基礎(chǔ)激勵下轉(zhuǎn)子-軸承-支座系統(tǒng)動力學特性研究

徐敬崗，鄧景珊，李 峰

（1.上海大學機電工程與自動化學院，上海 200444；2.常州工程職業(yè)技術(shù)學院智能制造學院，江蘇常州 213164；3.江蘇理工學院電氣信息工程學院，江蘇常州 213001）

旋轉(zhuǎn)機械廣泛應用于汽車、船舶以及航空航天等領(lǐng)域。一些旋轉(zhuǎn)機械，其基礎(chǔ)是運動的，難免會遇到外部激勵的情況。例如爆炸沖擊和波浪作用的艦船燃氣輪機，地震時地面上的旋轉(zhuǎn)機械以及行駛汽車上的傳動軸系，當前，基礎(chǔ)激勵下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動問題是學術(shù)研究的熱點方向之一。

Dakel等[1-2]通過有限元法研究了偏心質(zhì)量和基礎(chǔ)運動耦合作用對軸系臨界轉(zhuǎn)速和軸心軌跡的影響規(guī)律。Duchemin等[3]通過理論和實驗綜合研究了軸系在臨界轉(zhuǎn)速附近時基礎(chǔ)運動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。Fawzi 等[4]分別研究了線性和非線性支承下基礎(chǔ)激勵對轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)動力學響應的影響規(guī)律。Edwards 等[5]通過試驗分析了柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵下的動態(tài)特性，獲得了基礎(chǔ)激勵參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響規(guī)律。Yan 等[6]選取了Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，考慮了基礎(chǔ)位移載荷，通過集中質(zhì)量法研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學響應特性。顏文忠等[7]基于轉(zhuǎn)子-支撐-基礎(chǔ)系統(tǒng)試驗裝置，研究了基礎(chǔ)振動幅值和頻率對轉(zhuǎn)子橫向振動行為的影響規(guī)律。祝長生[8]通過帶有主動電磁軸承轉(zhuǎn)子試驗臺，研究了電磁軸承基礎(chǔ)振動對電轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律。張歡[9]基于有限元法分別研究了基礎(chǔ)簡諧轉(zhuǎn)動、橫向簡諧運動、基礎(chǔ)沖擊激勵對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學響應的影響規(guī)律。倪德等[10]研究了直升機在非慣性坐標系下尾傳動軸的橫向彎曲振動特性。Wang 等[11]在基礎(chǔ)上施加地震波和正弦激勵，研究了水平轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)激勵下的非線性動態(tài)響應。綜上所述，目前國內(nèi)針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基礎(chǔ)振動問題進行了較多研究，但動力學模型一般都較為簡單，對于綜合考慮柔性轉(zhuǎn)軸、非線性滾動軸承效應以及支座耦合系統(tǒng)的振動特性以及基礎(chǔ)振動對系統(tǒng)影響的研究尚不多見。

本研究綜合考慮滾動軸承非線性彈性支承效應、滾動軸承和阻尼環(huán)之間的耦合效應、阻尼環(huán)與軸承座之間的耦合效應，建立起基礎(chǔ)激勵下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合動力學模型。并通過數(shù)值方法分析了基礎(chǔ)激勵對系統(tǒng)動力學行為的影響規(guī)律；在此基礎(chǔ)上，以轉(zhuǎn)子振動位移最小為目標，對支承阻尼環(huán)的剛度系數(shù)和損耗因子進行優(yōu)化設(shè)計，以減小基礎(chǔ)激勵對系統(tǒng)動力學特性的影響。

1 數(shù)學模型

本研究的轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)主要由轉(zhuǎn)軸、滾動軸承、滾動軸承外的橡膠阻尼環(huán)、軸承座組成，其中支座固定在基礎(chǔ)上，系統(tǒng)三維模型如圖1 所示。對模型簡化，構(gòu)建其力學模型，如圖2所示。假設(shè)滾動軸承和橡膠阻尼環(huán)均周向?qū)ΨQ。mbw1和mbwr分別為左右軸承外圈質(zhì)量；mbs1和mbsr分別為左右支座質(zhì)量；kx1和ky1分別表示水平和豎直方向支座與基礎(chǔ)之間的剛度，cx1和cy1分別表示相應方向上支座與基礎(chǔ)之間的阻尼。

圖1 系統(tǒng)物理模型

圖2 系統(tǒng)力學模型

2 系統(tǒng)方程組

2.1 轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)動力學方程

轉(zhuǎn)軸采用Timoshenko 梁單元建立其有限元模型，主要考慮橫向振動，每個節(jié)點具有四個自由度。根據(jù)文獻[12-13]，可以求得轉(zhuǎn)軸單元質(zhì)量矩陣Me、剛度矩陣Ke、陀螺矩陣Ge和重力矩陣Qe；阻尼采用瑞雷阻尼，即Ce=αMe+βKe。

滾動軸承滾動體數(shù)為N，轉(zhuǎn)軸角速度為ω?，軸承外圈和內(nèi)圈半徑分別為R和r。根據(jù)滾動軸承的運動學定理可得滾動體的角速度ωcage：

滾動軸承旋轉(zhuǎn)時，即使是新軸承也會產(chǎn)生振動。因為軸承在受到徑向載荷時，滾珠載荷是軸承外圈角位移的函數(shù)，同時軸承的總剛度連續(xù)變化，從而導致VC振動現(xiàn)象[14]，即：

式中：BN為VC振動頻率與轉(zhuǎn)頻的比值。

假設(shè)xw1（t）、yw1（t）、xwr（t）和ywr（t）為左、右端滾動軸承外圈在x和y方向橫向振動位移，F(xiàn)kxb1、Fkyb1、Fkxbr和Fkybr分別為左、右端軸承對滾動軸承外圈在x和y方向的作用力。令x=xr（0,t）-xw1、y=yr（0,t）-yw1，可求得左端軸承力Fkxb1=Fkxb、Fkyb1=Fkyb；令x=xr（L,t）-xwr、y=yr（L,t）-ywr，可求得右端軸承力Fkxbr=Fkxb、Fkybr=Fkyb。

轉(zhuǎn)軸受到的非線性軸承力包括非線性彈性力和線性阻尼力，即：

式中：

其中：kp為接觸剛度；H為亥維塞函數(shù)，視滾珠與滾道的法向接觸變形量wθi之正負而取1 或0，wθi表征了軸承游隙所引起的分段非線性，可以表示為：

將轉(zhuǎn)軸各個梁單元進行組裝，并將滾動軸承力集成到相應的節(jié)點上，即：

式中：[Mr]、[Cr]、[Kr]和[Gr]分別為轉(zhuǎn)軸質(zhì)量矩陣、阻尼、剛度和陀螺矩陣；[Qr]為轉(zhuǎn)軸外力向量；Fb為相應節(jié)點的滾動軸承力。

2.2 軸承外圈動力學方程

本文采用Kelvin-Voigt 線性力學模型給出復支承度[15-16]，因此可將橡膠阻尼環(huán)的復支承力Fs表示為：

式中：k*和u分別為橡膠阻尼環(huán)的復支撐剛度和振動位移，η為橡膠阻尼環(huán)的損耗因子。

不計橡膠阻尼環(huán)振子的小轉(zhuǎn)角位移，則振動位移可表示為:u=x*+iy*，則：

式中：x*和y*為阻尼環(huán)在水平和垂直方向變形。

分析可知，軸承外圈受到滾動軸承的反作用力和阻尼環(huán)的作用力。假設(shè)左、右端支座在X方向和Y方向橫向振動位移變量分別為xbl（t）、ybl（t）、xbr（t）和ybr（t）；Fxsl、Fys;、Fxsr和Frlr分別為左、右端橡膠阻尼環(huán)對滾動軸承外圈在相應方向的作用力。基于牛頓第二定理，軸承外圈的運動微分方程組為：

式中：

2.3 支座動力學方程

支座受到阻尼環(huán)的反作用力、與基礎(chǔ)之間的彈性力和阻尼力、基礎(chǔ)的激勵作用。假設(shè)xs（t）和ys（t）為基礎(chǔ)同時對左右支座在X和Y方向上的位移激勵。通過牛頓第二定理，支座的運動微分方程組為：

如果基礎(chǔ)固定不動，即xs（t）=ys（t）=0。

2.4 系統(tǒng)動力學方程組

結(jié)合方程組式（4）、式（7）和式（8）可以建立轉(zhuǎn)軸-滾動軸承-阻尼環(huán)-支座耦合動力學方程：

式中：[M]、[C]、[K]和[G]為耦合系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度和陀螺矩陣；[Q]為耦合系統(tǒng)廣義力矩陣。

為保證計算精度，對系統(tǒng)進行無量綱化處理。通過以下代換：

式（9）可以轉(zhuǎn)化為：

式中：[]=[M]γ0ω2，[]=（[C]-ω[G]）γ0ω，[]=[K]γ0。

3 轉(zhuǎn)子-軸承-支座耦合動力學響應分析

采用龍格-庫塔法計算耦合系統(tǒng)的數(shù)值解。系統(tǒng)動力學求解初始參數(shù)選取[16]，如下所示：

L=1m 、E=2.1×1011Pa 、μ=0.3 、ρ=7 800 kg/m3、nr=4 000 r/min 、k1=4×106N/m 、kx1=ky1=2×108N/m 、kp=7.05×109N/m32、c=1 000 N·s/m、cx1=cy1=1000 N·s/m、γ0=15 μm、r=0.006 m、R=0.01m、N=13、η=0.15、mbw1=mbwr=0.05 kg、mbs1=mbsr=0.2 kg。

3.1 無基礎(chǔ)振動時耦合系統(tǒng)動力學響應分析

無基礎(chǔ)振動時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在固定基礎(chǔ)上，首先，計算獲得轉(zhuǎn)軸中心節(jié)點處振動響應隨轉(zhuǎn)速的分岔圖，如圖3 所示。分析可知，轉(zhuǎn)速在1 000 r/min～10 000 r/min 范圍內(nèi)X方向中心節(jié)點的響應在Poincare 截面上存在唯一點與之對應；在轉(zhuǎn)速1 800 r/min 附近出現(xiàn)峰值，表明轉(zhuǎn)軸出現(xiàn)共振，頻率約為3.2 Hz×30 Hz=96 Hz。

圖3 振動響應的隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

為了進一步分析不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)狀態(tài)，圖4 和圖5 分別給出了1 500 r/min 和5 000 r/min 轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)軸中心節(jié)點X方向振動位移響應的時間歷程圖、相平面圖、軸心軌跡和FFT 頻譜圖。由圖可知，時間歷程圖呈現(xiàn)周期性的波動，相平面圖和軸心軌跡都是橢圓，頻譜圖中頻率成分為相應轉(zhuǎn)速下滾動軸承VC頻率及其諧波頻率。

圖4 轉(zhuǎn)軸中心節(jié)點X方向上的響應（1 500 r/min）

圖5 轉(zhuǎn)軸中心節(jié)點X方向上的響應（5 000 r/min）

3.2 基礎(chǔ)振動對耦合系統(tǒng)動力學特性影響分析

為研究基礎(chǔ)振動對耦合系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律，取轉(zhuǎn)速1 000 r/min～8 000 r/min 范圍內(nèi)，在Y向施加加速度基礎(chǔ)激勵（t）=Asin（Wbase*t），研究不同轉(zhuǎn)速下耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應，其中A為基礎(chǔ)激勵幅值，Wbase為基礎(chǔ)運動角速度，分別取A=0.8 m/s2，Wbase=1000 rad/s，則基礎(chǔ)激勵相應的頻率為fbase=159.2 Hz。

（1）基礎(chǔ)振動對系統(tǒng)X方向動力學特性影響

為研究Y方向的基礎(chǔ)振動對耦合系統(tǒng)X方向振動響應的影響規(guī)律，分別求得有無基礎(chǔ)振動下，X方向振動響應的瀑布圖，具體如圖6所示。可知，無基礎(chǔ)振動時三維頻譜圖中頻率成分主要為隨轉(zhuǎn)速變化的滾動軸承VC頻率（fvc）。在低轉(zhuǎn)速時，可以觀察到明顯的諧波；有Y方向的基礎(chǔ)振動時，X方向隨轉(zhuǎn)速變化的頻譜圖不僅有滾動軸承VC 頻率及其諧波，在低轉(zhuǎn)速下可以觀察到明顯的基礎(chǔ)振動頻率成分（fbase）和新的頻率成分（f）。由于滾動軸承VC 頻率顯著大于其它頻率成分，為了清楚研究在不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)軸的頻率成分，匯總1 500 r/min 和5 000 r/min轉(zhuǎn)速下響應的時間歷程圖、相平面圖、軸心軌跡、FFT頻譜圖進行詳細地分析，分別見圖7和圖8。

圖6 不同轉(zhuǎn)速下X方向上的振動響應的瀑布圖

圖7 X方向上的響應（1 500 r/min）

圖8 X方向上的響應（5 000 r/min）

對比圖4和圖7可知，轉(zhuǎn)速1 500 r/min下，Y方向的基礎(chǔ)振動不改變系統(tǒng)X方向的運動，響應的時間歷程圖、相平面圖、軸心軌跡大小、FFT 頻譜圖幾乎不變。此外，對比圖5 和圖8 可知，轉(zhuǎn)速5 000 r/min時，Y向的基礎(chǔ)振動使系統(tǒng)X向由周期運動變?yōu)楦胖芷谶\動，軸心軌跡由穩(wěn)定的橢圓變?yōu)閺碗s的橢圓，基礎(chǔ)振動下響應的頻率不僅包含滾動軸承VC 頻率（107.4 Hz）及其諧波頻率，還有基礎(chǔ)振動頻率（156.2 Hz）和基礎(chǔ)振動頻率與滾動軸承VC 頻率之差（263.7 Hz）。基礎(chǔ)振動下X方向不同轉(zhuǎn)速下響應的頻率成分及對應關(guān)系，具體如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)軸中心節(jié)點在X向上頻率成分及對應關(guān)系

（2）基礎(chǔ)振動對Y方向動力學特性影響

同樣為了觀察Y方向基礎(chǔ)振動對耦合系統(tǒng)Y方向的影響，分別求得有無基礎(chǔ)振動下，Y方向振動響應的瀑布圖，具體如圖9 所示。施加加速度基礎(chǔ)激勵時，Y方向隨轉(zhuǎn)速變化的頻譜圖中除了滾動軸承變剛度頻率及其諧波，在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)還可以觀察到明顯的基礎(chǔ)激勵頻率成分。

圖9 不同轉(zhuǎn)速在Y方向上的振動響應的瀑布圖

Y方向基礎(chǔ)振動對耦合系統(tǒng)Y方向的影響與對X方向影響相似，轉(zhuǎn)速1 500 r/min時，基礎(chǔ)振動不改變系統(tǒng)Y向的運動狀態(tài)；然而，轉(zhuǎn)速5 000 r/min 時，基礎(chǔ)振動使系統(tǒng)Y方向由周期運動變?yōu)楦胖芷谶\動。基礎(chǔ)激勵下不同轉(zhuǎn)速在Y方向振動響應的頻率成分及對應關(guān)系，具體如表2所示。

表2 不同轉(zhuǎn)速下Y方向振動響應的頻率成分及對應關(guān)系

綜上所述，Y方向上基礎(chǔ)振動對耦合系統(tǒng)X和Y方向上的動力學特性都有影響。當基礎(chǔ)振動頻率等于滾動軸承VC 頻率或其諧波頻率時，不影響耦合系統(tǒng)的運動；當基礎(chǔ)振動頻率不等于滾動軸承VC頻率或其諧波頻率時，會呈現(xiàn)出組合共振現(xiàn)象，組合共振的頻率包括多個成分，可以表示為整數(shù)倍的滾動軸承VC頻率與基礎(chǔ)激勵頻率的代數(shù)和。

4 轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)動力學參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

在設(shè)計中，要求各轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)位移振動響應受到基礎(chǔ)激勵的影響盡可能減小。通過文獻[15-16]研究可知，阻尼環(huán)參數(shù)k1、η對系統(tǒng)動力學行為有著重要的影響。因此，本文將k1、η作為設(shè)計變量，并構(gòu)建設(shè)計空間。分別1 500 r/min 和5 000 r/min轉(zhuǎn)速下X和Y方向基礎(chǔ)激勵對轉(zhuǎn)子振動位移幅值加權(quán)作為目標函數(shù)，通過方程式（5）、式（10）建立優(yōu)化數(shù)學模型如方程式（11）：

式中：ωi為權(quán)重，Xi、Yi分別為對應轉(zhuǎn)速的X和Y方向基礎(chǔ)激勵頻率影響下的轉(zhuǎn)軸中間節(jié)點FFT幅值。

采用遺傳算法進行優(yōu)化設(shè)計，求得最優(yōu)解為：

對優(yōu)化后參數(shù)進行計算，獲得基礎(chǔ)頻率下轉(zhuǎn)軸中間節(jié)點最大幅值，可以得到表3 優(yōu)化前振動響應的頻率及各方向最大幅值以及表4優(yōu)化后振動頻率及各方向最大幅值的對比。

表3 優(yōu)化前振動響應的頻率及幅值

表4 優(yōu)化后振動響應的頻率及幅值

通過上述分析可知，在1 500 r/min 和5 000r/min 轉(zhuǎn)速下X和Y向幅值分別降低了19.72 %、20.83%及20.54%、25%。顯然，設(shè)計方法優(yōu)化后，基礎(chǔ)激勵對轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的振動響應影響得到顯著減小。

5 結(jié)語

針對具有基礎(chǔ)激勵的轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，建立了轉(zhuǎn)軸-軸承-支座耦合動力學模型，模型中轉(zhuǎn)軸采用梁單元離散，考慮了滾動軸承非線性彈性支承效應、滾動軸承與阻尼環(huán)間影響、阻尼環(huán)與支座之間的耦合效應；最后采用數(shù)值積分方法求解系統(tǒng)微分方程組，對耦合系統(tǒng)振動響應進行動力學分析，獲得如下結(jié)論：

（1）對于滾動軸承支承的轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)，在水平或垂直方向上的基礎(chǔ)激勵不僅對該方向轉(zhuǎn)子的振動有影響，對其他方向上的振動也有影響。

（2）當基礎(chǔ)振動頻率等于滾動軸承VC 頻率或其諧波頻率時，不影響系統(tǒng)的運動狀態(tài)；當基礎(chǔ)振動頻率不等于滾動軸承VC 頻率或其諧波頻率時，會呈現(xiàn)出組合共振現(xiàn)象，振動響應的頻率包括多個成分，為整數(shù)倍的滾動軸承激勵頻率與基礎(chǔ)激勵頻率的代數(shù)和。

（3）以轉(zhuǎn)子振動位移最小為目標，對支承阻尼環(huán)的剛度系數(shù)和損耗因子進行優(yōu)化設(shè)計，可減小基礎(chǔ)激勵對系統(tǒng)動力學特性的影響。