教材“三角函數”習題在各核心素養類型上的最高比重。北師大版教材“三角函數”習題在數學運算素養上的比重為63%。

兩版教材“三角函數”習題在數學抽象和數學建模素養方面的比重相對較低。北師大版教材“三角函數”習題在數學建模素養上的比重是最低的2%。

（2）兩版教材“三角函數”習題在核心素養類型上存在差異

進一步研究發現，在數學運算素養方面，新人教A版教材的題目比重（71%）高于北師大版教材的題目比重（63%）。可見，新人教A版教材更加強調學生通過準確運算理解鞏固知識和解決問題的能力；在直觀想象素養方面，北師大版教材的題目比重（20%）明顯高于新人教A版教材的題目比重（8%）。

2.在核心素養水平上的結論

（1）兩版教材習題素養水平大都處于水平一、水平二，少數習題處于水平三

由表4可知，兩版教材“三角函數”習題在核心素養水平上大都處于水平一和水平二，少數習題處于水平三，且在水平一上的比重均高于在水平二上的比重。在水平一、二上，北師大版教材“三角函數”習題的比重（97%）相對較高。在水平三上，新人教A版教材習題的比重（10%）相對較高。

（2）兩版教材習題在各核心素養的各水平上各有側重

在數學抽象素養方面，兩版教材“三角函數”習題在三水平上分布相對均衡。在水平一上，北師大版教材“三角函數”習題的比重（38%）相對較高。在水平二、三上，新人教A版教材“三角函數”習題的比重（31%和44%）相對較高。

在邏輯推理素養方面，兩版教材“三角函數”習題主要分布在水平一、二，且在水平二上的比重（54%和66%）最高。北師大版教材“三角函數”習題未涉及水平三。在水平一上，新人教A版教材“三角函數”習題（40%）的比重相對較高。在水平二上，北師大版教材“三角函數”習題的比重（66%）相對較高。

在數學建模素養方面，新人教A版教材“三角函數”習題在三水平上均有分布，且在水平三上的比重（50%）最高。北師大版教材“三角函數”習題均分布在水平二。

在直觀想象素養方面，新人教A版教材“三角函數”習題主要分布在水平一，北師大版教材“三角函數”習題主要分布在水平二。兩版教材“三角函數”習題均未涉及水平三。

在數學運算素養方面，兩版教材“三角函數”習題主要分布在水平一、二，且在水平一上的比重最大。在水平一上，北師大版教材“三角函數”習題的比重（73%）相對較高。在水平二上，新人教A版教材“三角函數”習題的比重（39%）相對較高。

四、結語

1.對新人教A版教材“三角函數”習題的編寫建議

（1）適當提高體現直觀想象素養的習題比重

基于直觀想象素養方面，北師大版教材“三角函數”習題的題目比重顯著高于新人教A版教材“三角函數”習題的題目比重這種情況。對直觀想象的考查習題，主要分布在對三角函數的圖象的考查中，三角函數圖象相關內容隸屬于三角函數的性質，屬于核心的考點[2]。對于新人教A版教材“三角函數”習題而言，建議適當提高體現直觀想象的習題比重。

（2）適當提高居于水平二的習題比重

基于新人教A版教材“三角函數”習題在水平一上的比重高于在水平二上的比重這種情況，同時考慮到數學核心素養水平二是高考命題的依據。建議新人教A版教材在保證居于水平一的“三角函數”題目比重的前提下適當提高本章居于水平二的體現數學運算、數學建模、數學抽象和直觀想象素養習題的比重，以此發展學生的相關核心素養。

2.對北師大版教材“三角函數”習題的編寫建議

（1）適當提高體現數學建模素養的習題比重

基于在直觀想象素養方面，新人教A版教材“三角函數”習題的題目比重高于北師大版教材“三角函數”習題的題目比重這種情況。對于北師大版教材“三角函數”習題而言，建議適當提高體現數學建模的習題比重，提高學生數學學習的熱情。

（2）適當提高居于水平二的習題比重

基于北師大版教材“三角函數”習題在水平一上的比重高于在水平二上的比重這種情況，同時考慮到數學核心素養水平二是高考命題的依據[3]。建議北師大版教材在保證居于水平一的“三角函數”題目比重的前提下適當提高本章居于水平二的體現數學抽象和數學運算素養的習題比重，提高學生的抽象概括和運算能力，幫助學生更好地理解和掌握知識。