關注統計意義，重構百分數教學

○楊志宇

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》將百分數由“數與代數”領域調整到“統計與概率”領域，具體的要求也隨之發生變化。

內容要求：結合具體情境，探索百分數的意義，能解決與百分數有關的簡單實際問題，感受百分數的統計意義。

學業要求：能在真實情境中理解百分數的統計意義，解決與百分數有關的簡單問題。

在日常教學中如何讓學生感悟百分數的統計意義？分數、倍和比也可以表達兩個數量的倍數關系，為什么還要學習百分數呢？這些問題值得我們深思與探討。

【教學回放1】

課件呈現軟件安裝程序進度（已安裝14%）、衣服面料的成分（含棉量85%）。

師：你在哪里還見過這樣的數呢？

（學生依據自己的生活經驗，說生活中常見的百分數。）

師：像14%、85%、50%……這樣的數叫做百分數。

師：百分數表示一個數是另一個數的百分之幾。

師：誰能結合具體情境說一說這幾個百分數分別表示什么意思呢？

【診斷分析】

百分數是兩個數量倍數關系的表達，既可以表達確定數據，如軟件安裝進度、衣服面料的成分等，又可以表達隨機事件，如套圈游戲中某學生的命中率、某城市霧霾天數所占比例等。用百分數表達兩個數量的倍數關系時，既可以表示部分量與總量的關系，這時百分數小于或等于100%；也可以表示兩個獨立量的關系，這時百分數可以大于100%。上面教學案例中僅涉及了部分量與總量的關系，在教學中還應關注兩個獨立量的倍數關系的表達。除此之外，教學中我們往往忽略百分數對隨機數據的表達，而這正是百分數統計意義的重要體現。

【教學重構】

課件呈現學生套圈游戲中李明和張強的套中次數，分別是9 次和5 次。

師：誰套圈的水平更高呢？

生：不知道他們套圈的總次數是不是相等，沒有辦法比較。

課件繼續呈現李明和張強的套圈總次數，分別是20 次和10 次。

師：現在大家能判斷誰套圈的水平更高了嗎？

生：用套中的次數除以套圈的總次數，比較套中的次數占套圈總次數的幾分之幾就可以了。

師：王勇和劉杰的數據也有了，我們快來看看他們的表現吧。

課件呈現：王勇套了15 次，套中6 次；劉杰套了25 次，套中12 次。

師：他們四人誰的套圈水平更高呢？

生：需要先計算王勇和劉杰套中的次數占套圈總次數的幾分之幾，再比較。

生：把四個分數轉化為同分母分數需要求20、10、15、25 的最小公倍數，這太麻煩了。

生：這是四名同學參加套圈游戲，如果更多同學參加套圈游戲，比較套圈水平的高低就更麻煩了。

課件呈現四人的命中率：李明45%，張強50%，王勇40%，劉杰48%。

師：現在你能看出誰的命中率高嗎？

生：不僅能一眼看出張強的命中率最高，而且可以很方便地看出第二名至第四名分別是劉杰、李明、王勇。

師：如果再進行一輪套圈游戲，每個人套圈的總次數不變，他們的排名還會是這樣嗎？

生：可能會發生變化，每次套中的情況可能不同，但隨著套圈次數越來越多，他們每個人的命中率會越來越穩定。

創設真實的生活情境，在解決數學問題的過程中激活學生已有的生活經驗和知識經驗。比較四名同學在套圈游戲中的命中率，讓學生在學習分數的基礎上繼續學習百分數，感受分數與百分數的共性與區別，體會學習百分數的必要性。最后，教師引導學生思考：“如果再進行一輪套圈游戲，每個人套圈的總次數不變，他們的排名還會是這樣嗎？”使學生感受百分數對隨機數據的刻畫與表達，感悟百分數的統計意義，形成初步的數據意識。

上面的命中率是部分與整體的倍數關系的表達，在教學中還應關注百分數表達兩個獨立量之間倍數關系的作用。

課件呈現：楊老師家七月份用電量是六月份的（ ）。

師：括號中可以填80%、100%、120%中的哪個呢？

生：可能是120%。因為七月份天氣炎熱，使用空調的時間比較長，所以七月份用電量比六月份高。

生：也可能是80%。暑假期間楊老師可能會外出旅游，這樣不在家的天數會比六月份多，所以也有可能是80%。

生：也可能是100%。這樣的話，六、七月份的用電量就完全相等了。不過這種情況很少發生。

師：大家能夠根據實際情況，合理運用百分數表達兩個月用電量的關系。看起來你們已經100%學會了本節課的知識。老師還有一個問題，剛才套圈游戲中的命中率可以是100%嗎？

生：可以。每次都套中，命中率就是100%。

師：命中率可能是120%嗎？

生：不可能。因為套中的次數最多與套圈的總次數相等，所以命中率不會超過100%。

師：套圈的命中率不會超過100%，但七月份的用電量與六月份相比可以超過100%，這是怎么回事呢？

生：套中的次數是套圈總次數的一部分，不會超過套圈總次數，所以這種情況不會超過100%。

生：七月份用電量與六月份用電量不是部分與整體的關系，而是兩個相互獨立的量。如果七月份用電量超過六月份，那么七月份用電量和六月份相比就會超過100%。

生活中經常用百分數表達兩個數量的倍數關系，這兩個量既可以是部分量與總量，也可以是兩個獨立的量。在百分數學習中，既要創設小于或等于100%的數據，也要設計大于100%的數據，引導學生更加全面地認識百分數。

【教學回放2】

師：分數和百分數都可以表達兩個數量的關系，分數與百分數有什么相同和不同之處呢？

生：分數和百分數都可以表示一個數是另一個數的幾分之幾，百分數在比較時更方便。

生：分數除了表示兩個數的關系，還可以是一個具體的數。分數表示一個具體的數時可以帶單位名稱。百分數僅表示兩個數的倍數關系，不能帶單位名稱。

師：這兩個數能改寫成百分數嗎？

【診斷分析】

由于百分數和分數從意義上有相似之處，在日常教學中教師往往很重視分數與百分數的比較，分析它們的共性與差異。除此以外，倍、比等也可以表達兩個數量的倍數關系，百分數的練習設計也應關注這些知識與百分數的關系，溝通知識之間的聯系，構建知識網絡。

【教學重構】

師：百分數能夠表達兩個數量的倍數關系。還有什么也可以表達兩個數量的倍數關系呢？

生：倍、分數和比。

師：分數與百分數有什么相同和不同之處呢？

……

師：你能把下面的倍或比轉化成用百分數表示嗎？

課件呈現：某飯店周六的營業額是周五的2倍；一杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比是1∶9。

生：某飯店周六的營業額是周五的2 倍。也可以說，某飯店周六的營業額是周五的200%。

生：一杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比是1∶9。也可以說，蜂蜜占整杯蜂蜜水的10%。

師：既然倍、分數和比都可以表達兩個數量的倍數關系，為什么還要學習百分數呢？

生：在進行數據比較時，百分數更方便。

在比較共性與差異的基礎上，加深學生對百分數的理解，引導學生主動構建知識網絡，用聯系的觀點學習數學知識。