促進數學習題課教學有效性的實踐與思考

張 晨

(南京市第九中學，江蘇南京，210000)

1 數學習題課教學現狀

現階段，不少中小學老師仍然習慣將過去的“題海戰術”作為指導數學的教學規律和高考應試訓練的法寶，因為他們始終堅信“熟能生巧”.但是過度的練習只會讓學生“熟能生厭”，使學生不想學習，阻礙其發展.在這種比較傳統枯燥的高中數學的教學訓練方式下，學生雖然能夠較迅速快捷地理解識別考試題型、套用各種解題策略的思維技巧方式和學習方法，但是對于應用普通數學知識工具去直接解決現實生活場景中遇到的某些實際的問題時，他們往往變得束手無策.最終會導致許多學生只能停留在機械模仿的層面上進行解題，不利于學生的思維能力、創新意識及應用能力的培養和提高，從而使素質教育很難真正落實.

通過對多年實驗研究探索后發現，在陳舊落后的學校，傳統的數學習題課業測驗及教學評價思維模式體系中加入一些富有啟發性、開放性、探究性問題，可以在很大程度上，有效彌補學校在傳統的數學紙、筆、題、作業等測驗考查形式框架中的封閉性，試題體系固有存在的種種教學功能及不足，從而提高數學習題課的教學有效性.在進行高中數學新課程實驗教學研究工作中，教師發現：如若教師們能及時系統地按現行考試指導大綱要求，結合現有高中階段通用各種版本教材，經常針對性地和適時而定量性地去對其教材某些基礎定理、例題等一一去作比較，進行認真地、詳細地、系統地和透徹地剖析，編擬好其中一些題目難度系數適中、形式十分活潑和多樣新穎的且都十分能吸引學生思考特點的開放性、探究性題目，讓學生開動腦筋去探究及思考，這將會對提高課堂教學氣氛、激發培養起學生課外自主學習與探究的興趣、培養并提高學生課外自主思維創造技能及創造思維能力等會起到一個十分正面、積極的作用，使數學習題課真正體現課程改革的理念.

2 開放性問題

開放性問題，是指一個相對較于一般那些考查條件較完備、結論相對確定可靠的封閉式研究問題類型而言，在具體設問和方式研究上也要求具有多角度、多層次研究的開放型問題.開放性數學問題，或條件結論均不完全唯一，或已知條件皆不十分完備，或未知條件和未知結論都比較開放，徹底上改變了中國傳統開放性數學題思維的一種封閉的形式，容易充分激發了學生思維探求的欲望，誘導著學生主動離棄他們原有固定的傳統思維軌道，從不同學科的認知角度、尋求以不同思維的途徑去解決這些問題，為新世紀學生個性化的開放數學問題學習的活動探索創造提供了另外一種充滿探索未知、富有探索挑戰意識的思維新的環境，讓開放式數學的學習活動真正成為了一個生動的、主動參與的、個性表達的學習過程.

2.1 設計結論開放性問題

例1已知定義在R上的函數f(x)不是常值函數，滿足以下兩個條件：①f(1+x)=f(1-x)；②對任意x1∈R，均存在x2∈R使得f(x1)=2f(x2)成立；則函數f(x)=.(寫出一個符合條件的答案即可)

本題條件中僅給出了函數滿足的兩個性質，需要學生根據性質，寫出符合條件的一個函數.要求學生對于函數的對稱性和取值范圍有比較深刻的認識，能夠靈活的使用.

2.2 設計條件開放性問題

例2設數列{an}的前n項和為Sn，，若bn=an·2an，求數列{bn}的前n項和.請在以下三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并進行解答.

本題在推導an的通項公式時，學生可以自由選擇，可以選擇an與Sn的關系，可以選擇an的相鄰項之間的關系(差的關系，或者是商的關系).而這幾種得到通項公式的方法，都是學習過程中的重點內容，學生可以根據自身具體情況，選擇最擅長的方法進行求解.

2.3 設計條件和結論都開放性問題

例3如圖，某公園內有一條寬為100米的筆直的河道(假設河道足夠長)，現擬在河道內圍出一塊直角三角形區域養殖觀賞魚.三角形區域記為△ABC，A到河兩岸的距離AE,AD相等，B,C分別在兩岸上，AB⊥AC.為方便游客觀賞，擬圍繞△ABC區域在水面搭建景觀橋.為了使觀景橋的總長度L(即△ABC的周長)最短，工程師設計了以下兩種方案，請從中自選一種解答.

方案1：設∠ABD=α，求出L關于α的函數解析式f(α)，并求出f(α)的最小值.

方案2：設EC=x米，求出L關于x的函數解析式g(x)，并求出g(x)的最小值.

在解三角形問題中，用角表示和用邊表示三角形中的邊角關系，本身就是非常重要的兩種思考問題的角度.本題以開放的形式，讓學生自己選擇研究的角度，是用邊表示，還是用角表示？是用正弦關系，還是用余弦關系？

開放題的條件可以是一般性的規則，也可以是一段材料，常常在細微之處體現編題的功夫.開放題的解答和編制過程，是建構認知的全過程，能充分體現答題人或編題人的能力，這不是由套路可以直接辦到的.因此，編制開放題的要求和難度要大于編制其他題.作為教師，要在習題課的教學中充分發揮其作用，讓各類題目取得匹配作用和綜合效應，進而最大可能地發揮數學題的教學作用，實現數學習題具有的最大數學教育價值，以此提高數學習題課的教學有效性.

3 探究性問題

探究性問題是指給學生提供一定的數學事實，要求學生歸納、探索出一定的數學結果.它的主要特點在于條件和結論有可能都是需要自己去發現的，有時還不是唯一的.這一類綜合試題解法的合理求解過程應更加富于思維創造性，有助于真正調動高三學生復習的主觀學習與積極性，激發高考學生良好的自主求知欲力和學習進取創新精神.

3.1 給出題設條件，但結論未指明，或者只給出結論范圍，但要求解題者作出判斷或選擇

例4設函數f(x)對于x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時，f(x)<0,f(1)=-2.

(1) 說明函數f(x)是奇函數還是偶函數？

(2) 探究f(x)在[-3， 3]上是否有最值？若有，請求出最值，若沒有，說明理由.

本題的第(2)問要探究函數f(x)在區間上的最值，前提是學生先能主動發現函數f(x)自身具備單調性和奇偶性，在應用這兩項性質的基礎之上，再去進一步研究函數的最值問題.所以需要學生對于函數的一般性質有一定的研究基礎，給自己后面的研究尋找一些必要的臺階.

3.2 給出題目結論，但沒有給出或部分給出題目的條件，要求給出或補充使題目成立的條件

例5已知函數f(x)=e2x-8ex+6x，若曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線與該曲線有且只有一個公共點P，則以下選項中滿足條件的x0可以是( )

A. -ln 2 B. ln 2 C. ln 4 D. ln 5

本題中給出了最后需要滿足的結論，學生可以通過結論反過來推出滿足條件的x0需要滿足的范圍，從而進行選擇.也可以將四個選項中的x0依次代入條件，正面研究此時是否符合最后的結論.正向思維和逆向思維，都是數學學習過程中需要培養的思維方式，學生可以通過這種方式進行自主的強化.

3.3 給出了一些特殊的情況，要求考生歸納、猜測這些一般情況結論并最后給出證明

例6設fk(x)=sin2kx+cos2kx(x∈R)，

(1) 求fk(x)在k=1, 2, 3時的值域；

(2) 猜想k∈N*時fk(x)的值域(結果用k表示)；

(3) 對于(2)中的值域的結論，試用二項式定理給出證明.

本題需要學生細心觀察k=1， 2， 3時的三個結果，大膽猜測k∈N*時fk(x)的值域，要求學生具備很強的歸納推理的能力.而后面的證明過程，則需要結合二項式定理中的相關結論.“大膽猜測，小心求證”本身就是數學學科發展的主要途徑，因此從這個方面給予學生一定的探究指導，對于其后續的成長發展都是有好處的.

4 展望

數學基礎教育，是一門著重關注如何培養高中生數學思維模式與能力的教育學科，有效且扎實深入地推進高中數學基礎階段教學，更應該著重注意讓學生們在能夠學到掌握一定高中數學知識方法規律的同時，滲透學習數學思維方式，數學思想與現代基本生活數學觀念.

新課程實踐教學過程強調高效課堂，有效教學，而對如何去提高整個高中數學課程實踐教學過程工作質量，又更需要在我們最大程度去發揮有效課堂勞動；有效教學過程輔助教學功能發揮效率與作用，減少由于課堂無效教學與無效的課堂互動之間所造成的時間浪費，減輕了高中學生對課外的學習與勞動時間的無謂緊張和強度，提高了有效的課堂與有效的教學之間的總體效率，達成基礎教育新課程整體育人水平的總目標.在中學數學習題課中，如能合理地加入一些有利于培養與考查學生創新意識、創新思維和應用能力的開放性問題、探究性問題，則可以更好地提高習題課的教學有效性，真正關注學生自身的各項能力發展，從而更好地培養學生的探索精神和創造能力.

有效科學的教學理念能夠真正激活沉睡多年的潛能，開啟被封存起來的記憶.教學無止境，在新課程教學的道路上我們還有很多方面需要去探索和實踐.