追求概念教學的自然高效
——以“平面向量的概念與表示”教學為例

冷永飛

江蘇省蘇州市吳中區蘇苑高級中學 215100

數學概念作為數學學科的基礎，是教學的核心，它的教學成效對學生的數學學習有著直接影響.《普通高中數學課程標準（2017年版）》對數學概念與核心素養的關系有了明確的闡述，但仍有部分教師難以掌握新課標所提出的要求，常常誤解教材的實際意圖，忽視概念教學過程中學生思維的啟發與引導，導致學生無法透徹理解概念的內涵與外延，使得教學活動無法進入深層次，只能漂浮于知識表淺層面.

為了有效地啟發學生的數學思維，讓學生自主突破概念的本質，提高教學效益.本文以“平面向量的概念與表示”教學為例，借助課堂教學活動的開展，引領學生充分認識與向量相關的概念，深入概念內在邏輯系統與意義領域，讓學生充分感知平面向量概念的內涵與外延，從真正意義上實現概念教學促進學生有效發展的價值，為促進學生形成良好的數學核心素養夯實基礎.

課前教學分析

長期以來，受綜合因素的影響，不少教師存在“重解題，輕概念”的教學偏見.殊不知，概念是形成數學抽象能力的基礎，是促進學生數學核心素養形成與發展的根本.“平面向量的概念與表示”對于高中生而言，并不難理解，但要在思維上水到渠成地掌握其本質，尚需一番研究.

結合美國匹茲堡大學關于數學課堂高思維水平保持方法的研究與學生的實際情況，本節課從以下七條概念教學基本準則進行了思維啟發，以促進概念的自然形成：第一條，為推理和數學思維鋪設臺階；第二條，提供元認知方法，促進學生的理解；第三條，高水平的操作示范；第四條，對解釋、證明、意義進行著重強調；第五條，將任務建立在學生原有認知水平基礎之上；第六條，建立相關概念間的聯系；第七條，讓學生感知思維的發展對概念形成的幫助［1］.

根據以上七條準則，筆者精心設計了相應的教學方案，現摘錄教學過程，談一些看法與思考，與同人共勉！

教學簡錄

1.抽象概念

眾所周知，問題是數學的心臟，也是概念教學的起點.在概念引入環節設置“問題串”，能有效地激發學生的思維，讓學生擁有明確的思考方向，為自然地抽象出概念做鋪墊.

問題1：利用PPT展示5只手掌與5個蘋果，引導學生感知數“5”（數學源于生活）.

問題2：利用圖文并茂的方式，展示著名的畢達哥拉斯學派的主要學說，提出：“是否能用數表達任意對象？”（萬物皆數）

問題3：利用圖像與文字結合的方式，展示成語“退避三舍”，提出：“是否可用一個數來表達‘只退三舍’的命令？”（引用成語故事）

問題4：展示近期氣象臺所提供的天氣分析氣流圖，找出某城市所在位置上呈現出的刷子形狀，該形狀表示什么？

針對以上四個問題，學生認為問題2、問題3兩問無法直接用數來表達，問題4中的刷子形狀表示風向和風力.

師：問題4涉及的風向和風力所蘊含的實際意義，是否能用一個準確的數來表達？

生1：不能.

師：從以上幾個問題來看，并不是所有的對象都可以用數來表達，當我們遇到類似以上無法用數表達的對象時，該怎么辦呢？大家在物理學科中有沒有遇到過類似的概念？

生2：物理學科中的力、速度、位移、加速度等.

師：聯系數學學科與物理學科，我們發現這些無法用數直接表示的對象存在什么共同點？

生3：既存在方向又存在大小.

師：類似這樣的量，無法直接用數來表達，但從不同的對象中獲取相似信息時，可抽象出新的對象.現在我們一起來探討既有方向又有大小的量，這種對象該用什么方式來表達更合理呢？（引出向量）

評析：以上四個問題的提出到向量概念的引入，共花費了4分鐘的時間，符合概念教學基本準則.四個問題的設計，以學生所熟悉的生活為起點，引導學生自主抽象出數，再帶領學生從一般到特殊，感知并非所有的生活對象都能用數來表達.這是為學生的思維鋪設臺階，讓學生在“問題串”的引導下，發現新的研究對象.

縱覽以上幾個問題，發現這些問題蘊含了豐富的內容，有生活、數學文化等，逐層遞進的問題讓學生的思維拾級而上，學生通過問題的逐個分析，不僅對本節課所學內容有了更加深刻的印象，還能對向量的概念進行高度概括與精準表達.

2.探究概念

師：我國文化源遠流長，我們可以用文字來表達各種事物與現象，那么對于一些特殊的數學對象，可以用什么方法來表示呢？比如我們在方格紙上畫出A到B的向量，該怎么表達呢？

學生到黑板上作圖演示，以A為起點、B為終點，畫一段帶有箭頭的線段.

師生共同總結此圖即為向量的幾何表達方式.此過程雖然清晰，容易理解，卻少了一些數學味.因此，結合教材提示，學生提出用箭頭記號的方式來表示向量（如）或用字母a，b，c，…表示.

生4：例如我們所熟悉的用絕對值表示兩點間的距離.

師：不錯！我們可以將絕對值符號用于“以A為起點、B為終點”的線段嗎？

學生思考，紛紛點頭表示可以，但使用絕對值符號來表示向量的大小與兩點間的距離具有怎樣的區別呢？

經過探索，獲得結論：將向量的大小理解為向量的模或長度，可記作同樣，a的模可以記作

問題5：向量之間是否可以比大小？怎么確定向量的模的取值范圍？

為了突破這個問題，學生對不同大小和方向的向量進行了觀察和研究，一致認為：向量之間無法比大小，向量的模的取值范圍是［0，+∞）.

問題6：從向量的模的取值范圍出發，零向量為長度為零的向量（記作0），單位向量是指長度為一個單位長度的向量.那么，零向量與單位向量具備怎樣的方向特征？

經討論，學生一致同意以A為起點的單位向量，其終點均在一個單位圓上；但對于零向量的方向，學生呈現出了不一樣的意見.

此時，教師帶領學生總結出起點與終點重合是零向量的特征，同時其方向并不固定，是任意方向.

師：現在我們都明確了向量既有大小又有方向，那么究竟該如何描述向量的方向呢？如向量，我們認為它的方向為從A指向B，除此之外，還有什么方法可以進行更加系統、完整的描述呢？比如說咱們將教室里的黑板視為地圖，上方為正北，該如何描述的方向？

操作：要求幾位學生到黑板上作圖，大家一起討論相等向量、平行向量、相反向量的概念，并闡述各個向量所蘊含的實際意義，將討論結果填入表1.

表1

評析：此過程為向量概念的探究過程，涉及概念教學七條準則中除了第四條外的所有準則.教師通過對思維階梯的鋪設，學生獲得了元認知，使得學生自然而然地對向量的幾何表示法產生了形象的理解（用箭頭記號或字母表示向量）.此操作過程由學生自主參與，建構了向量的模的概念，并獲得了向量的模的主要特點，彰顯了數學教學“以生為本”的理念.

表1不僅總結了各類向量的描述方法，并讓學生對各類向量有了更為系統的認識.當學生對向量的大小和方向有了明確的體悟后，教師再引導學生逐個總結各類向量的描述方法，讓學生在自身原有的認知結構的基礎上對每種向量都產生了更深刻的認識.

3.辨析概念

辨析1：判斷以下說法正確與否.

①溫度為向量；②0為向量；③零向量的長度為0，可以為任意方向；④是否為相等的關系，與a，b的方向沒有任何關系.

辨析2：判斷以下說法正確與否.

①如果兩個向量的模是相等的，那么這兩個向量必然也相等；②模相等的兩個平行向量必然是相等向量；③如果a=b，b=c，那么a=c；④任何向量與它的相反向量都不相等.

辨析3：判斷以下說法正確與否.

辨析4：判斷以下說法正確與否.

①模為0的向量為零向量；②向量之間不可以比大小；③若向量a，b為非共線的關系，那么a，b均為非零向量；④起點相同的兩個非零向量一定不平行.

4.經典例題

例1如圖1所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心點，觀察圖中所標出的向量.問題：（1）與共線的向量有哪些？（2）與相等的向量有哪些？（3）和是相等的關系嗎？

圖1

例2如圖2所示，在4×5的方格上，存在向量，若以圖中所示的格點作為起點與終點作向量，有多少向量與相等？與向量長度相等的共線向量存在多少個？（不包含本身）

圖2

評析：概念辨析過程是理清知識脈絡的過程，學生通過對概念的辨析，不僅能強化對概念本質的認識，還能為后繼靈活應用奠定基礎.在辨析概念中，教師將班級成員分為四組，學生可以選擇相應的題組進行回答.不難發現，四組問題分別對應向量概念、相等向量、共線向量、零向量的理解過程.

經典例題的應用，能讓學生對概念的內涵與外延產生更加深刻的理解，為形成良好的解題技巧奠定基礎.此環節，教師讓學生自主作圖，鼓勵學生通過對向量的幾何表示，理解共線向量和相等向量，這里涉及概念教學七條準則中的第四條和第七條.當學生的思維遇到障礙時，教師并不急于揭示正確答案，而是結合課堂教學重點，強調概念的內涵，讓學生在充裕的時間和空間內思考分析，引導學生自主獲得結論.

課堂分析與思考

結合七條概念教學基本準則，本節課在概念探究的環節中，存在6個促進高階思維形成的教學方法，其中，發現問題（概念引入）中存在4個，數學聯結（辨析）中存在2個.多個高階思維水平的啟發，讓學生從最大程度上理解了向量的概念，自然而然地抽象出了概念的本質，并在概念辨析環節讓課堂教學達到了高潮.另一方面，每個探索環節，教師都給予了學生充足的時間和空間，提供了充分的獲得元認知的方法，讓學生在高水平的示范操作中，自主抽象、理解并內化概念.

以上教學過程對七條概念教學基本準則把握得較為合理，從一定程度上保持并啟發了學生的數學思維，讓學生的思維水平上升到了一個較高的階段.毋庸置疑，課堂教學效果也較為顯著，堪稱利用概念教學啟發學生思維的典范.

概念教學是數學教學的核心，是注重過程的教學，應避免平鋪直敘結論式教學帶來的枯燥、乏味.“問題串”是啟發學生思維的載體，教師在概念教學中，不要急于呈現出結論，應為學生搭建更多的平臺，給予學生更多的表達機會，通過梯度問題的設置，推動學生的探索欲，讓學生自主發現、分析并解決問題，讓數學知識的內在聯系充分暴露在學生面前，升華學生對概念的理解［2］.

概念教學基本準則的前四條，既彰顯了教師的示范水平，又展示了學生高階思維能力.因此，在教學過程中，教師應盡可能地幫助學生建構新知與舊知之間的聯系，鼓勵學生在自主分析和思考中抽象出相應的概念，亦可通過變式訓練等方式強化學生對概念的理解.概念教學基本準則的后三條，雖然容易實現，卻容易被忽略.

總之，概念教學是高中數學教學的關鍵，是培養學生數學核心素養的最佳途徑.每位一線數學教師都應從思想上重視概念教學，從行動上著手概念教學的研究，為學生搭建更優的學習平臺，讓每位學生都能在概念學習中獲得可持續性發展的學習能力.