以解題教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合發(fā)展學(xué)生學(xué)力
——兼對(duì)數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的現(xiàn)狀分析

2022-10-16 03:01:28房兵

數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 2022年27期

房兵

江蘇省蘇州大學(xué)附屬中學(xué) 215006

學(xué)力發(fā)展是初中、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，學(xué)力既體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)新知的建構(gòu)上，也體現(xiàn)在面對(duì)數(shù)學(xué)試題時(shí)能夠準(zhǔn)確確定解題方向、準(zhǔn)確尋找解題工具上.學(xué)力的發(fā)展依賴數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)，數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)的精髓，其在提升學(xué)生解題能力、培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)等方面發(fā)揮著不可估量的作用.

首先，有利于解題能力的提升.面對(duì)抽象的“數(shù)”，學(xué)生常感覺記憶和理解都較為困難，容易出現(xiàn)混淆和遺忘，然“形”是直觀的，二者有機(jī)結(jié)合可以實(shí)現(xiàn)化抽象為直觀的目的，方便學(xué)生更好地記憶和理解.同時(shí)，若同一知識(shí)點(diǎn)可以從“數(shù)”和“形”兩種形式加以表述，更有利于學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，掌握問題的來龍去脈，進(jìn)而優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知.

其次，有利于思維能力的發(fā)展.“數(shù)”與“形”分別是抽象思維與形象思維的代表，將二者有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生可以多角度、多層次、全方位去思考問題，有助于培養(yǎng)多向性思維.

另外，數(shù)形結(jié)合可以打破傳統(tǒng)的“填鴨”教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)動(dòng)手“畫圖”的樂趣，進(jìn)而激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生有更多的空間展示自己、發(fā)展自己.筆者分析了目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的現(xiàn)狀，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐闡述了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用價(jià)值，以期師生可以更加全面地認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的作用，提升數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí).

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的現(xiàn)狀分析

數(shù)形結(jié)合雖然得到了廣泛的重視，然其在應(yīng)用中仍存在一些不足.梳理這些不足，是為了后續(xù)的教學(xué)中能夠揚(yáng)長避短，能夠更有針對(duì)性.經(jīng)過梳理，數(shù)形結(jié)合的不足可以歸納為如下三點(diǎn)：

（1）僅重視“以形助數(shù)”.從日常解題中可以看出，學(xué)生應(yīng)用該方法時(shí)僅局限于“以形助數(shù)”，其主要原因是解題教學(xué)中側(cè)重將“數(shù)”用“形”來表達(dá)，忽略了“數(shù)”對(duì)“形”的影響，進(jìn)而使數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用過于局限和保守.

（2）僅視為解題工具.根據(jù)調(diào)研和學(xué)生反饋不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合主要應(yīng)用于解題教學(xué)中，而新授課中應(yīng)用較少，故學(xué)生僅將其視為解題工具，限制了數(shù)形結(jié)合思想的形成.究其原因是教師對(duì)教材把握不夠，忽視了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義，使得教學(xué)中習(xí)慣照本宣科，不重視對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的挖掘與滲透，限制了學(xué)生思維的發(fā)展.

（3）應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng).學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合在解題中的作用，然學(xué)生因知識(shí)掌握不全面、對(duì)代數(shù)的幾何意義的理解不到位、主觀上感覺作圖浪費(fèi)時(shí)間……在這些主客觀因素的影響下，限制了數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展.

基于以上三點(diǎn)分析，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是解題教學(xué)，要發(fā)揮好數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，就要充分認(rèn)識(shí)到學(xué)生應(yīng)用的不足之處，進(jìn)而采用行之有效的教學(xué)手段加以引導(dǎo)，以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)力全面提升.

數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

1.代數(shù)問題幾何化

解決一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、計(jì)算較為煩瑣，有時(shí)還需要分類討論的代數(shù)問題時(shí)，可以嘗試轉(zhuǎn)換思路，從代數(shù)的幾何意義出發(fā)，將其轉(zhuǎn)化為幾何圖形，這樣往往可以簡(jiǎn)化解題步驟，使解題思路更加清晰明了.

題目解析：顯然直接計(jì)算難以求解，根據(jù)題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，可以將集合A與集合B的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓與直線的位置關(guān)系.由A∩B≠可知，直線與圓必有交點(diǎn)，分析至此，解題思路打開了，問題求解也就水到渠成了.

圖1

評(píng)注：本題為一道綜合題，其在形式上考查的是集合問題，然求解過程中卻需要應(yīng)用不等式和圓方程的相關(guān)知識(shí).本題求解的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的表征，運(yùn)用對(duì)圓方程及直線方程的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題向幾何問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到“以形助數(shù)”的目的，使計(jì)算更簡(jiǎn)單，求解更方便.

2.代數(shù)問題直觀化

線性規(guī)劃問題是高考的核心考點(diǎn)之一，表面上看是不等式問題，然實(shí)則考查的是與直線相關(guān)的知識(shí)，因此解題時(shí)只有將其合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能輕松解決問題.

例2已知變量x，y滿足約束條件且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n=（）

A.8 B.7 C.6 D.5

題目解析：例2若想順利求解，首先就要根據(jù)約束條件畫出對(duì)應(yīng)的圖形，通過觀察找到可行域，即圖2所示的陰影部分.由圖2可知，直線y=－1交直線x+y=1 于點(diǎn)A（2，－1），交直線y=x 于點(diǎn)B（-1，-1）.作直線l：z=2x+y，則z為直線l在y軸上的截距.當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，－1）時(shí)，截距最大，此時(shí)z的最大值m=3；當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B（－1，－1）時(shí)，截距最小，此時(shí)z的最小值n=－3.故m－n=6，因此答案是C.

圖2

評(píng)注：例2為一個(gè)線性規(guī)劃問題，解題時(shí)將條件轉(zhuǎn)化為圖形，進(jìn)而找到可行域，接下來移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y達(dá)到題目的要求.此方法也是解決線性規(guī)劃問題的一個(gè)通用解法，通過轉(zhuǎn)化可使已知更直觀，問題更清晰，解題更簡(jiǎn)便.

3.巧妙構(gòu)造，靈活轉(zhuǎn)化

利用構(gòu)造法往往可以解決數(shù)學(xué)上的一些難題和怪題，其應(yīng)用及實(shí)現(xiàn)方式都較靈活，可以應(yīng)用于不等式、分式、函數(shù)等多個(gè)知識(shí)體系.雖然構(gòu)造法沒有固定的模式可以套用，然其并非夠不到、摸不著，要善于在日常練習(xí)中總結(jié)歸納，進(jìn)而使其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).另外，構(gòu)造法雖然實(shí)現(xiàn)方式靈活，然不能隨意運(yùn)用，首先，要有明確的目的性，要知道構(gòu)造什么，想要達(dá)到什么效果；其次，要理清問題特征，依據(jù)題目特征進(jìn)行構(gòu)造，而非因構(gòu)造而構(gòu)造.構(gòu)造法在數(shù)形結(jié)合中應(yīng)用廣泛，筆者列舉下面兩個(gè)實(shí)例，以引起學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的重視.

（1）借助構(gòu)造法挖掘代數(shù)的幾何意義.

例3已知x，y，z均為正數(shù)，求證：

題目解析：當(dāng)看到例3時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都想利用代數(shù)法直接兩邊平方進(jìn)行求解，思路簡(jiǎn)單但計(jì)算量大，出錯(cuò)的概率高，因此需要嘗試從其他思路求解.

圖3

評(píng)注：學(xué)生解題時(shí)要避免就題論題，應(yīng)仔細(xì)審題，認(rèn)真聯(lián)想，挖掘題目中隱藏的信息.本題雖是代數(shù)問題，卻存在著隱藏的幾何信息.本題求解時(shí)巧妙地應(yīng)用了隱藏的幾何信息，通過構(gòu)造法挖掘出代數(shù)問題更多的幾何意義，借助幾何圖形使問題簡(jiǎn)單化，通過構(gòu)造法修建了一條從“數(shù)”到“形”的高速路，使問題更加生動(dòng)直觀.

（2）構(gòu)造函數(shù)活用其圖像與性質(zhì).

例4解關(guān)于x的不等式：＞x+a.

題目解析：為一個(gè)抽象不等式，直接求解難以打開思路，而構(gòu)造函數(shù)往往會(huì)收到意外驚喜.

圖4

評(píng)注：將不等式左右兩邊構(gòu)造成學(xué)生熟悉的函數(shù)模型，構(gòu)造后原問題轉(zhuǎn)化成了求兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，這是處理不等式數(shù)量關(guān)系最常用、最簡(jiǎn)單的方法.教師在教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法和解題策略的經(jīng)驗(yàn)積累，有了解題經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生遇到相關(guān)問題時(shí)才能通過合理聯(lián)想進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，使題目的求解思路更清晰，求解更容易.

本題通過構(gòu)造法將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，即利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像打開解題的突破口.利用構(gòu)造法將不等式中的“數(shù)”與函數(shù)中的“形”結(jié)合起來，便于拓展學(xué)生的解題思路，使學(xué)生可以更好地從整體去把握問題，有利于解題效率的提升.直觀的圖像是解決抽象問題的通用工具，教師在教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)和滲透，進(jìn)而讓靈活多變的構(gòu)造法更好地服務(wù)于抽象問題.