柯西中值定理的兩種新證法

牛麗娜，古麗米熱·爾肯，熱比古麗·吐尼亞孜

（新疆理工學院，新疆 阿克蘇 843100）

眾所周知，微分中值定理包含了羅爾中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，是一元微分學中十分重要的結果.一般微積分（高等數學）教材[1-5]中對微分中值定理的證明都是采用以下步驟進行的:

在“函數f（x）和g（x）在[a,b]上連續，在（a,b）內可導”的條件下,應用費馬引理證明羅爾定理→通過分析拉格朗日中值定理的幾何意義構造滿足羅爾定理的輔助函數來證明拉格朗日中值定理→通過分析柯西中值定理的結論構造滿足羅爾定理的輔助函數來證明柯西中值定理.

長期以來,已經有許多學者對如何通過構造不同輔助函數來證明柯西中值定理提供了多種方法[6-13],但大多仍然是從分析結論出發來構造輔助函數.所以自然的問題是:

能否不從分析柯西中值定理的結論出發構造輔助函數,而是在給定的條件下使用已知的結論(比如拉格朗日中值定理),或者通過其它已知的知識來比較自然地導出滿足羅爾定理條件的函數,從而實現對柯西中值定理的證明？

針對以上問題,本文的目的是采用兩種不同的比較自然直接的方法證明以下結論：

定理如果函數f（x），g（x）在[a,b]上連續，在（a,b）內可導,那么至少存在一點ξ∈（a,b），使得.

此外,我們采用的兩種證明方法提供了分析和證明柯西中值定理的比較自然的思路，使學生能夠在學習一元函數的導數時更好地了解兩條平面曲線在給定區間上導數之間的內在聯系.

二、定理的兩種證明

滿足F（a）=F（b）.由定理的條件可知函數F（x）滿足羅爾中值定理條件，所以至少存在一點ξ∈（a,b）使得F'（ξ）=0，即于是定理得證.

證法2注意到在定理的條件下我們可使用的只有函數f（x）和g（x）在[a,b]兩個端點處的函數值f（a）,f（b）,g（a）,g（b），而點P=（f（a）,f（b））,Q=（g（a）,g（b））代表平面上兩個向量，這兩個向量是否共線，或者等價，對應坐標是否成比例，可由二階行列式

是否為零來確定.雖然這兩個向量是否共線與我們要證明的結論沒有直接關系,但上面等式右端的表達式使得我們能夠分析推導函數f（x）和g（x）在[a,b]兩個端點的函數值之間的關系:

這表明函數F（x）=（f（a）-f（b））g（x）+（g（b）-g（a））f（x）滿足F（a）=F（b）.由定理的條件可知函數F（x）滿足羅爾中值定理條件，所以至少存在一點ξ∈（a,b）使得F''（ξ）=0，即（f（b）-f（a））g'（ξ）=（g（b）-g（a））f'（ξ），于是定理得證.

[注]如同證法2 所表明的那樣，在定理給定的條件下，借助選定的P=（f（a），f（b））和Q=（g（a），g（b））兩點代表的平面上兩個向量，使用判別兩個向量是否共線的二階行列式的展開式來分析推導出兩個函數在區間端點處函數值之間的關系,從而導出滿足羅爾中值定理條件的函數F（x），與行列式是否為零沒有直接關系.

三、定理的兩個推論

推論1（拉格朗日中值定理）設函數f（x）在[a,b]上連續，在（a,b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a,b），使得

證明在定理1 中，令g（x）=x 即可得該結論.

推論2（柯西中值定理）設函數f（x），g（x）在[a,b]上連續，在（a,b）內可導.如果在（a,b）上g'（x）≠0，那么至少存在一點ξ∈（a,b），使得

證明這由定理結論立即可得.