一道2021年中科大強基題的探究與變式拓展

重慶市彭水第一中學校 (409632) 劉恩坤 李紅霞

本文從一道2021年中科大不等式強基題入手，逐步展開均值不等式與聯賽中的一些應用，然后給出試題的一般性結論和變式拓展，希望給讀者帶來學習與借鑒.

1. 試題呈現

已知正實數a,b,c滿足a+b+c=1，求a2+b2+c2+2abc的取值范圍.

2 試題解法探究

3. 一般性探究

已知非負實數a,b,c滿足a+b+c=1，求a2+b2+c2+kabc的最小值.

4. 一般結論

綜上所述，已知非負實數a,b,c滿足a+b+c=1，求S=a2+b2+c2+kabc(k≠0)最小值.

5.變式拓展

變式1 (2021年數學通訊第7期504問題)已知非負實數a,b,c滿足ab+bc+ca=a+b+c>0，求證：a3+b3+c3+13abc≥16.

探索性結論：已知非負實數a,b,c滿足ab+bc+ca=a+b+c>0，求a3+b3+c3+kabc(k>0)的最小值.

變式2 已知非負實數a,b,c滿足ab+bc+ca=a+b+c>0，求證：a2+b2+c2+13abc≥8.

變式3 (數學通報2016年第10期2321號問題)已知非負實數a,b,c滿足ab+bc+ca=a+b+c>0，求證：a2+b2+c2+5abc≥8.

若考慮k∈N+時，可以寫成當0