關(guān)注數(shù)學(xué)建模 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

蔣順良

四川省甘孜州民族干部學(xué)校 626700

雖然高中生已具備一定的模型意識(shí)和建模能力，然從總體來(lái)看其建模能力還是很薄弱，尤其在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)容易出現(xiàn)思維障礙.究其原因，與教學(xué)習(xí)慣密切相關(guān).教師為了追求教學(xué)效率很少組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，認(rèn)為數(shù)學(xué)建模所需時(shí)間長(zhǎng)、見(jiàn)效慢，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間有限，學(xué)生的主要精力應(yīng)該集中在解題上.可見(jiàn)，傳統(tǒng)教育模式并未真正地退出歷史舞臺(tái).不可否認(rèn)，從短期效益來(lái)看，傳統(tǒng)教學(xué)模式有其得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，但學(xué)習(xí)的目的并不是為了“高分”，“學(xué)以致用”才是真正的目的，因此這要求教師在教學(xué)中不能拘泥于眼前利益，應(yīng)該站在更高的角度來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的抽象和簡(jiǎn)化，其更具現(xiàn)實(shí)意義，更有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，更有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維能力，因此教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要從實(shí)際需求出發(fā)，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維為目的，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

關(guān)注學(xué)生的實(shí)際需求

實(shí)踐證明，傳統(tǒng)的教學(xué)模式單純地從應(yīng)試角度出發(fā)，未考慮學(xué)生的實(shí)際需求，在學(xué)生的潛意識(shí)里認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的就是考一個(gè)好成績(jī)，成績(jī)就是衡量一切的標(biāo)準(zhǔn)，這樣使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)于單一、乏味，思維發(fā)展的空間較窄，不利于學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，故在培養(yǎng)學(xué)生的建模能力時(shí)需要從實(shí)際需求出發(fā)，多鼓勵(lì)學(xué)生“做中學(xué)”，讓學(xué)生了解自己在做什么，這樣在目標(biāo)的指引下學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性才能真正地調(diào)動(dòng)起來(lái)，進(jìn)而有利于課堂生成.那么，如何引導(dǎo)學(xué)生“做中學(xué)”呢？教師設(shè)計(jì)和選取教學(xué)實(shí)例時(shí)要從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，切實(shí)符合學(xué)生的需求，只有這樣學(xué)生才能自覺(jué)地參與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，從而潛移默化地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.同時(shí)，實(shí)例的選擇應(yīng)該是有價(jià)值的，不能為了建模而選取偽科學(xué)的內(nèi)容，要知道建模的目的是解決實(shí)際問(wèn)題，若實(shí)例是偽科學(xué)的，有悖客觀真理，那么就失去了建模原本的價(jià)值，得不償失.

2018年高考江蘇卷第17題以生活中較為常見(jiàn)的溫室大棚為背景，突出考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)建模能力，該題涉及的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法較多，非常具有典型性.因此在一輪復(fù)習(xí)中，為了提高學(xué)生的實(shí)際解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，教師以該題為例，采用多種方法進(jìn)行了講解，并總結(jié)了解決這類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的處理方法，課堂反饋較好.但隨后，在一次模擬考試中，也有一道解決實(shí)際問(wèn)題的題目，學(xué)生的準(zhǔn)確率并不高，而且又涌現(xiàn)出了許多新問(wèn)題.可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)該類(lèi)型的題目并沒(méi)有真正學(xué)懂吃透，因此有必要從學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，重新進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而幫助學(xué)生掃清思維障礙，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì).

例題如圖1所示，以x軸為地平面，y軸垂直于地平面（單位長(zhǎng)度為“千米”）建立直角坐標(biāo)系xOy.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，已知炮彈的運(yùn)行軌跡方程為y=kx－（1+k2）x2（k＞0），其中k與發(fā)射方向有關(guān).

圖1

（1）求炮的最大射程（即炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)）；

（2）若在第一象限有一不明飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)不明飛行物的橫坐標(biāo)a在什么范圍內(nèi)，炮彈可以將其擊中？

解題中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生的解題思路是正確的，但是應(yīng)用模型策略時(shí)因選擇不當(dāng)而出現(xiàn)了錯(cuò)誤，究其原因是學(xué)生沒(méi)有真正地理解題意，解題時(shí)出現(xiàn)了盲目套用，產(chǎn)生了解題障礙.

教師講解本題前先引入學(xué)生的原解作為教學(xué)情境，通過(guò)展示錯(cuò)解激發(fā)學(xué)生一探究竟的熱情.從原解來(lái)看，很多學(xué)生遇到了計(jì)算問(wèn)題，出現(xiàn)了思維定式，因此教師有必要帶領(lǐng)學(xué)生找到問(wèn)題的根源，進(jìn)而進(jìn)行合理的疏導(dǎo).

順應(yīng)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)是一門(mén)非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，要學(xué)好數(shù)學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，這樣解題時(shí)才能做到有理有據(jù)，使問(wèn)題朝著正方向進(jìn)行遷移，因此教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展.

由學(xué)生的原解可以看出，造成第（1）問(wèn)出錯(cuò)的原因是學(xué)生并沒(méi)有真正理解k為隱含變量，錯(cuò)把變量k當(dāng)成了常量.對(duì)于第（2）問(wèn)，大多數(shù)學(xué)生并未搞清楚問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)題意理解錯(cuò)誤，其實(shí)第（2）問(wèn)與第（1）問(wèn)在本質(zhì)上是沒(méi)有區(qū)別的，學(xué)生還沒(méi)有搞清楚題目到底要求什么就進(jìn)行了盲目模仿和套用，可見(jiàn)學(xué)生并沒(méi)有形成良好的反思習(xí)慣，學(xué)習(xí)過(guò)于表面化.

解決以上問(wèn)題時(shí)，學(xué)生更希望教師能夠在錯(cuò)解的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，幫助他們完善解題過(guò)程，進(jìn)而掃除思維誤區(qū)，故教師可以帶領(lǐng)學(xué)生按照原有的解題思路繼續(xù)求解.

解法1思路簡(jiǎn)單，符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，然從解題過(guò)程可以看出該方法運(yùn)算量巨大，若解題過(guò)程中學(xué)生不善于應(yīng)用換元法，不關(guān)注分母的有理化，很容易造成運(yùn)算中斷，可見(jiàn)該方法并不是最優(yōu)的解決方案，至此學(xué)生自然想探究其他方法，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

關(guān)注解題能力

若要提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，只有深入問(wèn)題的本質(zhì)去理解和把握，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

通過(guò)上面的分析已經(jīng)知曉學(xué)生并沒(méi)有注意k為隱性變量，因此解題時(shí)沒(méi)有將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，從而造成了求解困難.在解決第（2）問(wèn)的命中問(wèn)題時(shí)，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的二元方程有正解，或者轉(zhuǎn)化為不等式有解的問(wèn)題，然學(xué)生沒(méi)能理解題意也沒(méi)有進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，最終導(dǎo)致解題失敗.根據(jù)題意可知，k的取值影響曲線(xiàn)的特征，故k應(yīng)為本題的主元.分析至此，可以引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，利用方程有正解的思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

顯然，通過(guò)合理的轉(zhuǎn)化，解題思路更加清晰，有效避免了煩瑣的運(yùn)算，可見(jiàn)，合理建模有利于提高解題效率.

關(guān)注多方位探究

思維是具有一定的差異性和廣泛性的，探究同一問(wèn)題時(shí)可以從多個(gè)角度，對(duì)同一對(duì)象有多種表達(dá)方式，因此解決問(wèn)題時(shí)不要拘泥于一種解決方案.當(dāng)思維受阻時(shí)，或運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜時(shí)要及時(shí)修改原來(lái)的解決策略，進(jìn)而從問(wèn)題的客觀實(shí)際情況出發(fā)，多方位探究數(shù)學(xué)建模方向，助力思維發(fā)展.

學(xué)生還可以應(yīng)用均值不等式等多種方法進(jìn)行求解，通過(guò)“多解”來(lái)豐富解題經(jīng)驗(yàn).同時(shí)，通過(guò)對(duì)比觀察讓學(xué)生感受不同解法的魅力，從而在解題過(guò)程中善于從不同角度去思考問(wèn)題，依據(jù)個(gè)人實(shí)際情況選擇與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題逐漸變得具體、熟悉，以便順利求解.

值得注意的是，在解題過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)入手，善于從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，注意識(shí)別知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生批判性思維.同時(shí)，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要有目的性，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的邏輯思維發(fā)展，避免就題論題式的分析而忽視認(rèn)知體系的建構(gòu)，那樣不僅容易使思維產(chǎn)生惰性，而且不利于建立完善的認(rèn)知體系，也會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力的提升.

總之，教學(xué)中要關(guān)注思維的發(fā)展，重視思維品質(zhì)的培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)模型逐漸走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，融于數(shù)學(xué)教學(xué)，這樣可以使無(wú)聊的公式和定理變得生動(dòng)起來(lái)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力大幅度提升.