關注數學實驗教學，提升學生的“四基”與“四能”

嚴小紅

陜西省商洛中學 726000

新課標明確提出：數學教學活動不能局限于記憶、模仿和練習等方面，還應注重動手實踐、自主探索與合作交流等活動方式［1］.數學實驗能讓學生在自主操作中進行思辨，讓學生體驗數學發現和創造的神奇之處，從而有效地啟發學生的思維，促進學生對知識、技能、思想、活動經驗的掌握（簡稱“四基”），培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力（簡稱“四能”）.

教學背景分析

實驗操作能為學生提供良好的學習體驗，培養學生動手、動腦的能力，為創新意識的形成和發展奠定基礎.為了貫徹落實教育系統對創新人才的培養要求，筆者在橢圓教學中，特別針對本班學生設計了一堂實驗操作課，以促進學生多樣化和差異性發展.橢圓折紙內容在教材中有所體現，本節課中，筆者帶領學生通過實驗操作和思辨進行教學，取得了一定的成效.

教學簡錄

選擇實驗探索教學法，通過實驗引發學生猜想，而后進行驗證、應用、拓展、反思等，意在培養和發展學生的“四基”和“四能”.教學的每個環節都以問題為驅動點，讓學生在解決原有問題的基礎上提出新的問題，使得每個問題環環相扣，讓學生從真正意義上掌握問題的探究方法和知識的內涵.

1.第一個環節：實驗引發猜想

要求學生提前準備一張圓形紙，在紙片內任取一點A（非圓心），折疊這張紙片，使得圓周必須經過點A，展開后可見一條折痕（用l表示），為了能清楚地看到這條折痕，可用鉛筆將l勾勒出來（見圖1）.隨著折疊次數的增加，折痕越來越多，要求學生觀察勾勒出來的折痕輪廓，說說形成了一個怎樣的曲線.此過程建議學生兩兩分組，配合完成.

圖1

師：在折疊過程中，圓周上的每一點都能與點A重合，形成對應的折痕嗎？

生1：實踐證明是可以的.

師：既然每一點都可以，那么所獲得的圖形是不是一個封閉圖形？

生2：是的.

師：照這么來看，也就是要盡可能增加折疊次數，現在我們一起來分析一下，進行多次折疊后所形成的封閉圖形是什么圖形.

眾生：應該是橢圓形.

師：因為手動折疊受各種因素的限制，現在我們借助多媒體的演示功能，模擬手動折疊，將折痕顯示出來（見圖2），大家一起來感知無數次折疊后所形成的折痕輪廓與曲線之間存在怎樣的位置關系.

圖2

設計意圖：學生親歷動手操作，易對知識形成良好的感性認識，為橢圓的出現奠定基礎.但手動折疊紙張的次數有限，無法直觀看到所獲得的封閉圖形，而應用多媒體，不僅能讓學生直觀看到動手操作所無法達成的效果，還能讓學生在強烈的視覺沖突中，對知識形成深刻印象，為更好地理解與內化知識夯實基礎.

張奠宙認為：實際操作具體事物，并進行觀察與思考，能讓學生從感性認識上升到理性認識，獲得基本的數學經驗［2］.以上教學過程告訴我們，數學實驗操作除了親自動手增強對知識的直觀認識外，還可以將信息技術與數學課堂教學相融合，給學生帶來更加豐富的感官刺激，以深化學生對知識的理解.

2.第二個環節：驗證引發結論

師：大家都認為所獲得的輪廓線為橢圓形，有沒有辦法進行驗證呢？

生3：如圖3所示，我們可猜想折痕與曲線為相切的關系，也就是說每條折痕都是曲線的切線.

圖3

師：不錯，我們該如何證明折痕是曲線的切線，且曲線又是橢圓呢？

生4：我們可以從“只有一個公共點”的角度進行探索.

師：要確定切點既位于折痕上，又位于橢圓上，那么在圖3中該如何表達出來呢？

生5：其實折痕即線段AB的垂直平分線，連接OB，并與折痕相交于點C，我們只要證明以下兩點即可：①點C位于橢圓上；②橢圓與折痕之間有且只有一個公共點.

師：該如何證明這兩點呢？

生6：根據垂直平分線的性質，可知OC+AC=OC+BC=OB（半徑），從橢圓的定義出發，可以明確點C位于橢圓上.從折痕上任意取點D（非點C），結合三角形的性質，可知OD+AD=OD+BD＞BO（半徑），由此可確定點D不位于橢圓上.

師：很好！由此可知，有了圓心O和點A后，圓周上的每一點都與一條折痕相對應，也就是每一條折痕都與輪廓線上的某點相對應，這些點連在一起就構成了橢圓.通過以上驗證，我們可以獲得什么結論？

結論1：每一條折痕都與橢圓上的一點相對應，折痕即橢圓的切線.

師：現在我們來討論，如果將圖中的AC視為入射光線，反射面為折痕所在面，那么哪條線為反射光線？

眾生：CO為反射光線.

師：該怎么驗證這個結論呢？

（學生合作交流）

生7：如圖4所示，因為∠1=∠2，∠1=∠3，所以∠2=∠3，由此可以確定入射角與反射角相等，可證明橢圓的光學性質.

圖4

師：由此我們可以獲得什么結論？

結論2：從橢圓的一個焦點發出的光線，在橢圓壁反射后，必經過橢圓的另一個焦點.

設計意圖：師生合作，分析并解決問題的過程，是激發學生探索欲的契機.教師通過對問題的精心設計與耐心引導，讓學生在問題情境中自主動手操作、合作探究，獲得相應的結論.

3.第三個環節：理解促進應用

師：在以上結論的基礎上，我們一起來探討橢圓的切線方程.

例1已知點在橢圓=1上，F1，F2分別為橢圓C的左、右兩個焦點，求橢圓C位于點P處的切線方程.

師：初遇本題，大家會想到用哪種方法來解決這個問題？

生9：從幾何的角度出發，以折紙實驗為解題的突破口.以點F2為圓心，4為半徑的圓的方程為（x-1）2+y2=16，該圓和直線PF2之間存在一個交點B（1，4），BF1的中垂線即為此題待求的切線.

師：非常好！這是以點F2為圓心畫圓的方法，那么我們是否能以點F1為圓心畫圓，并獲得切線方程呢？

生10：可以，以點F1為圓心畫圓，那么該圓和PF1之間有一個交點是，此時B′F2的中垂線就是本題待求的切線，解題過程與上述的解題過程類似.

師：之前我們還研究了光學性質，我們是否可以從這個角度來分析解題？

師：太棒了！大家集思廣益，通過多角度來審視并分析同一問題，不僅加深了對問題的理解程度，還通過多種方法的應用，獲得了一般性的結論.

結論3：倘若點P（x0，y0）位于橢圓C：=1上，且a＞b＞0，那么點P處的切線方程是

師：以上問題是在知道橢圓方程的情況下求切線方程，如果反過來，在知道切線方程的情況下，是否能求橢圓方程呢？

例2已知焦點分別為F1（-1，0），F2（1，0）的橢圓與直線l：x-2y+4=0有且僅有一個公共點，該橢圓的長軸長是多少？

在例1的解題基礎上，學生很快就提出了以下三種解題方法：①用代數法，聯立方程后求解；②用幾何法，設點F1關于直線l的對稱點進行求解；③利用結論3，將切線進行轉化，獲得橢圓的長軸長為4.

設計意圖：例題訓練不僅能夯實學生的“四基”，還能有效地啟發學生的思維，為知識的靈活應用與“四能”的發展奠定基礎.通過以上兩個例題，引導學生從多角度探索問題，不僅拓寬了學生的視野，還有效地突破了學生思維定式的禁錮，讓學生能靈敏地應對各類新的問題，并學會從不同角度分析與思考問題，這種教學方式可以有效地促進學生成為獨具個性的學習者.

4.第四個環節：拓展啟發思考

新課標引領下的數學教學應遵循“以教材為根本”的原則，教師應揣摩編者的意圖，圍繞核心知識組織教學.教材所呈現的知識是靜止的、固化的，但實際教學卻是動態的、多維的.鑒于此，教師在以實驗操作為主導的教學活動中，也要注重知識的拓展和延伸，以增加教育的內涵，凸顯數學教學的價值與意義.

創造性地應用教材，在課堂中根據實際教學需求，對教學內容進行適當的改造和拓展，對培養學生的學習興趣，促進思維發展具有一定的意義.作為教師，需潛心研究學生和知識的特點，通過豐富多樣的教學手段引導學生從不同角度拓寬知識面，讓學生充分理解知識所蘊含的辯證規律和科學精神，感知數學獨有的魅力.

師：大家在紙上畫圓O，并在該圓外取一個定點F，折疊紙片，讓圓周經過點F，展開紙片可得到折痕l（為了看清，可用鉛筆將l勾勒出來）.按照這種方式進行多次折疊，獲得了大量折痕，觀察折痕輪廓，說說得到了什么曲線（見圖5）.

圖5

學生經過觀察、類比、歸納推理，一致猜想所獲得的曲線為雙曲線，證明過程有待于課后研究.

設計意圖：此拓展是對本節課教學主題的深入探究，教師在下課前，巧妙地將培養學生“四能”的活動延伸到課堂之外，隨著問題的提出，再一次有效地調動了學生探究的積極性.在教師的點撥與啟發下，學生的思維經歷了由淺入深、由易到難的發展過程.尤其是此問，不僅具有一定的難度，還是一個典型的開放性問題，對培養學生的數學思維與創新意識有著顯著幫助.

5.第五個環節：總結引發思考

本節課以折紙這個操作實驗作為探索知識的主要手段，對培養學生的“四基”和“四能”具有重要的價值和意義.教學中，實驗的設置、驗證、應用、思考等，都圍繞著“折痕”而展開，每個環節環環相扣、逐層遞進，學生不斷地質疑、釋疑，思維經歷了豐富的猜想、嚴謹的驗證、靈活的應用、類比分析等過程，有效地促進了學生各項數學能力的形成和發展.

通過以上實驗操作的實施，學生不僅學會了用數學的眼光看待生活中的事物，感知生活與數學密不可分的聯系，還獲得了從生活事物中抽象數學模型的能力.尤其是一邊操作一邊描述的教學方法，讓學生學會了用多種方式來解釋身邊的數學現象，為形成良好的數學核心素養奠定了基礎.

教學反思

1.圍繞“四基”和“四能”展開實驗教學

“四基”和“四能”是課堂教學的主要目標，本節課通過五個環節的教學設計，讓學生通過實驗操作經歷了猜想、驗證、理解、應用、拓展、總結、思考等環節，對培養學生的解題能力、問題意識、創新意識等具有顯著的促進作用.反觀這五個環節，都是圍繞培養學生的“四基”和“四能”進行的.

2.教師需站到宏觀的角度引領學生實驗探究

隨著新課改的推進，不論是對教師的教學水平，還是對知識儲備的要求都越來越高.作為高中數學教師，應不斷地增強自身的專業水平，為學生源源不斷地輸入“活水”.本節課的例題源于教材，教師讓學生親歷實踐操作，發現折紙后所形成的輪廓線為一個橢圓，這種觀察更偏感性認識，缺乏理性思考.

其實，折紙實驗后所形成的橢圓，涉及折痕與切線之間的關系，從數學本質上來看，就是要研究二者的一致性，此時的探究具有明顯的邏輯性，符合對知識理性認識的范疇.受時空的限制，有些問題不便于課堂上進行研究，作為教師，應有足夠的知識儲備和能力，將復雜的問題深入淺出地傳授給學生，激發學生的探索欲.

3.用實驗的感性推進理性思維的發展

實驗操作帶給學生的先是視覺沖突，讓學生對知識形成感性認識，這是進行數學推理的基本步驟［3］.如例1讓學生求橢圓上某點的切線，就可以與圓上某點的切線進行類比，獲得切線方程.這種處理方式從邏輯上來看，缺乏一定的嚴密性.而將橢圓方程與直線方程聯立方程組的方法，所獲得的切線方程則屬于理性層面的分析，凸顯了解析幾何的靈魂.

總之，數學實驗為學生提供了動手操作的機會，讓學生充分體驗了知識的再創造過程，從很大程度上提高了學生的學習興趣、動手能力、思維能力、創新意識等.注重實驗操作教學，不僅能讓學生在操作、觀察、思考等層面訓練數學思維，還能有效地提高教學效果，促進數學核心素養的形成和發展.